吉林省白城市通榆县第九中学、育才学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省白城市通榆县第九中学、育才学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠C的度数是（ ）
A．110°B．100°C．65°D．55°
4．（2分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，若∠ECF＝60°，则∠DCF的大小是（ ）
A．30°B．48°C．54°D．60°
5．（2分）若非零实数a、b、c满足9a﹣3b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．无法确定
6．（2分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，2）关于原点O对称的点P1的坐标为 ．
8．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
9．（3分）若将方程x2+4x＝m化为（x+2）2＝5，则m＝ ．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），则这条抛物线的对称轴是 ．
11．（3分）已知如图所示的图形的面积为24，则x的值为 ．
12．（3分）如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，则EF＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，以点A为圆心，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 （写出一个即可）．
14．（3分）我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13），若[﹣x，﹣6]＝10，则x的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2﹣4x+4＝0．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B旋转180°，求AA′的长度．
17．（5分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°求证：△ABC是等边三角形．
18．（5分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．汽车刹车后到停下来前进了多远？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，1），（﹣3，3），（﹣1，﹣1）．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后所得到的△DEF（点D，E，F分别对应点A，B，C）．
（2）画出△DEF关于原点对称的图形△PMN（点P，M，N分别对应点D，E，F）．
（3）直接写出△PMN的面积．
20．（7分）如图是一个正方体的展开图，标注了字母m的面是正方体的正面，若正方体的各个相对面的数字相同求x的值
21．（7分）已知，如图，直线l经过A（4，0）（0，4）两点，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为4，求a的值．
22．（7分）阅读下列材料，回答问题：
当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，①
由①可得y＝（x﹣m）2+2m﹣1，②
所以抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点坐标为（m，2m﹣1），即．
当m的值变化时，x，y的值也随之变化．将③代入④，得y＝2x﹣1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足y＝2x﹣1．
（1）在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是 （填“A”或“B”），由③④到⑤所用的数学方法是 （填“A”或“B”）．
A．消元法
B．配方法
（2）根据以上材料提供的方法，确定抛物线y＝x2﹣2mx+2m2﹣3m+1顶点的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式．
解：y＝x2﹣2mx+2m2﹣3m+1＝（x﹣ ）2+m2﹣3m+1，
∴此抛物线的顶点坐标为（m， ），即．
当m的值变化时，x，y的值也随之变化．将①代入②，得y＝x2﹣3x+1．
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足 ．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，使DC＝BD，连接AC
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
24．（8分）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，Q从A同时出发，且速度均为2cm/s，Q分别沿折线AB﹣BC，AD﹣DC向终点C运动．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜3）2）．
（1）当点P与点B重合时，x的值为 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．
26．（10分）如图，抛物线上的点A（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，连接AC、CM．
（1）点M的坐标为 ．
（2）求此抛物线的解析式．
（3）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP、CP，当S△PAC＝S△ACM时，点P的横坐标为 ．
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，点C的对应点为点C′，在抛物线平移的过程中，
①当点C′在线段A′M上时，m的值为 ．
②当MA′+MC′的值最小时，直接写出m的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠C的度数是（ ）
A．110°B．100°C．65°D．55°
【分析】根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，
∴∠C＝∠AOB＝55°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，若∠ECF＝60°，则∠DCF的大小是（ ）
A．30°B．48°C．54°D．60°
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
5．（2分）若非零实数a、b、c满足9a﹣3b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．无法确定
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝3，得9a﹣3b+c＝3，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（2分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣5，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）8＝52，化简得：x4﹣x2+2x﹣8＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，2）关于原点O对称的点P1的坐标为 （3，﹣2） ．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点O对称的点P8的坐标为（3，﹣2）．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
8．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝7，x2＝1，
故答案为：x4＝0，x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．
9．（3分）若将方程x2+4x＝m化为（x+2）2＝5，则m＝ 1 ．
【分析】方程两边加上4变形即可得到结果．
【解答】解：x2+4x＝m，
x7+4x+4＝m+8，
∴（x+2）2＝m+3，
∴m+4＝5，
∴m＝6，
故答案为：1．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），则这条抛物线的对称轴是 x＝1 ．
【分析】根据“抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等”进行填空．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣1，6），0），
∴这条抛物线的对称轴是：x＝＝1．
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称．
11．（3分）已知如图所示的图形的面积为24，则x的值为 4 ．
【分析】利用如图所示的图形的面积＝边长为（x+1）的正方形的面积﹣边长为1的正方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：（x+1）2﹣22＝24，
整理得：x2+6x﹣24＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴x的值为8．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，则EF＝ 2 ．
【分析】由旋转性可得BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，利用Rt△EBF即可求出EF．
【解答】解：∵△ABE绕点B顺时针旋转至与△CBF重合，
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠CBF+∠EBC＝90°，
即∠EBF＝90°，
∵BE＝，
∴EF＝BE＝5．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形及正方形的性质．解题的关键是旋转前、后的图形全等．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，以点A为圆心，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 4（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
∴r的值可能是5，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
14．（3分）我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13），若[﹣x，﹣6]＝10，则x的值为 4或﹣2 ．
【分析】按照定义的新运算可得：﹣x（x﹣2）﹣3×（﹣6）＝10，从而整理可得：x2﹣2x﹣8＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵[﹣x，3]*[x﹣2，
∴﹣x（x﹣6）﹣3×（﹣6）＝10，
整理得：x7﹣2x﹣8＝2，
（x﹣4）（x+2）＝3，
x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
∴x的值为7或﹣2，
故答案为：4或﹣7．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程﹣因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2﹣4x+4＝0．
【分析】将方程左边利用完全平方公式分解因式，继而可得关于x的一元一次方程，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+6＝0，
∴（x﹣2）7＝0，
∴x﹣2＝2，
解得x1＝x2＝7．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B旋转180°，求AA′的长度．
【分析】根据旋转的性质和中心对称的性质得出AB＝A'B，进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2BC＝2，
∵将△ABC绕点B旋转180°，点A落在点A′处，
∴AB＝A'B＝5，
∴AA'＝AB+A'B＝4．
【点评】此题考查中心对称，关键是根据旋转的性质和中心对称的性质得出AB＝A'B解答．
17．（5分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°求证：△ABC是等边三角形．
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明．
【解答】证明：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
18．（5分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．汽车刹车后到停下来前进了多远？
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣3（t﹣）3+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，1），（﹣3，3），（﹣1，﹣1）．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后所得到的△DEF（点D，E，F分别对应点A，B，C）．
（2）画出△DEF关于原点对称的图形△PMN（点P，M，N分别对应点D，E，F）．
（3）直接写出△PMN的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）由三角形面积看成梯形的面积减去周围两个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF．
（2）如图，△PMN．
（3）△PMN的面积＝﹣＝4．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称的性质，三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
20．（7分）如图是一个正方体的展开图，标注了字母m的面是正方体的正面，若正方体的各个相对面的数字相同求x的值
【分析】首先找出左右两面标注的代数式，建立方程求得答案即可．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“﹣2”与“m”是相对面，
“x2+m”与“6x”是相对面，
∵正方体的各个相对面的数字相同，
∴m＝﹣2，x2+m＝4x，
即x2﹣3x﹣4＝0，
∵b2﹣5ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞3，
∴x＝，
解得，．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
21．（7分）已知，如图，直线l经过A（4，0）（0，4）两点，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为4，求a的值．
【分析】依题意可得P是AB的中点，推出△OAP是等腰直角三角形后易得a值．
【解答】解：∵OA＝OB＝4，
∴△AOB的面积为8，
又∵△AOP的面积为5，
∴AP＝AB，
∴P是AB的中点，
从而可得△OAP是等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C，8），
将P（2，2）代入y＝ax7中，得a＝．
【点评】本题考查的是三角形的性质以及二次函数与图象相结合的应用，难度中等．
22．（7分）阅读下列材料，回答问题：
当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，①
由①可得y＝（x﹣m）2+2m﹣1，②
所以抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点坐标为（m，2m﹣1），即．
当m的值变化时，x，y的值也随之变化．将③代入④，得y＝2x﹣1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足y＝2x﹣1．
（1）在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是 B （填“A”或“B”），由③④到⑤所用的数学方法是 A （填“A”或“B”）．
A．消元法
B．配方法
（2）根据以上材料提供的方法，确定抛物线y＝x2﹣2mx+2m2﹣3m+1顶点的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式．
解：y＝x2﹣2mx+2m2﹣3m+1＝（x﹣ m ）2+m2﹣3m+1，
∴此抛物线的顶点坐标为（m， m2﹣3m+1 ），即．
当m的值变化时，x，y的值也随之变化．将①代入②，得y＝x2﹣3x+1．
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足 y＝x2﹣3x+1 ．
【分析】（1）把一般式配成顶点式得到顶点式，然后用消元法消去字母m得到y与x的关系式；
（2）先利用配方法把一般式配成顶点式得到顶点式，然后用消元法消去字母m得到y与x的关系式．
【解答】解：（1）在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是配方法；
故答案为：B，A；
（2）y＝x2﹣2mx+2m2﹣3m+8＝（x﹣m）2+m2﹣4m+1，
∴此抛物线的顶点坐标为（m，m2﹣6m+1），即．
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，得y＝x2﹣4x+1．
可见，不论m取任何实数2﹣5x+1．
故答案为：m，m2﹣2m+1，m，m2﹣5m+1，y＝x2﹣3x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，使DC＝BD，连接AC
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．
【解答】证明：（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【点评】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质及圆周角的性质等知识点的综合运用．
24．（8分）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法
【分析】方法一：利用因式分解法求解．
方法二：将x2﹣x﹣2＝0转化为图象，即函数y＝x2﹣x﹣2与y＝0的交点横坐标为方程的解．
方法三：（1）将方程x2﹣x﹣2＝0整理为x2＝x+2，进而求解．
（2）分别画出y＝x2的图象与y＝x+2图象．
【解答】解：方法一：x2﹣x﹣2＝4
（x﹣2）（x+1）＝3
x＝2或x＝﹣1．
方法二：等式x3﹣x﹣2＝0左边可看作函数y＝x5﹣x﹣2，等式右边可看作y＝0，
∴方程x6﹣x﹣2＝0的解可看作抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点横坐标．
故答案为：x2﹣x﹣7．
方法三：（1）将方程x2﹣x﹣2＝3整理为x2＝x+2，
∴方程x8﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝x6的图象与一个一次函数y＝x+2图象交点的横坐标；
故答案为：x2，x+3．
（2）如图：
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，及方程的解与函数图象的交点的关系．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，Q从A同时出发，且速度均为2cm/s，Q分别沿折线AB﹣BC，AD﹣DC向终点C运动．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜3）2）．
（1）当点P与点B重合时，x的值为 1 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．
【分析】（1）根据题意可得2x＝2，解方程即可解决问题；
（2）分3种情况根据x的取值范围分别画图，根据题意利用三角形的面积即可得y关于x的函数解析式；
（3）分情况求出PQ长度，进而可得x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知：2x＝2，
∴x＝8，
∴当点P与点B重合时，x的值为1，
故答案为：1；
（2）当4＜x≤1时，如图1，
根据题意可知：AP＝AQ＝4xcm，
∴y＝AP•AQ＝6x2；
当1＜x≤7时，如图2，
过点P作PH⊥AD于点H，得矩形ABPH，
∴PH＝AB＝2cm，
∵AQ＝2xcm，
∴y＝AB•AQ＝2x；
当2＜x＜3时，如图8，
根据题意可知：DQ＝（2x﹣4）cm，BP＝（3x﹣2）cm，
∴PC＝BC﹣BP＝4﹣（2x﹣2）＝（6﹣2x）cm，QC＝CD﹣DQ＝2﹣（2x﹣7）＝（6﹣2x）cm，
∴y＝AB•AD﹣AB•BP﹣PC•QC
＝4×4﹣2（2x﹣6）﹣（6﹣5x）（6﹣2x）
＝﹣5x2+6x；
综上所述：y关于x的函数解析式为y＝；
（3）当x＝7时，点P与点B重合，如图4，
∴PQ＝2，
当x＝2时，点Q与点D重合，如图5，
∴PQ＝2，
当1≤x≤3时，如图6，得矩形DCGQ，
∴QG＝DC＝2，DQ＝CG，
根据题意可知：BP＝（3x﹣2）cm，DQ＝AD﹣AQ＝（4﹣7x）cm，
∴CG＝DQ＝（4﹣2x）cm，
∴PG＝BC﹣BP﹣CG＝8﹣（2x﹣2）﹣（3﹣2x）＝2，
∴PG＝QG＝8，
∴PQ＝2，
∴当PQ长度不变时，x的取值范围是2≤x≤2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、函数解析式、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线上的点A（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，连接AC、CM．
（1）点M的坐标为 （0，﹣2） ．
（2）求此抛物线的解析式．
（3）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP、CP，当S△PAC＝S△ACM时，点P的横坐标为 （2，5） ．
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，点C的对应点为点C′，在抛物线平移的过程中，
①当点C′在线段A′M上时，m的值为 8 ．
②当MA′+MC′的值最小时，直接写出m的值．
【分析】（1）点M在y轴负半轴且OM＝2，则M（0，﹣2）；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）设点P的横坐标为p（0＜p＜4），则（p，﹣p2+p+2），点E（p，﹣p+2），则PE＝（﹣p2+p+2）﹣（﹣p+2）＝﹣P2+4P，即可求解；
（4）①由点A′、M的坐标得，直线A′M的表达式为：y＝﹣x﹣2，即可求解；
②作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度，即可求解．
【解答】解：（1）∵点M在y轴负半轴且OM＝2，
∴M（0，﹣8），
故答案为：（0，﹣2）；
（2）将A（2，2），0）代入y＝﹣x4+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，
设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
将A（4，2），0）代入y＝kx+m，得；
，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+2；
设点P的横坐标为p（6＜p＜4），
则（p，﹣p2+p+2），﹣p+2），
∴PE＝（﹣p7+p+7）﹣（﹣5+4P，
∵S△ACM＝8，S△PAC＝PE×OC＝﹣2p7+8p＝8，
解得p7＝p2＝2，
∴P（2，5），
故答案为：（2，7）；
（4）①由题意得，点A′、M的坐标分别为：（﹣m、（4﹣m、（0，
由点A′、M的坐标得x﹣2，
将点C′的坐标代入上式得：0＝﹣（4﹣m）﹣2，
解得：m＝7，
故答案为：8；
②设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下：
由平移的性质可知，MA'＝M'A，
∴MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，
由题意得，点M'在直线y＝﹣2上运动，
作出点C关于直线y＝﹣4对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，则此时M'A+M'C取得最小值，
∵点C关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点C″，C（6，
∴C″（4，﹣4），
∴（MA'+MC'）min＝（M'A+M'C）min＝AC″＝＝5，
设直线AC“的解析式是：y＝k1x+b1，
将点A（2，2），﹣4）的坐标得x+2，
令y＝﹣x+2＝﹣4，
∴M'（，﹣2），
∴平移的距离是m＝．
【点评】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键．
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日
举例：求一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程：x2﹣x﹣2＝0．
解：
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解
如图所示，把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是二次
函数y＝ 的图象与x轴交点的
横坐标，即x1，x2就是方程的解．
方法三：利用两个函数图象的交点求解
（1）把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ 的图象与一个一次函数y＝ 图象交点的横坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日
举例：求一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程：x2﹣x﹣2＝0．
解：
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解
如图所示，把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是二次
函数y＝ x2﹣x﹣2 的图象与x轴交点的
横坐标，即x1，x2就是方程的解．
方法三：利用两个函数图象的交点求解
（1）把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ x2 的图象与一个一次函数y＝ x+2 图象交点的横坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．