吉林省白城市通榆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份吉林省白城市通榆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列事件必然发生的是（ ）
A．某人买一张彩票就中了大奖
B．李明同学下次数学考试满分
C．三点确定一个圆
D．两点确定一条直线
3．（2分）用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（2分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B＝60°，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
5．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
6．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为（ ）
A．（0，﹣1）B．（2，0）C．（4，0）D．（3，0）
二、填空题：（每小题3分，共24分）
7．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
8．（3分）不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
9．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 ．
10．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB＝ °．
11．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为点E，若OE＝3，则CD＝ ．
12．（3分）某小区2014年绿化面积为2000平方米，计划2016年绿化面积达到2880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同．设平均增长率为x，根据题意列方程得 ．
13．（3分）若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是 ．
14．（3分）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝ m．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
16．（5分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
17．（5分）关于x的方程x2+2（m+1）x+m2﹣8＝0有实数根，求m的取值范围．
18．（5分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到0.1cm2）．
四、解答题（每小题7分，满分28分）
19．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形；
（2）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．
20．（7分）如图，⊙O的直径AB＝6，D为⊙O上一点，∠BAD＝30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）求阴影部分的面积．
21．（7分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN长25米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300米2．
22．（7分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种小商品的成本价为10元/kg，市场调查发现，该产品每天的销售量w（kg）与销售价x（元/kg）有如下关系w＝﹣2x+100，设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（8分）有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝m，BD＝n，
求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD＝3，BD＝4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12
所以S△ABC＝（x+3）（x+4）＝×（12+12）＝12
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：（1）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；
（2）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）已知△ABC为等边三角形．点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF＝60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在线投BC上时，求证：AC＝CF+CD；
（2）如图2，当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由，
26．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．
2023-2024学年吉林省白城市通榆县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（每小题2分，共12分）
1．（2分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）下列事件必然发生的是（ ）
A．某人买一张彩票就中了大奖
B．李明同学下次数学考试满分
C．三点确定一个圆
D．两点确定一条直线
【分析】根据随机事件的定义，必然事件的定义、不可能事件的定义进行逐项判断即可．
【解答】解：A、某人买一张彩票就中了大奖是随机事件，不符合题意；
B、李明同学下次数学考试满分是随机事件，不符合题意；
C、三点确定一个圆是随机事件，不符合题意；
D、两点确定一条直线是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，掌握必然事件的定义是解题的关键．
3．（2分）用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
移项得：x2﹣4x＝1，
配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，
所以m＝5．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
4．（2分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B＝60°，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
【分析】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A＝45°，然后利用∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
5．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
【分析】先根据AB＝OA＝OB得出△OAB是等边三角形，故∠AOB＝60°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为（ ）
A．（0，﹣1）B．（2，0）C．（4，0）D．（3，0）
【分析】抛物线的对称轴为直线x＝1，点P（﹣1，0），由点P、Q关于抛物线的对称轴对称，即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，点P（﹣1，0），
∵点P、Q关于抛物线的对称轴对称，
故点Q（3，1），
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉函数的对称性是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
7．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），
∴点A关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限．
8．（3分）不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，共有5种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 y＝﹣2（x﹣3）2+1 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2+1，
故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB＝ 70 °．
【分析】连接OA、OB，如图，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×140°＝70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
11．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为点E，若OE＝3，则CD＝ 8 ．
【分析】连接OC，先根据直径AB＝10求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵直径AB＝10，
∴OC＝AB＝5，
∵CD⊥AB，OE＝3，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，即CE2+32＝52，解得CE＝4，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（3分）某小区2014年绿化面积为2000平方米，计划2016年绿化面积达到2880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同．设平均增长率为x，根据题意列方程得 2000（1+x）2＝2880 ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2＝2880．
故答案为：2000（1+x）2＝2880．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2＝b（a＞b）．
13．（3分）若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是 5 ．
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2﹣17x+60＝0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长．
【解答】解：∵x2﹣17x+60＝0，
∴（x﹣5）（x﹣12）＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．
14．（3分）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝ 5 m．
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【解答】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25
∵点A（0，1.25）在抛物线上
∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25
解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.5，0）
∴OB＝OC＝2.5
∴CB＝5
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确地解方程，是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】原方程的左边含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．
【解答】解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0
（x﹣3）（3x﹣3）＝0
解得：x1＝3，x2＝1．
【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
16．（5分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”）＝，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
17．（5分）关于x的方程x2+2（m+1）x+m2﹣8＝0有实数根，求m的取值范围．
【分析】根据“有两个实数根”列出关于m的不等式，即可解得答案．
【解答】解：方程 x2+2（m+1）x+m2﹣8＝0 有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m+1）2﹣4（m2﹣8）＝8m+36≥0，
解得 ，
∴m的取值范围为 ．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个实数根的条件：Δ≥0．
18．（5分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到0.1cm2）．
【分析】扇形面积公式S＝可计算出两个扇形的面积，然后相减即可得．
【解答】解：S＝﹣＝≈837.33（cm2）．
837.33×2＝1674.7（cm2）．
答：贴纸部分的面积为1674.7cm2．
【点评】主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求扇环面积．
四、解答题（每小题7分，满分28分）
19．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形；
（2）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用平行四边形的性质得出D′点位置即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：D′（3，﹣5）．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平行四边形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
20．（7分）如图，⊙O的直径AB＝6，D为⊙O上一点，∠BAD＝30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）由切线的性质可得出答案；
（2）由勾股定理求出DC＝3，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD＝30°，
∴∠COD＝∠ADO+∠BAD＝60°，
∵CD切⊙O于D，
∴OD⊥CD，
即∠ODC＝90°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°；
（2）∵AB＝6，
∴OD＝3，
在Rt△ODC 中，OC＝2OD＝6，
∴，
∴，＝，
∴阴影部分的面积＝S△COD﹣S扇形DOB＝﹣．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．（7分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN长25米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300米2．
【分析】设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽＝300，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，
根据题意得方程：x（50﹣2x）＝300，
2x2﹣50x+300＝0，
解得；x1＝10，x2＝15，
当x1＝10时50﹣2x＝30＞25（不合题意，舍去），
当x2＝15时50﹣2x＝20＜25（符合题意）．
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
22．（7分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是利用等腰三角形的性质及圆周角的性质解答．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种小商品的成本价为10元/kg，市场调查发现，该产品每天的销售量w（kg）与销售价x（元/kg）有如下关系w＝﹣2x+100，设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（2）将以上所得函数解析式配方成顶点式后即可得．
【解答】解：（1）根据题意得y＝w（x﹣10）
＝（﹣2x+100）（x﹣10）
＝﹣2x2+120x﹣1000；
（2）∵y＝﹣2x2+120x﹣1000＝﹣2（x﹣30）2+800，
∴当x＝30时，y取得最大值，最大值为800，
答：当售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于总利润的相等关系，并据此列出函数解析式和二次函数的性质．
24．（8分）有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝m，BD＝n，
求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD＝3，BD＝4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12
所以S△ABC＝（x+3）（x+4）＝×（12+12）＝12
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：（1）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；
（2）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为 mn ．
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题．
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，令AD＝5，BD＝7，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，CF＝CE＝x，
据勾股定理得，（x+5）2+（x+7）2＝（5+7）2，
整理，得x2+12x＝35，
所以S△ABC＝．
（2）由（1）可知：
S△ABC＝（mn+mn）＝mn．
故答案为mn．
【点评】本题考查三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）已知△ABC为等边三角形．点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF＝60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在线投BC上时，求证：AC＝CF+CD；
（2）如图2，当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由，
【分析】（1）根据已知得出AF＝AD，AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠DAF＝60°，得出∠BAD＝CAF，证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD即可得出结论；
（2）求出∠BAD＝∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD＝CF即可得出AC＝CF﹣CD．
【解答】（1）证明：∵菱形AFED，
∴AF＝AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，
∴CF+CD＝BD+CD＝BC＝AC，
即AC＝CF+CD．
（2）解：AC＝CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC＝CF﹣CD，
理由是：由（1）知：AB＝AC＝BC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∴CF﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，
即AC＝CF﹣CD．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．
【分析】（1）直接把原点坐标代入y＝x2+（2k﹣1）x+k+1求出k的值即可得到二次函数解析式；
（2）先确定A（3，0）和抛物线的对称轴，设B（x，x2﹣3x），再根据三角形面积公式得到•3•|x2﹣3x|＝6，则x2﹣3x＝4或x2﹣3x＝﹣4，然后分别解方程求出x即可确定满足条件的B点坐标．
【解答】解：（1）把（0，0）代入得k+1＝0，解得k＝﹣1，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣3x；
（2）当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，则A（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝，
设B（x，x2﹣3x），
因为△AOB的面积等于6，
所以•3•|x2﹣3x|＝6，
当x2﹣3x＝4时，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B点坐标为（4，4）；
当x2﹣3x＝﹣4时，方程无实数解．
所以点B的坐标为（4，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．