2023-2024学年江西师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
4．已知三条线段的长分别是3，8，a若它们能构成三角形，则整数a的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
5．如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C两岛的视角∠ABC度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝；④∠ADB＝45°﹣∠CDB（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
7．正五边形的外角和等于 （度）．
8．在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数是 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10 ．
10．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠3＝∠4，∠BAC＝63° ．
11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，则∠ADB的度数为 ．
12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，那么此时∠ACE＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，求∠ADC的度数．
14．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AB上的中线CE；
（3）直接写出△ACE的面积为 ．
15．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
16．已知a、b、c是一个三角形的三边长．
（1）填空：a+b﹣c 0，a﹣b+c 0，a﹣b﹣c 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|．
17．如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AC＝DF，BE＝CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
19．请认真思考，完成下面的探究过程．
已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°
【解决问题】
如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；
【变式探究】
如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时 °；
【拓展延伸】
如图2，△ABC中，∠B＝x°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，y表示∠DFE的度数，并说明理由．
20．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A＝70°，若∠C的三分线CD交AB于点D，则∠BDC＝ ．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，求∠A的度数．
（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m，并且m＞n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
五、解答题（本大题共10分）
21．北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，岁经八秩，桃李芬芳
如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有∠A+∠B＝∠C+∠D；
新定义：在图1中，我们把AB，CD，AD叫做“8字形”的边，∠A，∠C，∠D叫做“8字形”的内角，图2中，∠BAD，图3中，∠BCE
（1）在图2中，∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B＝36°，求∠P的度数．
（2）在图3中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P，猜想∠P与∠B、∠D的关系
（3）在图4中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P，猜想∠P与∠B、∠D的关系
（4）在图5中，∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P，用∠B、∠D来表示出∠P，无需说明理由．
参考答案
一、单选题（共6小题，每题3分，共18分）
1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．根据三角形的定义判断即可．
解：A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形；
B满足三角形的定义，故B是三角形；
C有2条线段相交，没有首尾顺次相接，故C不是三角形；
D有4条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形．
故选：B．
【点评】本题考查三角形，理解三角形的定义是解题的关键．
2．已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
【答案】B
【分析】根据三角形的分类即可得到结论．
解：∵△ABC有一个内角为100°，
∴△ABC一定是钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，熟记三角形的分类是解题的关键．
3．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
【答案】B
【分析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
解：A、正六边形的每个内角是120°，能密铺；
B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能密铺；
C、正方形的每个内角是90°；
D、正三角形的每个内角是60°，能密铺．
故选：B．
【点评】此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
4．已知三条线段的长分别是3，8，a若它们能构成三角形，则整数a的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
解：∵三条线段的长分别是3，8，a，它们能构成三角形，
∴7﹣3＜a＜8+2，
∴5＜a＜11，
∴整数m的最大值是10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5．如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C两岛的视角∠ABC度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【分析】根据方向角的定义和三角形的内角和求出答案即可．
解：根据方向角的意义可知，∠BAS＝55°，∠NCB＝60°，
∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝55°+30°＝85°，
∠ACB＝∠BCN﹣∠ACN＝60°﹣30°＝30°，
在△ABC中，
∠ABC＝180°﹣85°﹣30°＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的意义，掌握三角形的内角和为180°是正确计算的前提．
6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝；④∠ADB＝45°﹣∠CDB（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝4∠DBC＝2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴3∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝7∠BDC，
∴，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝3∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝4∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
7．正五边形的外角和等于 360 （度）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．
8．在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数是 36° ．
【答案】36°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求解．
解：另一个锐角＝90°﹣54°＝36°；
故答案为：36°．
【点评】本题考查直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形性质是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10 ．
【答案】．
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为AD是△ABC的中线，得出S△ABD＝S△ACD，即AB⋅DE＝AC⋅CD，即可得出最后结果．
解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵，，
∴AB⋅DE＝AC⋅CD，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中线的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
10．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠3＝∠4，∠BAC＝63° 24° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过∠3与∠2的关系以及内角和定理解出∠2，即∠1的大小，进而可求∠DAC．
解：由题意可知，∠3＝∠4
∵∠BAC+∠4+∠4＝180°，
∵∠1＝∠4，∠3＝∠4，
∴4∠2＝∠4，
∵∠6+∠4+∠BAC＝180°，
∴∠2+2∠2+63°＝180°，
∴3∠7+63°＝180°
∴∠1＝∠2＝39°，
∠DAC＝∠BAC﹣∠5＝63°﹣39°＝24°．
【点评】熟练掌握三角形内角和定理及外角的性质．
11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，则∠ADB的度数为 70° ．
【答案】70°．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，即可求出∠BAD＝∠EAC＝40°，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠ADB＝＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，能根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE是解此题的关键．
12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，那么此时∠ACE＝ 120或165或30 ．
【答案】120或165或30．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
解：①当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
③如图中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
故答案为：120或165或30．
【点评】本题考查的是平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，求∠ADC的度数．
【答案】40°．
【分析】求出∠BAD＝20°，再利用三角形的外角的性质求解．
解：∵∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，
∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AB上的中线CE；
（3）直接写出△ACE的面积为 4 ．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）4．
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图，线段CE即为所求；
（3）S△ACE＝×6×4＝4．
故答案为：3．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型．
15．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【答案】见试题解答内容
【分析】一个多边形的内角和等于外角和的3倍少180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于900°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2）
180（n﹣2）＝360×5﹣180，
解得n＝7，
对角线条数：＝14．
答：这个多边形的边数是5，对角线有14条．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引（n﹣3）条对角线．
16．已知a、b、c是一个三角形的三边长．
（1）填空：a+b﹣c ＞ 0，a﹣b+c ＞ 0，a﹣b﹣c ＜ 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|．
【答案】（1）＞，＞，＜；（2）﹣a+3b﹣c．
【分析】（1）利用三角形的三边关系确定三个代数式的符号即可；
（2）根据（1）中确定的三边关系去掉绝对值后化简即可．
解：（1）∵a、b、c是一个三角形的三边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，
故答案为：＞，＞，＜；
（2）原式＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c）+b+c﹣a
＝a+b﹣c﹣a+b﹣c+b+c﹣a
＝﹣a+2b﹣c．
【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的知识，解题的关键是根据三角形的三边关系确定代数式的符号，难度不大．
17．如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AC＝DF，BE＝CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠EGC＝70°．
【分析】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；
（2）如图，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），则∠B＝∠DEF，AB∥DE，∠EGC＝∠A，由三角形内角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，进而可求∠EGC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
∵AB＝DE，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：如图，
由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A，
∵∠B＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，
∴∠EGC＝70°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
【答案】（1）AE＝2cm；
（2）AE＝1cm或3cm．
【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．
解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
即BE＝AE+AC，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴10﹣AE＝AE+6，
∴AE＝6cm．
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程
①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣5．
解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．
故AE长为7cm或3cm．
【点评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．
19．请认真思考，完成下面的探究过程．
已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°
【解决问题】
如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；
【变式探究】
如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时 10 °；
【拓展延伸】
如图2，△ABC中，∠B＝x°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，y表示∠DFE的度数，并说明理由．
【答案】（1）10°．
（2）10°．
（3），理由详见解答过程．
【分析】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．
（2）与（1）同理．
（3）与（1）同理．
解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝＝40°．
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
故答案为：10°．
（3）拓展延伸：∠DFE＝，理由如下：
∵∠B＝x°，∠C＝y°，
∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE＝＝＝．
∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°﹣＝90°﹣．
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°﹣）＝．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
20．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A＝70°，若∠C的三分线CD交AB于点D，则∠BDC＝ 90°或110° ．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，求∠A的度数．
（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m，并且m＞n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）90°或110°；（2）∠A＝45°；（3）∠BPC＝m或∠BPC＝m﹣n或∠BPC＝m+n或∠BPC＝m．
【分析】（1）分两种情况讨论，结合三角形外角的性质，分别求解即可；
（2）根据题意，求得∠ABC+∠ACB＝135°，即可求解；
（3）根据“三分线”的定义，分四种情况，分别画图求解即可．
解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝60°，
当CD是“邻AC三分线”时，∠ACD＝，
∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°；
当CD是“邻BC三分线”时，∠ACD＝，
∠BDC＝∠A+∠ACD＝110°；
故答案为：90°或110°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，
∵BP⊥CP，
∴∠P＝90°，即∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABC+，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°；
（3）分4种情况进行画图计算：
如下图，当BP和CP分别是邻AB三分线，
∠PBC＝∠ACB∠ACD，
∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC
＝∠A﹣∠A
＝∠A
＝m；
即∠BPC＝m；
如下图，当BP和CP分别是邻BC三分线，
∠PBC＝∠ACB∠ACD，
∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC
＝∠A﹣∠A
＝∠A
＝m；
即∠BPC＝m；
如下图，当BP和CP分别是邻BC三分线，
∠PBC＝∠ACB∠ACD，
∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC
＝∠A﹣∠A+
＝∠A+
＝m+n；
即∠BPC＝m+n；
如下图，当BP和CP分别是邻AB三分线，且m＞n，
∠PBC＝∠ACB∠ACD，
∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC
＝∠A﹣∠A﹣
＝∠A﹣
＝m﹣n；
即∠BPC＝m﹣n；
综上，∠BPC＝m﹣m+m．
【点评】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形外角性质，注意分情况讨论．
五、解答题（本大题共10分）
21．北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，岁经八秩，桃李芬芳
如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有∠A+∠B＝∠C+∠D；
新定义：在图1中，我们把AB，CD，AD叫做“8字形”的边，∠A，∠C，∠D叫做“8字形”的内角，图2中，∠BAD，图3中，∠BCE
（1）在图2中，∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B＝36°，求∠P的度数．
（2）在图3中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P，猜想∠P与∠B、∠D的关系
（3）在图4中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P，猜想∠P与∠B、∠D的关系
（4）在图5中，∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P，用∠B、∠D来表示出∠P，无需说明理由．
【答案】（1）∠P＝26°；
（2）∠P＝，理由见解答过程；
（3）2∠P+∠B+∠D＝360°，理由见解答过程；
（4）2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】（1）由AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，由“8字形”可得：∠2+∠B＝∠3+∠P，∠1+∠P＝∠4+∠D，故∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即可得∠P＝26°；
（2）由“8字形”可得：∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，有∠D+∠DAF＝∠B+∠BCE，而∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P，得∠D+2∠FAG＝∠B+2∠PCB①，又∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，有2∠B+2∠PCB＝2∠P+2∠PAB②，①+②即得∠D+2∠B＝∠B+2∠P，故∠P＝；
（3）由∠D+2∠PAD＝∠B+2∠PCB，有∠PAD﹣∠PCB＝∠B﹣∠D，而∠P+∠PAD+∠D+∠PCB+∠BCD＝360°，可得∠P+∠PAD+∠D﹣∠PCB＝180°，故∠P+∠D+∠B﹣∠D＝180°，2∠P+∠B+∠D＝360°；
（4）由∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P，，可得∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝180°﹣∠PCE＝180°﹣∠BCE＝180°﹣（180°﹣∠BCD）＝90°+∠BCD，即可得2∠PCD＝180°+∠BCD，而∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，即得2∠P+∠BAD＝2∠D+2∠PCD＝2∠D+180°+∠BCD，故2∠P﹣∠B＝∠D+180°，2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
解：（1）如图：
∵AP、CP分别平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，∠7＝∠4，
由“8字形”可得：∠7+∠B＝∠3+∠P，∠1+∠P＝∠5+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝16°，
∴∠P＝26°；
（2）∠P＝，理由如下：
如图：
由“7字形”可得：∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，
∴∠B+180°﹣∠DAF＝∠D+180°﹣∠BCE，
∴∠D+∠DAF＝∠B+∠BCE，
∵∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P，
∴∠D+2∠FAG＝∠B+2∠PCB①，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴8∠B+2∠PCB＝2∠P+3∠PAB②，
①+②得：∠D+2∠FAG+2∠B+3∠PCB＝∠B+2∠PCB+2∠P+2∠PAB，
∵∠FAG＝∠PAB，
∴∠D+2∠B＝∠B+2∠P，
∴∠P＝；
（3）2∠P+∠B+∠D＝360°，理由如下：
如图：
同（2）可得∠D+2∠PAD＝∠B+6∠PCB，
∴∠PAD﹣∠PCB＝∠B﹣，
∵∠P+∠PAD+∠D+∠PCB+∠BCD＝360°，
∴∠P+∠PAD+∠D+∠PCD＝360°，
∴∠P+∠PAD+∠D+（180°﹣∠PCE）＝360°，
∴∠P+∠PAD+∠D+（180°﹣∠PCB）＝360°，
∴∠P+∠PAD+∠D﹣∠PCB＝180°，
∴∠P+∠D+（∠PAD﹣∠PCB）＝180°，
∴∠P+∠D+∠B﹣，
∴5∠P+∠B+∠D＝360°；
（4）2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，理由如下：
如图：
∵∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P，，
∴∠PAD＝∠BAD∠BCE＝180°﹣∠BCD，
∴2∠PCD＝180°+∠BCD，
由“8字形”可得：∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴8（∠P+∠PAD）＝2（∠D+∠PCD），即2∠P+∠BAD＝5∠D+2∠PCD＝2∠D+180°+∠BCD，
∴（2∠P+∠BAD）﹣（∠B+∠BAD）＝（2∠D+180°+∠BCD）﹣（∠D+∠BCD），
即2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴8∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，涉及新定义“8字形”，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．