压轴题型13 数列压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题13 数列压轴大题的处理策略高考数列这类问题虽然没有解析几何那样大的计算量，没有太多需要理解的东西，也不需要立体几何中的空间想象力，然而数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，高中最常见的数列题型就是求通项公式和数列求和两种了，数列作为数学中的一个重要概念，常常出现在各种数学竞赛中，其重要性不言而喻。在数列中，我们需要掌握其定义、性质和求和公式等知识点，才能够有效地解决各种数列相关的问题。对于求和问题，我们可以通过数学归纳法或递推公式等方法进行求解。同时，我们还需要掌握数列的通项公式，以便于我们更直观地理解数列的规律和性质。而在数列压轴题中，我们需要将所学的数列知识灵活运用，解决各种复杂的数列问题。例如，我们可能需要使用数学归纳法证明某个数列的性质，或者需要通过构造新的数列来解决问题。 总的来说，数列作为数学中的一个重要概念，在数学竞赛中经常出现，是我们必须掌握的知识点之一。通过不断练习和总结，我们可以更好地掌握数列的求和、通项公式和数列压轴题等知识，从而在数学高考中获得好成绩。 EQ \o\ac(○,热) EQ \o\ac(○,点) EQ \o\ac(○,题) EQ \o\ac(○,型)1 数列中的不动点问题 EQ \o\ac(○,热) EQ \o\ac(○,点) EQ \o\ac(○,题) EQ \o\ac(○,型)2 数列与数学史 EQ \o\ac(○,热) EQ \o\ac(○,点) EQ \o\ac(○,题) EQ \o\ac(○,型)3 数列与生活 EQ \o\ac(○,热) EQ \o\ac(○,点) EQ \o\ac(○,题) EQ \o\ac(○,型)4 数列与不等式1．已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．(1)求数列与数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和；(3)求证：．【答案】(1)；.(2)(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列的通项公式，然后再由等比数列的通项公式得到数列的通项公式；（2）根据题意，设的前项和为，的前项和为，分别求得即可得到结果.（3）由题意可得，，然后再结合等比数列的求和公式，即可得到结果.【详解】（1）因为数列的前项和为，且，当时，；当时，，当时也满足；所以；又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，所以，则，则.（2）由（1）可得，，令①所以②②可得，所以令，即，令，则则（3）设，则，则2．已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．【答案】(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，，再由反证法证得，即可得出的值.【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.（3）因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.3．已知数列中，是其前项的和，，.(1)求，的值，并证明是等比数列；(2)证明：.【答案】(1)，，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题目条件代入即可求出，的值，利用构造法即可证明是等比数列；（2）根据（1）求出，再结合放缩法即可进行证明.【详解】（1）由，得，所以，，由，得，所以，.证明如下：由，得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，，即数列是以为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）知，，，，，因为，所以，于是，其中，于是，所以.即.4．已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”.(1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；(2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；(3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.【答案】(1)不是“梦想数列”，理由见解析(2)是“梦想数列”，理由见解析(3)“梦想数列”是等差数列，理由见解析【分析】（1）分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数､､，验证不满足，则不是“梦想数列”；（2）由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”；（3）先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证.【详解】（1），所以，当时，，，所以，不是“梦想数列”（2），，，，所以，是“梦想数列”（3）①令，，，所以，，即：､､成等差数列，②令，，，，化简为：，两式相减得：所以，，当时也成立.综上可得，“梦想数列”是等差数列.5．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．【答案】(1)，(2)证明见解析；(3)时，，当时，，统计含义见解析【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件,,即，所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，（3），由得,即,当时，，当时，，当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,6．求符合条件的序列 的个数，满足如下条件：（1）；（2），有.【答案】【分析】设满足题设条件的序列的集合，，，，则可得递推关系，据此中元素的个数.【详解】设满足题设条件的序列的集合.设，.再记,由题意，易得且有如下递推公式：由此可得：，而，且对应的特征方程为，其根为，故，而，故，解得，故整理得到：所以.7．已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，….(1)若数列A为等差数列且，求其公差d；(2)若，求的值；(3)若，，求数列的前100项和.【答案】(1)1或2；(2)3(3)7500【分析】（1）由等差数列写出，再由数列的性质确定，注意验证得出的数列满足数列的性质；（2）由性质②确定的取值，再分别确定的取值，从而可得；（3）由数列的性质先求得得，再求出，归纳出数列并用数学归纳法证明，然后求得其前100项的和．【详解】（1）由已知，，又，所以或，若，则由得，，，满足；若，则由得，，，也满足．所以或2；（2）因为，所以，所以或，因此，当时，且同时成立，此时，当时，且同时成立，此时矛盾，综上，；（3）因为，所以，所以，显然，，由知，事实上，当时，与同时成立，所以，从而，猜想数列即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列的两条 性质，下面用数学归纳法证明．①当时结论成立，②假设时结论成立，则当时，当时，此时，，由于，且，所以，当时，此时，，由于，且，所以，综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，数列的前100项和为：．【点睛】关键点睛：第3小问题中解题关键是由数列满足的性质确定数列的项，由根据不等式的性质得出的可能值，得出，再得出的可能值，得，然后归纳出数列并用数学归纳法证明．8．若数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，则称数列{an}具有“性质P”.(1)判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若公比为2的无穷等比数列{an}具有“性质P”，求首项a1的值；(3)若首项a1＝2的无穷等差数列{an}具有“性质P”，求公差d的值.【答案】(1)答案见解析(2)a1＝2m，m≥﹣1且m∈Z(3)d＝1或d＝2【分析】（1）由数列{an}具有“性质P”，得a＝a2，讨论a的取值，可得结论；（2）结合数列{an}具有“性质P”，以及等比数列的通项公式，讨论m的取值，可得结论；（3）结合数列{an}具有“性质P”， 以及等差数列的通项公式，讨论d＝0，d＜0，d＝1，d＝2，结合整数的性质，可得结论.【详解】（1）若数列{an}具有“性质P”，“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，所以a＝a2，所以a＝0或1，故当a＝0或1时，各项均等于a的常数列具有“性质P”；当a≠0且a≠1时，各项均等于a的常数列不具有“性质P”.（2）对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj，即a1•2k﹣1＝a1•2i﹣1•a1•2j﹣1，所以a1＝2k+1﹣i﹣j，令k+1﹣i﹣j＝m∈Z，则a1＝2m，当m≥﹣1且m∈Z时，an＝a1•2n﹣1＝2m+n﹣1，对任意正整数i，j，i≠j，由ak＝ai•aj，得2m+k﹣1＝2m+i﹣1•2m+j﹣1，所以k＝i+j+m﹣1，而i+j+m﹣1是正整数，所以存在正整数k＝i+j+m﹣1，使得ak＝ai•aj成立，数列具有“性质P”；当m≤﹣2且m∈Z时，取i＝1，j＝2，则i+j+m﹣1＝2+m≤0，正整数k不存在，数列不具有“性质P”，综上所述，a1＝2m，m≥﹣1且m∈Z.（3）因为an＝2+（n﹣1）d，所以若对于任意的正整数n，存在整数k，使得ak＝a1•an成立，则d＝，对于任意的正整数n，存在整数k1和k2，使得＝a1•an，＝a2•an，两式相减得，dan＝（k2﹣k1）d，若d＝0，显然不合题意，若d≠0，得an＝k2﹣k1，是整数，从而得到公差d也是整数，当d＜0时，此数列是递减的等差数列，取满足的正整数m，解得，由am•am+1＞＞a1，所以不存在正整数k使得am•am+1＝ak成立，从而d＜0时，不具有“性质P”；当d＝1时，数列2，3，4，...，n+1，...，对任意的正整数i，j，i≠j，由ak＝ai•aj，可得k+1＝（i+1）（j+1），可得k＝i+j+ij，而i+j+ij是正整数，从而数列具有“性质P”；当d＝2时，数列2，4，6，...，2n，...，对任意正整数i，j，由ak＝ai•aj，可得2k＝2i•2j，即k＝2ij，而2ij是正整数，从而数列具有“性质P”.综上可得，d＝1或d＝2.9．已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.(1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求；(2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；(3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.【答案】(1)子列为：1，0，0；1，1，0；；(2)，理由见解析；(3).【分析】（1）根据的定义结合条件即得；（2）若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列，得，同理，得，同理；（3）令，得数列中不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，即可解决.【详解】（1）由的定义以及，可得：的长度为3的子列为：，有2个，又的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，所以；（2）理由如下：若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列.所以；同理，所以.同理所以有（3）由已知可得，数列中恰有个1，个0. 令，下证：.由于，所以的子列中含有个0，个1的子列有且仅有1 个，设为：. 因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个，所以.数列中，不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，所以. 所以的最小值为.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.10．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)证明：；(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：【答案】(1)第2位居民接种疫苗的概率最大(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）易知第1位居民接种疫苗的概率分别为，再分若第2位居民接种则第1位居民接种BCD，若第2位居民接种B则第1位居民接种CD，利用互斥事件和独立事件的概率求解；（2）由题意得到，同理，两式相减，结合，证明，同理可得；（3）由，得到故数列是公比为的等比数列求解,进而得到，比较.【详解】（1）解：第1位居民接种疫苗的概率分别为，第2位居民接种疫苗的概率；第2位居民接种疫苗的概率；同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于.故第2位居民接种疫苗的概率最大.（2）证明：由于第位居民接种疫苗概率分别为，则，同理：，相减得，又，同理可得，故.（3）因为，所以，故数列是公比为的等比数列.又由，故，即，从而，同理，所以，第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.11．在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据题意分析可得，结合三点共线可得，可得，结合等差数列分析运算；（2）根据题意结合裂项相消法分析运算.【详解】（1）如图所示，过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，由题意可得：，则，且，则，可得：，∵三点共线，则，可得，则，，整理得：，即故数列是以首项，公差为2的等差数列，则.（2）由（1）可得：当时，则；当时，可得，则；综上所述：.12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）.(1)当时，求的解析式；(2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围；(3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，这个极限为2【分析】（1）利用函数奇偶性即可求出结果；（2）对取值进行讨论，分别求出解析式，画出图像进而可以求出结果；（3）分奇偶进行讨论求出结果.【详解】（1）当时，是偶函数，（2），当时，，，当时，，当时，，当时，，图像如图所示：若，函数有1个零点；若，函数有2个零点；若，函数有3个零点；若，函数有4个零点；若，函数有5个零点；若，函数有6个零点；是偶函数，要使函数存在零点，且零点个数不超过10，必须且只需.所以实数的取值范围（3）由（2）知，，，从而，.13．设数列的前项和为，且与的等差中项为.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用与关系，得到与间的关系，再利用定义即可证明结论；(2)利用数学归纳法即可证明结论.【详解】（1）依题知得.当时，当时，.，得到，可变形为，.所以，数列是等比数列.（2）由①得即证明：下面用数学归纳法证明此不等式：①当时，不等式左边=2，不等式成立②假设当时不等式成立，即：那么，当时，左边要证，只要证所以不等式成立即当时不等式成立综合①､②原不等式对一切正自然数成立.14．已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．【答案】(1)，；(2)证明见解析(3)43【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；（2）利用已知的定义及性质，分别证明充分性和必要性成立即可；（3）根据新定义分析差值可能出现的情况数，对其进行分析即可得出结论.【详解】（1）因为，，，，则的可能情况有：，，，，，，所以，．（2）充分性：若是等差数列，设公差为d．因为数列是递增数列，所以． 则当时，，所以，． 必要性：若．因为是递增数列，所以，所以，且互不相等，所以．又， 所以，且互不相等．所以，所以，所以为等差数列．（3）因为数列A由1，2，3，…，11，22这12个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共42个不同的值；∵这12个数在数列中每个至少出现一次，∴当时，和这两个数中至少有一个在集合中，∵这12个数在数列中共出现23次，所以数列中存在，∴，当数列：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．有，．则的最大值为43．15．已知递增数列的前n项和为，且满足，设，，且数列的前n项和为．(1)求证：数列为等差数列；(2)试求所有的正整数m，使得为整数；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)见证明(2)1或2(3)【分析】（1）由与的关系及等差数列的定义即可证明；（2）由的通项化简式子即可；（3）由裂项相消先求得，再分类讨论解不等式即可.【详解】（1）由题意可得，两式相减化简得因为是递增数列，故，即，所以是以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知：，所以若要为整数，则需为整数，故当，即时上式为整数；故答案为：1或2.（3）由上得：，则所以原不等式可化为：当为奇数时，上式等价于，根据基本不等式，当且仅当时可取最小值，此时；当为偶数时，上式等价于不难发现在定义域上单调递增，故，此时综上故答案为：16．若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．①，，，，…；②，，，，…．(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．【答案】(1)①不满足；②满足(2)证明见解析；(3)或；【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断.【详解】（1）对①，取，对，则，可得，显然不存在，使得，所以数列不满足性质P；对②，对于，则，，故，因为，则，且，所以存在，，使得，故数列满足性质P；（2）若数列满足性质，且，则有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故数列中存在，使得，即，反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即这与假设相矛盾，故集合为无限集.（3）设周期数列的周期为，则对，均有，设周期数列的最大项为，最小项为，即对，均有，若数列满足性质：反证：假设时，取，则，使得，则，即，这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；反证：假设时，取，则，使得，这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；综上所述：对，均有，反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，∵，即为数列中的项，这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，∵，则，当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，使得，解得或，即或符合题意；当时，即数列至少有两个不同项，则有：①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；综上所述：或.【点睛】（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断.17．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．(1)若，求，；(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)，；(3)存在，详见解析.【分析】（1）根据题中定义进行求解即可；（2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得；（3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可.【详解】（1）数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，所以，；（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经“和扩充”后的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，所以，所以，由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以，由，即，解得，即，所以，数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列，且，即；（3）因为，，，，，所以，，若使为等比数列，则或，即或，综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列．【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.18．已知函数，，．令，．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用构造法证明数列为等比数列，即可得解；（2）要证，即证，只需证，构造函数，利用导数求出其最大值，可得，再令，即可得证.【详解】（1）由，得，∴，因此，即，∴为等比数列，公比为，首项为．故，即；（2）由（1）知，要证，即证，也即证，这只需证，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即，当且仅当时等号成立，令，得，∴，即．【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的