高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

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1．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的方向的方向相反 B．
C．与方向相同 D．
【答案】C
【解析】对于A，与方向相同或相反，因此不正确；对于B，时，，因此不正确；对于C，因为，所以与同向，正确；对于D，是实数，是向量，不可能相等．故选C．
2．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，又，∴，此时、共线，
故选D.
3．已知向量，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】B
【解析】∵，∴、、三点共线．故选B．
4．（2019·全国高一课时练习）如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】为中点
本题正确选项：。
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n.
【答案】AB
【解析】对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误.故选A，B.
6.（2019·山东高一期末）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
【答案】ACD
【解析】A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的
故选择ACD。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）________________．
【答案】
【解析】
故答案为
8.已知eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))，若eq \(PP1,\s\up6(→))＝λeq \(P1P2,\s\up6(→))，则λ等于________．
【答案】 －eq \f(2,5)
【解析】 因为eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))，所以－eq \(PP1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(PP1,\s\up6(→))＋eq \(P1P2,\s\up6(→)))，即eq \(PP1,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(P1P2,\s\up6(→))＝λeq \(P1P2,\s\up6(→))，
所以λ＝－eq \f(2,5).
9．若eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示)
【答案】 (1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))
【解析】 eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))－teq \(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→)).
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AO,\s\up6(→))，则λ＝________，
（用来表示）
【答案】 2
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.
。
三、解答题
11．计算：（1）；
（2）； （3）．
【答案】略
【解析】（1）原式
．
（2）原式．
（3）原式．
12.设a，b是两个不共线的非零向量，记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
【解】 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝tb，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝tb－a，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－a＝eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，即tb－a＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).
由于a，b不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))
故当t＝eq \f(1,2)时，A、B、C三点共线．