人教版九年级上册数学第二十四章《圆》导学案（有答案）

这是一份人教版九年级上册数学第二十四章《圆》导学案（有答案），共55页。试卷主要包含了1　圆的有关性质，理解圆的两种定义形式，理解与圆有关的一些概念，从画圆的过程可以看出，等弧等内容，欢迎下载使用。

第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
学习目标
1.理解圆的两种定义形式.
2.理解与圆有关的一些概念.
重点：圆的有关概念.
难点：定义圆应该具备的两个条件．
学习过程
一、创设问题情境
活动1:观察图形,从中找到共同特点.
二、揭示问题规律
(一)圆
活动2:
1.画圆
2.圆的定义:
归纳:圆心是确定圆在平面内的___________的,半径是确定圆的___________的,所以,圆是由___________和___________两个要素确定的. 
圆有___________个圆心, ___________条半径,同一个圆中所有的___________都相等.
活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:
(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?
(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?
(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?
3.从画圆的过程可以看出:
(1)圆上各点到___________的距离都等于___________.(2)到定点的距离等于定长的点都___________.
因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是______________________的点的集合. 
活动4:讨论圆中相关元素的定义:
(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)
1.弦: ______________________.直径: ______________________.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答: ______________________.
2.弧: ______________________.半圆: ______________________.
由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫___________,小于半圆的弧叫___________,还有半圆. 
3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径　. 
4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:
5.等弧: ______________________.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答: ______________________;等弧只能出现在___________或___________中.
三、解决问题
活动5:
1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?
2.判断
(1)直径是弦,弦也是直径.(　　)(2)半圆是弧,弧也是半圆.(　　)(3)同圆的直径是半径的2倍.(　　)
(4)长度相等的弧是等弧.(　　)(5)等弧的长度相等.(　　)(6)过圆心的直线是直径.(　　)(7)直径是圆中最长的弦.(　　)
四、变式训练
活动6:
1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.
2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
五、反思小结
六、达标测试
一、选择题
1.下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（　　）
A．（0，1） B．（0，-1）C．（ 1，0） D．（-1，0）
2题图 3题图 4题图 6题图
3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（　　）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
4.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不能确定
二、填空题
5. 在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有______个．
6.将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=_____度．
7.如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为________.
三、解答题
8.若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心．
9. 如图，已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且CD= R，试求AC的长．
24.1　圆的有关性质
24.1.2　垂直于弦的直径
学习目标
1.掌握垂径定理及相关结论.
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
难点：垂径定理及其推论.
学习过程
一、创设问题情境
问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
二、揭示问题规律
活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
图1
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?
相等的线段:
相等的弧:
由此可得垂径定理:　. 
请结合图形,写出它的推理形式.∵____________________；∴____________________.
若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,
你又能得到结论: 
(图中弦AB是否可为直径?)
请结合图形,写出它的推理形式. ∵____________________；∴____________________.
三、解决问题
活动3:
1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.
2.填空
(1)如 图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是______________.
(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是____________.
(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是_______________.
3.解决求赵州桥拱半径的问题.
四、变式训练
活动4:
1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?
五、反思小结
2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?
六、达标测试
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．OE=BE B．弧BC=弧BD C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
1题图 2题图 3题图
2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
3.坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　）
A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1） D．（2，1）
二、填空题
4.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．BC=8，ED=2，则⊙O的半径为________.
4题图 5题图
5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则△OCE的面积为_______.
6.已知⊙O的半径为5，P为圆内的一点，OP=4，则过点P弦长的最小值是______.
三、解答题
7.如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=6，求圆O的半径长．
8.如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
24.1　圆的有关性质
24.1.3　弧、弦、圆心角
学习目标
理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.
重点：圆心角、弦、弧、弦心距的关系定理：
难点：正确识别圆心角，圆心角所对的弧，圆心角所对的弦，圆心角所对的弦的弦心距，探索定理和推论及其应用．
学习过程
一、创设问题情境
1.圆是轴对称图形,其对称轴是______________________.圆还是____________对称图形,其对称中心是____________.
2.圆绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性. 
二、揭示问题规律
1.圆心角:顶点在____________的角,叫圆心角.
2.探究:
(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则A________A'B',AB _______A'B'.
(2)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB',AB_______A'B'. 
(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB',AB ________A'B'. 
文字语言叙述:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧____________,所对的弦也____________.
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弦____________.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弧____________.
符号语言:如上图
(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴____________,____________.(2)∵AB=A'B',∴____________,____________; 
(3)∵AB=A'B',∴____________,____________. 
3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?AB和A'B'相等吗?
三、解决问题
【例1】 如图:在☉O中,弧AB=AC,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【例2】 如图,AB是☉O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数.
【例3】 如图,在☉O中,AD=BC,比较AB与CD的大小.,并证明你的结论.
四、变式训练
为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分,每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．150°B．75°C．60°D．15°
1题图 2题图
2.如图：AB是弧AB所对的弦，AB的中垂线CD分别交弧AB于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交弧AB于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交弧AB于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（　　）
A．弧AC=弧CB B．弧EC=弧CG
C．弧AE=弧EC D．EF=GH
3.如图所示，在⊙O中，弧AB＝2弧CD，那么（　　）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD
C．AB=2CD D．无法比较
3题图 4题图 5题图 6题图
4.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4cm
二、填空题
5.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于______度．
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=_______．
三、解答题
7.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
8.已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是弧AB的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．
求证：CD=AE=BF．
9.如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1．请问：P在MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值．
24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
学习目标
1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.
2.初步运用圆周角定理解决相关问题.
3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.
重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.
一、创设问题情境
什么叫圆心角?在图1中画出AB所对的圆心角,能画几个?
二、揭示问题规律
(一)圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.
2.在图1中画出弧AB所对的圆周角.能画几个?
(二)探究1:
1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?
在下图中画出AB所对的圆周角.
2.量出AB所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .
3.尝试证明你的发现.
归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
(三)探究2:
在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?
归纳:圆周角定理的推论:
（四）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 . 
问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,
猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质:　 . 
三、解决问题
1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
2.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C=　　　　,∠D=　　　　. 
3.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D=　　　　. 
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）
A．30°B．45°C．60°D．70°
1题图 2题图 3题图
2.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
3.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35°B．40°C．50°D．80°
二、填空题
4.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
4题图 5题图
5.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=________度．
三、解答题
6.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
7.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）请你写出四个不同类型的正确结论；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．
8.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标
1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.
2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.
重点：点和圆的三种位置关系；
难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系.
学习过程
一、创设问题情境
问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
二、揭示问题规律
1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.
2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.
当点P在圆______________时,d______________r;当点P在圆______________时,d______________r;
当点P在圆______________时,d______________r. 
3.结合画图说明:
设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,
若d>r,则点P在圆______________;若d=r,则点P在圆______________;若d 归纳:①点P在______________⇔d______________r;②点P在______________⇔d______________r;
③点P在______________⇔d______________r.
练习:
1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:
A.8厘米　　　B.4厘米　　　C.5厘米,请你分别说出点与圆的位置关系.
2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.
(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
4.画图探究:
图1 图2
(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?
(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?
(3)经过三点作圆
①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?
②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?
小结:(1)经过一点可以作___________个圆;经过两点可以作___________个圆,它们的圆心在______________________上.
(2) ___________个点确定一个圆. 
(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的___________,这个三角形叫做圆的___________,圆心叫做三角形的___________.
练习:画出以下几个三角形的外接圆
归纳:锐角三角形外心在三角形___________部;钝角三角形外心在三角形___________部;直角三角形外心在___________.
三、运用规律,解决问题
(一)判断题:
1.过三点一定可以作圆(　　);2.三角形有且只有一个外接圆(　　)
3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形(　　)
4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点(　　)
5.三角形的外心到三边的距离相等(　　)
(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.
(三)如何解决“破镜重圆”的问题
四、变式训练
1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.
2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（　　）
A．5 B．10 C．5或4 D．10或8
2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
3.如图，动点M、N分别在直线AB与CD上，且AB∥CD，∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．以上都有可能
3题图 4题图 5题图
4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
二、填空题
5.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有______，在圆上的有_______，在圆内的有________．
6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是_______．
三、解答题
7.如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
8.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
24.2.2　直线和圆的位置关系(第1课时)
学习目标
1.理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系.
2.掌握它们的判定方法.
重点：直线和圆的三种位置关系的性质和判定
难点：通过数量关系判断直线与圆的位置关系
学习过程
一、创设问题情境
活动1:
1.点与圆有几种位置关系?
2.怎样判定点和圆的位置关系?
活动2:
你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?
二、揭示问题规律
活动3:
(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?
(2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型?
1.判断下列直线和圆的位置关系.
2.判断下列说法正确与否
(1)直线与圆最多有两个公共点.(　　)
(2)若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.(　　)
(3)若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.(　　)
(4)若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.(　　)
活动4:议一议
对比点和圆的位置关系的判定方法,是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?
三、解决问题
活动5:如图,∠AOB=30°,P为OB上一点,且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?
①R=2 cm;②R=2.5 cm;③R=4 cm.
2.填表
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数



公共点名称



直线名称



圆心到直线距离d与半径r的关系



四、变式训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,以点C为圆心,r为半径作圆.
(1)当r满足　　　　时,直线AB与☉C相离;(2)②当r满足　　　　时,直线AB与☉C相切; 
(3)当r满足　　　　时,直线AB与☉C相交;(4)当r满足　　　　时,线段AB与☉C有且只有一个公共点. 
2.试着编一道直线与圆位置关系的题目,使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系.
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
2.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
3.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，底边BC=6，若以顶点A为圆心，以4为半径作⊙A，则BC与⊙A（　　）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
4.如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
4题图 7题图
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，以点C为圆心，6cm长为半径的圆与直线AB的位置关系是____________.
6.已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2-2x+d=0没有实根，则点P与⊙O的位置关系是____________.
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x−与⊙O的位置关系是_________.
三、解答题
8.△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的范围．
9.如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点E，过点E作FG∥AB，且分别交AD、BC于点F、G．问：以B为圆心，a为半径的圆与直线AC、FG、DC的位置关系如何？
10.如图，点A是一个半径为300米的圆形公园的中心，在公园附近有B，C两村庄，AC的距离为700米，现要在B，C两村庄之间修一笔直公路将两村连通，现测得∠C=30°，问此公路是否会穿过该公园？请通过计算进行说明．
24.2.2　直线和圆的位置关系(第2课时)
学习目标
1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.
2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.
重点：理解并掌握切线的判定定理和性质定理.
难点：运用切线的判定定理和性质定理解决一些具体的题目.
学习过程
一、创设问题情境
1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1)　　　　,(2)　　　　,(3)　　　　;直线和圆的公共点的个数依次是___________,___________,___________.
2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?
二、揭示问题规律
1.切线的判定定理的得出:
作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是___________;
(2)直线l和☉O的位置关系是___________.
归纳:切线的判定定理:经过___________并且___________的直线是圆的切线. 
请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:
判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.(　　)(2)与半径垂直的直线是圆的切线.(　　)
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.(　　)
2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:
(1)　 ;(2)　 ;(3)　 .
3. 如图,如果直线AB是☉O的切线,切点为点C,那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢?(用反证法说明)
归纳:圆的切线的性质:　　　　 符号表示:
三、解决问题
1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.
3.如图,以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,求证:AP=BP.
四、变式训练
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.
2.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,求证:AC平分∠DAB.
五、反思小结
若证直线是圆的切线,
1.当该直线过圆上一点时,则连接　　　　,再证　　　　; 
2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过　　　　作　　　　,再证　　　　. 
六、达标训练
一、选择题
1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．AG=BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC=∠ADC
1题图 2题图
2.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（　　）
A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°
3.直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（　　）
A．25°或155° B．50°或155°C．25°或130° D．50°或130°
二、填空题
4.如图，两个同心圆，若大圆的弦AB与小圆相切，大圆半径为10，AB=16，则小圆的半径为_______.
4题图 5题图 6题图
5.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______________（度）．
6.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_________.
三、解答题
7.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．
8.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．
24.2.2　直线和圆的位置关系(第2课时)
学习目标
1.理解切线长定义.
2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.
3.掌握画三角形内切圆的方法、三角形内心的概念.
重点：切线长定理及其应用．
难点：与切线长定理有关的证明和计算问题
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
1.已知△ABC,作三个内角的角平分线,说说它们具有什么性质?
2.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理的内容是什么?
3.过圆上一点可以作圆的几条切线?过圆外一点呢?圆内一点呢?
二、揭示问题规律
1.如图,经过平面内一点,画出☉O的切线.切线长定义: .
2.如图,点P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点.连接OP,则线段PA与PB,∠APO与∠BPO分别有什么关系?
由此我们得到切线长定理:  　.
推理形式:
3.如图是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下的圆与三角形的三边都相切?
归纳:与三角形各边　　　　　　　叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形　　　　　　　的交点,叫做三角形的　　　　. 
三、运用规律,解决问题
【例1】 如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AE=2,CD=1,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.
【例2】 如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长.
四、变式训练
探究:PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C.
　(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中与∠OAC相等的角;
(3)写出图中所有的全等三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（　　）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
1题图 2题图 3题图
2.如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A．12 B．24 C．8 D．6
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．3
二、填空题
4.如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________.
4题图 5题图
5.如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根（单位：cm），则该自来水管的半径为______cm．
三、解答题
6.如图，点E是△ABC的内心，AE交△ABC的外接圆于点D，求证：BD=ED=CD．
7.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
24.3 正多边形和圆
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3.掌握圆内接正多边形的两种画法:
(1)用量角器等分圆周法作正多边形;
(2)用尺规作图法作特殊的正多边形.
重点：正多边形的有关计算
难点：正确地转化和进行综合计算
学习过程
一、创设问题情境
1.这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗?
2.正多边形的定义:
　　　　　　　　　　　叫做正多边形. 
3.菱形是正多边形吗?矩形是正多边形吗?为什么?
4.你知道正多边形有哪些性质吗?
二、揭示问题规律
1.正多边形和圆有什么关系?你能借助圆作出一个正多边形吗?
2.将上面的圆五等分,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗?如果是,请你证明这个结论.
小结:将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定是　　　　. 
3.正多边形的中心、半径、中心角、边心距
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的　　　　.外接圆的半径叫做正多边形的　　　　.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的　　　　.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的　　　　. 
4.怎样等分圆周?
5.你能用等分圆周的方法画出边长为2 cm的正六边形吗?
小结:等分圆周的方法: .
三、解决问题
例1： 有一个亭子(如图)它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
例2：请用上面的方法画出半径为2 cm☉O的内接正三角形;
例3.你能用尺规作图法作出☉O的内接正四边形、正五边形吗?
四、反思小结
五、达标训练
一、选择题
1.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
1题图 2题图 3题图
2.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的圆形部分种花，则种花部分的圆形的周长（粗线部分）为（　　）
A．12m B．20m C．22m D．24m
3.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（　　）
A．6mmB．12mmC．6mmD．4mm
二、填空题
4.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是__________度．
4题图 6题图
5.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为________.
6.如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为_______．
三、解答题
7.如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
8.如图，正六边形ABCDEF为⊙0的内接正六边形，连结AE．已知⊙0的半径为2cm．
（1）求∠AED的度数．
（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
24.4 弧长和扇形面积
第1课时
学习目标
1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.
2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长l=nπR180和扇形面积S扇=nπR2360的计算公式,并应用这些公式解决一些题目.
学习过程
一、创设问题情境
问题:在田径200米跑比赛中,运动员的起跑位置相同吗?为什么?
二、揭示问题规律
(一)弧长公式:
1.n°的圆心角所对的弧长:(圆的半径为R)
(1)半径为R的圆的周长公式:___________.(2)圆的周长可以看作是___________度的圆心角所对的弧长.
(3)1°的圆心角所对的弧长是___________.(4)2°的圆心角所对的弧长是___________.
(5)45°的圆心角所对的弧长是___________.(6)n°的圆心角所对的弧长是___________.
(7)弧长公式:l=___________.
2.练习:
(1)在半径为6 cm的圆中,求30°的圆心角所对的弧长.(2)一条弧的长为3π cm,弧的半径为6 cm,求这条弧所对的圆心角.
(3)一条弧的圆心角为300°,弧长为10π,求该弧所在的圆的半径.
(二)扇形的面积公式:
1.定义:由___________和___________所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式:(圆的半径为R)
(1)圆的面积可以看作是___________度的圆心角所对的扇形的面积. (2)1°的圆心角所对的扇形面积是___________.
(3)n°的圆心角所对的扇形面积是___________.
已知弧长公式l=nπR180,怎样用弧长表示扇形面积?
3.练习:
(1)若扇形的半径为6 cm,圆心角为60°,求扇形的面积.(2)已知扇形所在圆的半径为3 cm,弧长为20π cm,求扇形面积.
三、解决问题
1.制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”(如图所示的白线的长度),再下料.根据下面所给的数据,求下列管道的展直长度.(结果保留整数)
2.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m,求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位)
思考:当水位上升到CD位置水面高0.9 m时,怎样求截面上有水部分的面积?
四、变式训练
1.如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为　　　　个平方单位.
2.如图,把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向转动一次,使它转到△A'BC'的位置.若BC=1,∠A=30°.求点A运动到A'位置时,点A经过的路线长.
五、反思小结
六、达标测试
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=（　　）
A． B．2 C．D．
1题图 2题图 3题图
2.如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（　　）
A．cmB．cmC．cmD．7πcm
3.如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
4.如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为_____.
4题图 5题图
5.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是__________.
三、解答题
6.已知扇形的弧长为2π，圆心角为120°，求这条弧所对的弦长．
7.如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：△ACF≌△ACG；
（2）若AF=4，求图中阴影部分的面积．
24.4　弧长和扇形面积(第2课时)
学习目标
1.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积的计算公式,
2.理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题.
重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
难点：探索两个公式的由来．
学习过程
一、创设问题情境
想一想,你会解决吗?
玩具厂生产一种圣庭老人的帽子,其帽身是圆锥形,PB=15 cm,底面半径r=5 cm,要生产这种帽身10 000个,你能帮算一算至少需多少平方米的材料吗?(不计接缝用料和余料,π取3.14)
二、揭示问题规律
1.圆锥及侧面展开图.
(1)圆锥是由　　　　和　　　　围成的几何体,它的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
(2)把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做　　　　.
(3)连接　　　　与　　　　的线段叫做圆锥的高. 
(4)圆锥的底面半径r、高线h、母线长a三者之间的关系:　　　　　　　　.
2.练习:
根据下列条件求值(其中r,h,a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长)
(1)a=2,r=1,则h=　　　　;(2)h=3,r=4,则a=　　　　;(3)a=10,h=8,则r=　　　　.
3.圆锥的侧面积和全面积的计算公式.
(1)沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系?
(2)圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
圆锥的侧面积:　 .圆锥的全面积:　 .
三、解决问题
【例题】 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m,外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142,精确到1 m2)?
四、变式训练
1.思考题
圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
2.手工制作
已知一种圆锥模型的底面半径为4 cm,高线长为3 cm.你能作出这个圆锥模型吗?
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（　　）
A．90°B．120°C．150°D．180°
2.如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（　　）cm2．
A．4 B．8 C．12 D．（4+4）
2题图 3题图
3.在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是（　　）
A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r
二、填空题
4.将半径为4cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_________cm．
4题图 5题图
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
三、解答题
6.如图，在一个半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形．
（1）求这个扇形的面积（保留π）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．
7.如图，一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留）．
达标测试答案
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
1.A
2.B 解析：∵以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，∴点B的坐标是（0，-1）．
3.C 解析：设大圆的直径是D．根据圆周长公式，得图（1）中，需要2D；图（2）中，中间的三个小圆的直径之和是D，所以需要2D．
4.C 解析：∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，又∵矩形PAOB中，OP=AB，∴PA2+PB2=AB2=OP2．
5.12 解析：坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5的点有8个，共12个.
6.120 解析：由图可知，∠OBC=60°,∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形,∴∠BCO=60°,则∠ACO=120°．
7. 解析：由题意可得：OE=1，阴影面积= ×1=.
8.证明：∵△ABC是直角三角形，AB是斜边，∴取AB中点M，则MC=MA=MB，又∵OA=OB=OC，∴O是AB中点，故M与O重合，即AB的中点是⊙O的圆心．
9.解：（1）当C点在A、O之间时，如图甲．由勾股定理OC= =R，故AC=R-R= R；
（2）当C点在B、O之间时，如图乙．由勾股定理知OC==R，故AC=R+R=R．
1.B 解析：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，弧BD=弧BC，，根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．
2.B 解析：连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2．在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，故：（x-2）2+62=x2，解得：x=10，即直径AB=20．
3.B 解析：连接AB、BC，分别作AB和BC的垂直平分线DM、EF，两线交于M，则M为弧所在的圆的圆心，如图，∵点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），∴A的坐标是（0，3，），∴M点的横坐标是2，设M的纵坐标为a，∵M在AB与BC的垂直平分线的交点，∴MA=MB=MC，即M的坐标是（2，-1）．
4.5 解析：设⊙O的半径为R，∵OD⊥BC，∴CE=BE=BC=×8=4，在Rt△BOE中，OE=OD-DE=R-2，OB=R，BE=4，∵OE2+BE2=OB2，∴（R-2）2+42=R2，解得R=5，即⊙O的半径为5．
5.6 解析：∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设⊙O的半径为r，则AC2+OC2=OA2，即42+（r-2）2=r2，解得r=5，∵CD=2，∴OC=3，∴S△OCE=OC•BC=×3×4=6．
6.6 解析：过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，连结OA，∵OP⊥AB，∴AP=BP，在Rt△AOP中，OA=5，OP=4，∴AP==3，∴AB=2AP=6．
7.（1）证明：∵AB是圆O的直径，且AB⊥CD，∴CH=DH，∵AB⊥CD，∴BC=BD．（2）解：连接OC， ∵CD平分OA，设圆O的半径为r，则OH=r，∵CD=6，∴CH=CD=3，∵∠CHO=90°，∴OH2+CH2=CO2，∴，∴r=2．
8.解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12-3-1=8（m），∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r-2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2=OM2+42，∴r2=（r-2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．
24.1　圆的有关性质
24.1.3　弧、弦、圆心角
1.B
2.C 解析：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交弧AB于C，∴弧AC=弧CB，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交弧AB于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交弧AB于G，∴弧EC=弧CG，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴弧AE＞弧EC，故C错误．
3.B 解析：如图，在圆上截取弧DE=弧CD，则有：弧AB=弧CE，AB=CE根据三角形的三边关系知，CD+DE=2CD＞CE=AB，∴AB＜2CD．
4.A 解析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴弧CD=弧BD，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．
5.40
6.125° 解析：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°．
7.证明：∵弧AB=弧AC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
8.解：连接AC、BD，∵C，D是弧AB的三等分点，∴AC=CD=BD，∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=（180°−30°）÷2=75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．故AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD，∴CD=AE=BF．
9.解：P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，连接OA、OA′、OB，∵弧AN=弧MN，∴∠AON=∠A′ON=60°．∵弧AB=弧BN，∴∠BON=∠AON=30°．∴∠A′OB=90°．∴A′B==．即AP+BP的最小值是．
24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
1.C
2.C 解析：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=3．
3.B 解析：连OA，OB，如图，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB=180°，而∠ADB=100°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°．
4.48 解析：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°,∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．
5.38 解析：∵AB=AC=AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°．
6.（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．∴∠EBC=22.5°．（2）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=CD．
7.解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；弧BD=弧CD；OD∥AC；
（2）∵OD⊥BC，BE=4，∴BE=CE=4，即BC=2BE=8，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，∴OB=5，
在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3，则ED=OB-OE=5-3=2．
8.解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=；
（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1.D 解析：（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆直径是=10．
2.D
3.C 解析：先证明三角形MNP是直角三角形，以MN为直径作⊙O时，OP= MN=⊙O的半径，∴点P在⊙O上．
4.D
5.点B；点A；点C，点M．
6. ② 解析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②．
7.解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．
8.（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：弧BD=弧CD,∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：弧BD=弧CD，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∠4=∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD,∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
1.C 解析：选项A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，错误；选项B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；选项C、两条平行弦所在直线没有交点，正确；选项D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径．
2.C 解析：根据题意画出图形，如图所示：
由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，∵BC2+AC2=302+402=900+1600=2500，AB2=502=2500，∴BC2+AC2=AB2，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC为圆B的切线，则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．
3.B 解析：作AD⊥BC于D．根据等腰三角形的三线合一，得BD=3；再根据勾股定理得AD=4，∵4=4，∴以4为半径的⊙A与BC所在直线的位置关系是相切．
4.A 解析：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM=(6×8)÷10=4.8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=5，∴AN=MN=AM，∴MN=2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r=2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
5.相交 解析：解：∵Rt△ABC中，AC=12cm，BC=5cm，∴根据勾股定理求得斜边是13；则圆心到直线的距离，即是直角三角形斜边上的高，是，又＜6，则直线和圆相交．
6.点P在⊙O外 解析：∵x2-2x+d=0没有实根，∴△=4-4d＜0，解得d＞1，∵⊙O的半径为1，∴点P在⊙O外．
7.相切 解析：∵令x=0，则y=- ；令y=0，则x= ，∴A（0，- ），B（，0），∵OA=OB= ，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD= AB= ×2=1，∴直线y＝x−与⊙O相切．
8.解：作CD⊥AB于D．∵∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB===5；由面积公式得：×AC×BC=×AB×CD，∴CD===2.4；∴当2.4＜R≤4时，⊙C与AB相交．
9.解：∵四边形ABCD是正方形，∴EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，∵FG∥AB，∴BG=GC=BC=a，AF=DF=a，∠EGB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：2AE2=a2，AE=a=BE，∵BE=a，BE⊥AC，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线AC的位置关系是相切；∵BG=a＜a，BG⊥FG，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线FG的位置关系是相交；∵BC=a，BC⊥CD，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线DC的位置关系是相离．
10.解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得：AC=700m，∠C=30°，则AD=AC=350m，∵350＞300，∴此公路不会穿过该公园．
24.2.2　直线和圆的位置关系(第2课时)
1.C 解析：选项A、∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，∴AG=BG，故正确；选项B、∵直线EF与⊙O相切于点D，∴CD⊥EF，又∵AB⊥CD，∴AB∥EF，故正确；选项C、只有当弧AC=弧AD时，AD∥BC，当两个互不等时，则不平行，错误；选项D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC．正确．
2.A 解析：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°．
3.A 解析：当点D在优弧BC上时，如图，连结OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴OB⊥BA，∴∠OBA=90°，∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，∴∠BDC=∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=180°-25°=155°，∴∠BDC的度数为25°或155°．
4.6 解析：连接OA、OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵AB=16，∴AC=AB=8，∵OA=10，AC=8，∴OC==6，∴小圆的半径为6.
5.55°或125 解析：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°-∠PAO-∠P-∠PBO=360°-90°-70°-90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．同理可得：当点C在弧AB上时，∠C=180°-55°=125°．
6.2 解析：解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．
7.解：（1）AC=CD，理由为：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B，∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠ODB+∠B=90°，∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°，∴∠DAC=∠CDA，则AC=CD；
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1．
8.（1）证明：连接OC．∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA． ∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即 CD⊥OC，点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，∴四边形DMOC是矩形，∴OC=DM，OM=CD=4．∵DC=4，AC=5，∴AD=3，设圆的半径为x，则AM=x-AD=x-3，∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．∴x2=（x-3）2+42，∴x=，∴⊙O的半径是，∴⊙O的直径的AE=2×=．
24.2.2　直线和圆的位置关系(第2课时)
1.C 解析：连接OA，OB，∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．
2.D 解析：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4-x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4-1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．
3.C 解析：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OA⊥AP，∠APO=∠APB=30°．∴OP=2OA，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，易证△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=2．
4. 105° 解析：如图，连接AO，OB，∵PA、PB分别切圆O于A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°-∠P=150°，设点E是优弧AB上一点，由圆周角定理知，∠E=75°，由圆内接四边形的对角互补知，∠ACB=180°-∠E=105°．
5.5 解析：连接OD，OE，x2-25x-150=0，（x-10）（x-15）=0，解得：x1=10，x2=15，∴设AD=10，BE=15，设半径为x，∴AB=AD+BE=25，∴（AD+x）2+（BE+x）2=AB2，∴（10+x）2+（15+x）2=252，解得：x=5，
6.证明：连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4；∴DB=DC．∵∠BED=∠3+∠2，∠EBD=∠4+∠5，且∠5=∠1，∴∠BED=∠EBD；∴DE=BD；∴BD=ED=CD．
7.解：（1）∵AD是切线，AEB是圆的割线，∴AD2=AE•AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；（2）∵∠B=90°，∴CB也是圆的切线，∵CD也是圆的切线，则有CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2+BC2=AC2即82+BC2=（4+BC）2，解得BC=6cm，∴S△ABC=AB•BC=24cm2．
24.3 正多边形和圆
1.B 解析：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．因此n的所有可能的值共五种情况．
2.B 解析：如图，边长为6，所以AF=GF=BG=2，可得正六边形的边长为2，又正六边形有一个公共边OE，所以可得两个六边形的周长为6×2+6×2-4=20，∴可得种花部分的图形周长为20m．
3.C 解析：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6mm，∠AOB=60°，
∴AM==3（mm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（mm）．
4.45 解析：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠P=∠BOC=45°．
5.9 解析：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
6.解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．
7.（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，∵F、G分别是BC、CD的中点，∴BF=CG，在△ABF和BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC，∵正五边形的内角为108°，∴∠AHG=108°．
8.解：（1）∵ABCDEF为正六边形，∴∠F=120°，∠AEF=30°，∴∠AED=120°-30°=90°，∴∠AOB=360°×=60°．（2）过点O作OH⊥AB垂足为H，∵∠AOH=30°，OA=2cm，∴由勾股定理得OH= cm，S△AOB= AB•OH= ×2×= cm2，∴正六边形ABCDEF的面积=6×S△AOB=6 cm2，⊙O的面积=π22=4πcm2，∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比=6 ：4π=3 ：2π．
24.4 弧长和扇形面积
第1课时
1.D 解析：如图，CD⊥AB，交AB于点E，∵AB是直径，∴CE=DE=CD=，又∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，∴OE=1，OC=2，∴BE=1，∴S△BED=S△OEC，∴S阴影=S扇形BOC==．
2.B 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，R=cm，则“蘑菇罐头”字样的长=（cm）．
3.A 解析：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=，AB=2，∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC==．
4. 解析：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°，∴弧AD的长为=5π．
5. - 解析：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，由在△ABG≌△DBH，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=-×2×=-．
6.解：如图，过点O作OC⊥AB于点E，∵扇形的弧长为2π，圆心角为120°，∴2π=，解得：r=3，∵OE⊥AB，OA=OB，∴AE=BE，∵∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴EO=，∴BE==，故AB=9，即这条弧所对的弦长为9．
7.（1）证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC=∠B=60°．∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°又∵∠ADC=∠B=60°，∴∠CAD=30°，∵EF与圆相切，∴∠FCA=∠ADC=60°，∴直角△ACF中，∠FAC=30°，∴∠FAC=∠CAD，又∵CG⊥AD，AF⊥EF，∴FC=CG，则
在△ACF和△ACG中：∠FAC＝∠CAD，∠AFC＝∠AGC，FC＝CG，∴△ACF≌△ACG（AAS）．
（2）解：在Rt△ACF中，∠ACF=60°，AF=4 ，∴∠FAC=30°，∴FC= AC，设FC=x，则AC=2x，（2x）2-x2=（4）2，解得：x=4，∴CF=4．在Rt△OCG中，∠COG=60°，CG=CF=4，得OC=．在Rt△CEO中，OE=．于是S阴影=S△CEO-S扇形COD=OE•CG−=-=．
24.4　弧长和扇形面积(第2课时)
1.D 解析：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，根据题意得•2π•2•R=8π，解得R=4，所以=2•2π，解得n=180，即圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．
2.底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为2cm，∴圆锥的母线长为4cm，∴侧面面积=×4π×4=8π；底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm2．
3.C 解析：∵圆的半径为r，∴圆的周长为2πr；∵扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为，∴2πr=，∴R=3r．
4. 解析：作OC⊥AB于C，如图，∵将半径为4cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，∴OC等于半径的一半，即OA=2OC，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，弧AB的长==π，设圆锥的底面圆的半径为r，∴2πr=π，解得r=，∴这个圆锥的高==（cm）．
5.8π 解析：解：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AB=AC=4，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×2=8π．
6.解：（1）如图，∵∠APB=90°，∴AB为⊙O的直径，∵APB为扇形，∵PA=PB，∴△PAB为等腰直角三角形，∴PA=AB=•4=4，∴这个扇形的面积==4π；（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，∵弧AB的长==2π，∴2π•r=2π，解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1．
7.解：（1）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，∵2r=l，∴l：r=2：1；（2）∵AO⊥OC，=2，∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°；（3）由图可知l2=h2+r2，h=3cm，∴（2r）2=（3）2+r2，即4r2=27+r2，解得r=3cm，∴l=2r=6cm，∴圆锥的侧面积为=18（cm2）．