三角函数及解三角形大题专题练习卷及参考答案

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三角函数参考答案：1．（Ⅰ）函数f(x)的最大值为,最小正周期.（Ⅱ）【详解】试题分析：(1)首先将函数化简为＝，根据三角函数的性质即得.函数的最大值为，最小正周期为.(2)由，得到，应用诱导公式及两角和的正弦公式，解得(1)＝，所以函数的最大值为，最小正周期为.(2)，所以，因为C为锐角，所以，在中，，所以，所以，考点：三角函数诱导公式，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质. 2．（1）；（2）24.【详解】（1）中，由，得且A为钝角，由，B为锐角，得．所以（2）由正弦定理得所以的面积．  3．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用诱导公式和两角和差公式化简，得到B的正切值，进而求的角B;(2) 在△BCD中用余弦定理可求得BC,进而利用三角形面积公式计算.【详解】（1）已知，用正弦定理得:，，，∵，；（2）在△BCD中用余弦定理得 ，，，，又，.【点睛】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，关键是要熟练使用正弦定理进行边角互化，并结合三角函数变换公式化简求得角B的值.4．（1）；（2）.【分析】（1）在中，由余弦定理可得,求得,进而利用三角形面积公式计算；（2）设，由题意可得，在、中，同时由余弦定理求得,得到关于的方程求解即得.【详解】解：因为，D是AC的中点，且，，所以在中，由余弦定理可得，可得，所以．设，由题意可得，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，所以，解得，所以，可得．【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式，属基础题，关键是在、中，同时由余弦定理求得,建立方程求解.5．（1）证明见解析；；；（2）．【分析】由,n≥2时，将n换成，所得式子与原式作差，消和得到，再次利用作差法得到，化简即证得为等差数列，从而求得通项公式，由三角函数的图象列出方程组得到ω，φ的值，进而得到f(x)的解析式；（2）化简bn的通项公式，可以发现是等比数列，利用等比数列求和公式即可求和.【详解】解：（1），即①②由②-①：，∴为等差数列，，，，得：，∴．（2），．【点睛】本题考查利用递推关系证明数列为等差数列，利用三角函数的图象求得三角函数的解析式中的参数值，利用通项公式判定数列为等比数列，利用等比数列的前n项和公式计算.6．(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S．(1)∵，∴,∴，即,又∵∴,解得或，又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴；(2)由（1）知，，，及已知条件,∴,，，又∵，∴，，∴.7．(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；（2）根据题意，得到内切圆的半径为1，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理和两角和正弦公式得：又因为所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以所以，即；（2）由题意知内切圆的半径为,则，解得.如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理化简并利用基本不等式得，解得或（舍去），（当时取等号）.从而，即面积S的最小值为.8．【详解】法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,．所以……①又，，即由正弦定理得，故…②由①，②解得．9．（1）（2）【分析】（1）直线与函数的图象分别交于、两点，当有， ，化简，即可求得答案.（2）因为，根据，即可求得答案.【详解】（1）直线与函数的图象分别交于、两点．当有， （2）∵∴｜MN｜的最大值为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题，解题关键是掌握正弦函数图象特征和辅助角公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．（1） （2）tanα=1或tanα=4【详解】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4． 11．（1）﹣1（2）【详解】试题分析：（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆． 12．（1）π（2）【详解】试题分析：（1）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（2）由（1）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π（2）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．13．(1) ;(2) .【详解】（1）由得即又 21世纪教育网 （2）由（1）得，，依题意，，又故函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为，是偶函数当且仅当即从而，最小正实数. 14．（1）周期为，最大值为2，最小值为-1 （2）【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以又 所以由函数图像知.（2）解：由题意而 所以所以所以 =.考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式 15．取得最大值，取得最小值【详解】由于函数在中的最大值为 最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值【点评】：此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键； 16．（1）（2）【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用. 试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝. 5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α.所以tan α＝，即tan∠PBA＝ . 12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数. 17．（1）；（2）.【分析】（1）将代入函数的解析式求出的值；（2）先利用已知条件，结合两角和与差的正弦公式求出的某个三角函数值，然后将代入函数的解析式，并结合诱导公式对进行化简，最后利用同角三角函数的基本关系求出的值.【详解】（1），所以，；（2），，，，，.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.18．（1）（2）【详解】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：因为，所以，由余弦定理得， 所以由正弦定理可得.因为，，所以，即. （2）解：由余弦定理得因为，所以.故. 考点：正弦定理和余弦定理的应用． 19．（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为，最小值为0【详解】试题分析：（Ⅰ）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为，函数的周期为；（Ⅱ）由定义域得到的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值试题解析：（Ⅰ）的最小正周期（Ⅱ）考点：1．三角函数式化简；2．三角函数性质 20．（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．所以．［方法4］：坐标法以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设，则．因为，所以．从而，又是锐角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．21．.【详解】由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,sinAsinC=. 又由=ac及正弦定理得故，或（舍去），于是 B=或 B=. 又由知或所以 B=．22．【分析】由题意利用正弦定理得sinA+sinC=2sinB，利用和差化积与二倍角公式求得sin的值，再根据同角的三角函数关系计算cos和sinB的值．【详解】解：△ABC中，a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，∴2sincos=4sincos，化简可得cos=2sin，即cos=2sin，解得sin=；∴cos==，∴sinB=2sincos=2××=．【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换应用问题，是基础题．23．【分析】将分式利用二倍角公式变形为，再将分式进行约简变形得出，然后由同角三角函数的基本关系求出的值，代入可得出答案．【详解】原式，因为所以，原式.因为为锐角，由，得，所以，原式【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系进行求值，解题的关键就是利用二倍角公式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．