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新教材适用2023_2024学年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第2课时二次函数与一元二次方程不等式的应用素养作业新人教A版必修第一册

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2023-10-27 14:11
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高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时当堂达标检测题

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这是一份高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( A )
A．－4≤a≤4 B．－4C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4
[解析] 由Δ＝a2－4×4≤0可得－4≤a≤4.
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－2,x)≤0))，则A∩B＝( B )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
[解析] 易求A＝{x|－1≤x≤1}，集合B＝{x|x(x－2)≤0且x≠0}＝{x|03．不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( B )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(3,4)≤x≤2)) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(3,4)≤x<2))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>2或x≤\f(3,4))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(3,4)))
[解析] 不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1，
移项得：eq \f(3x－1,2－x)－1≥0，
即eq \f(4x－3,x－2)≤0，
可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3≥0，,x－2<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3≤0，,x－2>0，))
解得eq \f(3,4)≤x<2，则原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(3,4)≤x<2)).
4．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( D )
A．－eq \r(2)C．－2[解析] 令y＝x2＋(m－1)x＋m2－2，当x＝1时函数值为y1，当x＝－1时，函数值为y2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝m2＋m－2<0，,y2＝m2－m<0，))解得05．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( D )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2[解析] 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；
当a－2≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,4a－22＋16a－2<0，))
解得－2二、填空题
6．若关于x的不等式eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝_4_.
[解析] 不等式eq \f(x－a,x＋1)>0等价于(x－a)(x＋1)>0，
因为不等式eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为{x|x<－1或x>4}，所以a＝4.
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0[解析] 依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
因为0即最低产量是150台．
8．若不等式x2＋2x＋2>|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是_{a|1[解析] ∵x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，
∴当x＝－1时，x2＋2x＋2有最小值，最小值为1，
由不等式x2＋2x＋2>|a－2|对于一切实数x均成立，
得|a－2|<1，解得1∴实数a的取值范围是{a|1三、解答题
9．设函数y＝ax2＋(b－1)x＋2.
(1)若不等式y<0的解集为{x|1(2)若当x＝－1时y＝5，且存在x∈R，使y<1成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为y＝ax2＋(b－1)x＋2<0的解集为{x|1所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(1－b,a)＝3，,\f(2,a)＝2，))解得a＝1，b＝－2.
(2)因为当x＝－1时y＝5，所以a－b＝2，
因为存在x∈R，y＝ax2＋(b－1)x＋2<1成立，即存在x∈R，ax2＋(a－3)x＋1<0成立，
当a＝0时，x>eq \f(1,3)，成立；当a<0时，函数y＝ax2＋(a－3)x＋1图象开口向下，成立；
当a>0时，Δ＝(a－3)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a>9或a<1，此时，a>9或0综上，实数a的取值范围为a>9或a<1.
10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象？
[解析] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．
B 组·能力提升
一、选择题
1．不等式eq \f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为( A )
A．{x|x≠－2} B．R
C．∅ D．{x|x<－2或x>2}
[解析] ∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，
∴x≠－2，∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
2．(多选题)下列结论错误的是( ABD )
A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
B．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
C．若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－eq \f(1,4)
D．不等式eq \f(1,x)>1的解集为{x|x<1}
[解析] 对A，当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为∅，故A错；
对B，当a＝0，b≠0时，不等式bx＋c≤0在R上不能恒成立，舍去．当a＝b＝0且c≤0时也恒成立，故B错．
对C，当a＝0时，不等式为x－1≤0，此时解集不是R，舍去；
当a≠0时，要使解集为R，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,1＋4a≤0，))解得a≤－eq \f(1,4).故C对，
对D，不等式可化为eq \f(1－x,x)>0，即eq \f(x－1,x)<0，即x(x－1)<0，解得{x|03．(多选题)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( BD )
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜eq \f(1,2) D．a≥0
[解析] 关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，
对x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.
A选项“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充要条件；
B选项“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的必要不充分条件；
C选项“0＜a＜eq \f(1,2)”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充分不必要条件；
D选项“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”必要不充分条件．
二、填空题
4．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是_3≤t≤5_.
[解析] 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
5．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0[解析] ∵x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0∴a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0令y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))，则y在eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0∴ymax＝－eq \f(5,2).∴a≥－eq \f(5,2).
∴a的最小值为－eq \f(5,2).
三、解答题
6．已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－2a,x－a2＋1)＜0))，其中a≠1.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B⊆A的实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝2时，A＝{x|2＜x＜7}，B＝{x|4＜x＜5}，所以A∩B＝{x|4＜x＜5}．
(2)因为B＝{x|2a＜x＜a2＋1}，当a＜eq \f(1,3)时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
要使B⊆A，必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≥3a＋1，,a2＋1≤2，,a≠1，))此时a＝－1；
当a＝eq \f(1,3)时，A＝∅，要使B⊆A，则B＝∅，即2a≥a2＋1，解得a＝1，与a＝eq \f(1,3)矛盾，所以这样的a不存在；
当a＞eq \f(1,3)时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，要使B⊆A，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≥2，,a2＋1≤3a＋1，,a≠1，))解得1＜a≤3.
综上可得：a的取值范围是{a|1＜a≤3或a＝－1}．
C 组·创新拓展
北京冬奥会于2022年2月4日开幕，随着冬奥会的举办，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情高涨．盛会的举行，不仅带动冰雪活动，更推动了冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)，其中C(x)与x之间的关系为C(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x2＋20x，0＜x＜60，x∈N*,50x＋\f(49 000,x－2)－1 980，x≥60，x∈N*))，通过市场分析，当每件产品售价为40元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．若将产品单价定为40元．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解析] (1)当0＜x＜60且x∈N*时，L＝40x－eq \f(1,4)x2－20x－200＝－eq \f(1,4)x2＋20x－200；
当x≥60且x∈N*时，L＝40x－50x－eq \f(49 000,x－2)＋1 980－200＝1 780－10x－eq \f(49 000,x－2).
故L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x2＋20x－200，0＜x＜60，x∈N*，,1 780－10x－\f(49 000,x－2)，x≥60，x∈N*.))
(2)当0＜x＜60且x∈N*时，L＝－eq \f(1,4)(x－40)2＋200，
当x＝40时，Lmax＝200；
当x≥60且x∈N*时，
L＝1 760－10eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(4 900,x－2)))≤1 760－10×2eq \r(x－2·\f(4 900,x－2))＝360，
当且仅当x－2＝eq \f(4 900,x－2)，即x＝72时，等号成立，Lmax＝360，
又因为360＞200.
故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

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