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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时练习，共3页。试卷主要包含了不等式<1的解集是，不等式≥2的解集是，不等式≤3的解集是 等内容，欢迎下载使用。
基础巩固
1.不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.
D.
答案C
解析原不等式等价于-1<0⇔<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>.故原不等式的解集为.
2.不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵原不等式等价于
∴
∴.
3.若关于x的一元二次不等式x2-(t+2)x+t>0恒成立,则t的取值集合是( )
A.{t|1≤t≤4}
B.{t|1C.{t|t≤1,或t≥4}
D.{t|t<1,或t>4}
答案B
解析由不等式对应方程的判别式Δ=(t+2)2-4×=t2+4t+4-9t=t2-5t+4<0,解得14.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意的x∈R恒成立,则m的最大值为( )
A.2B.-2C.-4D.4
答案C
解析由已知可得不等式对应方程的判别式Δ≤0,即Δ=(-4)2+4m≤0,解得m≤-4.
所以m的最大值为-4.
5.已知对∀a∈{a|-1≤a≤1},函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.13
C.12
答案B
解析整理可得y=(x-2)a+(x2-4x+4),当-1≤a≤1时,y>0,
即
即解得
故x<1或x>3.
6.不等式≤3的解集是 .
答案
解析由≤3,得-3≤0,即≥0,则解得x<0或x≥.
故不等式≤3的解集是.
7.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 ;
(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
答案(1)-4解析(1)由题意可得,方程x2-ax-a=0的判别式Δ1<0,即a2-4(-a)<0,解得-4(2)由x2-ax-a≤-3,得x2-ax-a+3≤0.
∵x2-ax-a+3≤0的解集不是空集,
∴方程x2-ax-a+3=0的判别式Δ2≥0,
即a2-4(3-a)≥0,解得a≤-6或a≥2.
8.设三角形三边的长度分别是15 cm,19 cm,23 cm,把它的三条边都缩短x cm,能组成钝角三角形吗?若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由.(提示:若△ABC的三边长分别为a,b,c,a2+b2解假设能组成钝角三角形,依题意得
整理可得解得39.已知关于x的不等式<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m<2(x2-2x+3)恒成立,
∴2x2-8x+6-m>0恒成立.
∴方程2x2-8x+6-m=0的判别式Δ=64-8(6-m)=16+8m<0,解得m<-2.
∴实数m的取值范围为m<-2.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是( )
A.-1C.2答案B
解析∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集是⌀,
∴方程x2-2x-(a2-2a-4)=0的判别式Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
即a2-2a-3<0,解得-12.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<-2,或x>1}B.{x|1C.{x|x<-1,或x>2}D.{x|-1答案C
解析由题意,可得x=1为方程ax-b=0的根,且a>0,∴a-b=0,即a=b>0.
∴>0,等价于(x+1)(x-2)>0.
解得x>2或x<-1.
故所求不等式的解集为{x|x>2,或x<-1}.
3.已知关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .
答案0解析∵关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,
∴解得0∴k的取值范围是04.对于集合A={x|x2-2ax+4a-3=0,a∈R},B={x|x2-2ax+a2+a+2=0,a∈R},是否存在实数a,使A∪B=⌀?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
解假设存在实数a,使A∪B=⌀,则A=B=⌀,即关于x的一元二次方程x2-2ax+4a-3=0与x2-2ax+a2+a+2=0均无实数根,于是有Δ1=4a2-4(4a-3)<0,且Δ2=8a2-4(a2+a+2)<0,解得15.某单位采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.
(1)该单位每月二氧化碳处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位处理二氧化碳每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能不亏损?
解(1)由题意可知,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000(400≤x≤600),所以每吨二氧化碳的平均处理成本为x+-200,有≥2-200=200,当且仅当x=,即当x=400时,等号成立.
因此,该单位每月二氧化碳处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
(2)每月利润Y=100x-(x2-200x+80000)=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000,400≤x≤600,当x=400时,函数取得最大值-40000.
所以该单位处理二氧化碳每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能不亏损.
基础巩固
1.不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1
D.
答案C
解析原不等式等价于-1<0⇔<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>.故原不等式的解集为.
2.不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵原不等式等价于
∴
∴.
3.若关于x的一元二次不等式x2-(t+2)x+t>0恒成立,则t的取值集合是( )
A.{t|1≤t≤4}
B.{t|1
D.{t|t<1,或t>4}
答案B
解析由不等式对应方程的判别式Δ=(t+2)2-4×=t2+4t+4-9t=t2-5t+4<0,解得1
A.2B.-2C.-4D.4
答案C
解析由已知可得不等式对应方程的判别式Δ≤0,即Δ=(-4)2+4m≤0,解得m≤-4.
所以m的最大值为-4.
5.已知对∀a∈{a|-1≤a≤1},函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.1
C.1
答案B
解析整理可得y=(x-2)a+(x2-4x+4),当-1≤a≤1时,y>0,
即
即解得
故x<1或x>3.
6.不等式≤3的解集是 .
答案
解析由≤3,得-3≤0,即≥0,则解得x<0或x≥.
故不等式≤3的解集是.
7.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 ;
(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
答案(1)-4
∵x2-ax-a+3≤0的解集不是空集,
∴方程x2-ax-a+3=0的判别式Δ2≥0,
即a2-4(3-a)≥0,解得a≤-6或a≥2.
8.设三角形三边的长度分别是15 cm,19 cm,23 cm,把它的三条边都缩短x cm,能组成钝角三角形吗?若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由.(提示:若△ABC的三边长分别为a,b,c,a2+b2
整理可得解得3
解∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m<2(x2-2x+3)恒成立,
∴2x2-8x+6-m>0恒成立.
∴方程2x2-8x+6-m=0的判别式Δ=64-8(6-m)=16+8m<0,解得m<-2.
∴实数m的取值范围为m<-2.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是( )
A.-1
解析∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集是⌀,
∴方程x2-2x-(a2-2a-4)=0的判别式Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
即a2-2a-3<0,解得-1
A.{x|x<-2,或x>1}B.{x|1
解析由题意,可得x=1为方程ax-b=0的根,且a>0,∴a-b=0,即a=b>0.
∴>0,等价于(x+1)(x-2)>0.
解得x>2或x<-1.
故所求不等式的解集为{x|x>2,或x<-1}.
3.已知关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .
答案0
∴解得0
解假设存在实数a,使A∪B=⌀,则A=B=⌀,即关于x的一元二次方程x2-2ax+4a-3=0与x2-2ax+a2+a+2=0均无实数根,于是有Δ1=4a2-4(4a-3)<0,且Δ2=8a2-4(a2+a+2)<0,解得1
(1)该单位每月二氧化碳处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位处理二氧化碳每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能不亏损?
解(1)由题意可知,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000(400≤x≤600),所以每吨二氧化碳的平均处理成本为x+-200,有≥2-200=200,当且仅当x=,即当x=400时,等号成立.
因此,该单位每月二氧化碳处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
(2)每月利润Y=100x-(x2-200x+80000)=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000,400≤x≤600,当x=400时,函数取得最大值-40000.
所以该单位处理二氧化碳每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能不亏损.
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