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2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）
A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8
2．方程3x2＝1的解为（ ）
A．±B．±C．D．±
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ）
A．6B．7C．4D．8
7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，
S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
二、填空题
9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝ ．
12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 ．
13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 ．
14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 分．
16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 ．
17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是 ．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为 ．
三、解答题
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝7；
（2）x2﹣x﹣7＝0．
20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝ ；
（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．
（1）y与x的函数关系式为 ；
（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ．
（2）求出圆的直径．
25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．
（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是 ；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；
（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．
26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF；
（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；
（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．
28．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
参考答案
一、选择题
1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）
A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8
【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式后，即可写出各项系数．
解：原方程化为一般形式为：5x2﹣6x+8＝0，
则二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，﹣6，8．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确化为一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．方程3x2＝1的解为（ ）
A．±B．±C．D．±
【分析】先把系数化1，再直接开平方．
解：先把系数化1，x2＝，
再直接开平方，x＝±＝±．
故选：D．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
【分析】根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．
解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，
而3＜4，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，
点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ）
A．6B．7C．4D．8
【分析】根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之即可．
解：∵数据2，3，5，x，7的平均数为5，
∴＝5，
解得x＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，
S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵S甲2＝2.56，S乙2＝1.92，
∴S2甲＞S乙2，
∴成绩较为整齐的是乙班．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到a2＝a+1，b2＝b+1，根据根与系数的关系得到a+b＝1，原式变形后代入计算即可求出值．
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，
∴a2＝a+1，b2＝b+1，
则原式＝2a•a2+5a+3b•b2+3b
＝2a（a+1）+5a+3b（b+1）+3b
＝2a2+7a+3b2+6b
＝2（a+1）+3（b+1）+7a+6b
＝9a+9b+5
＝9×1+5
＝14．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，熟练掌握方程解的定义以及根与系数的关系是解本题的关键．
二、填空题
9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义得出m2+1＝2，m﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴m2+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝ 3 ．
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 500（1+x）2＝605 ．
【分析】根据题意列出方程即可作答．
解：根据题意，可得：500（1+x）2＝605，
故答案为：500（1+x）2＝605．
【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 144° ．
【分析】利用平行线的性质求出∠AEG＝108°，可得结论．
解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，
∵EG∥BF，
∴∠AEG＝∠BAE＝108°，
∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．
故答案为：144°．
【点评】本题考查正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【分析】利用扇形的面积公式求解即可．
解：扇形的面积＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：S＝．
15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 87 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
解：根据题意可得，他的综合成绩是85×60%+90×40%＝87（分），
故答案为：87．
【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 2 ．
【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解：把这组数据从小到大排序后为1，1，2，2，3，
∴这组数据的中位数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是 7.6 ．
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．
解：一组数据1、3、x、5、8的众数为8，
所以x＝8．
于是这组数据为1、3、8、5、8．
该组数据的平均数为：（1+3+8+5+8）＝5，
方差S2＝[（1﹣5）2+（3﹣5）2+2×（8﹣5）2+（5﹣5）2]＝7.6．
故答案为：7.6．
【点评】本题考查了平均数、众数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为 ．
【分析】如图，连接OA，OD，由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，由∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE得，∠AOE＝∠DOF，证明△AOE≌△DOF（ASA），则OE＝OF，△EOF是等腰直角三角形，由P是EF中点，则OP⊥EF，∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，由∠OPF+∠ONF＝180°，可知O，P，F，N四点共圆，由，可得∠PNF＝∠POF＝45°，进而可得P在线段MN上运动，如图，延长MN，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，由题意知DH＝A′H＝AB＝3，，A′P′＝AP′，且A′P′+P′G＝AP′+P′G，可知当A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，在Rt△A′GH中，由勾股定理得，，计算求解A′G的值即可．
解：如图，连接OA，OD，
由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°＝∠AOD，
∵∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，
∴∠AOE＝∠DOF，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵P是EF中点，
∴OP⊥EF，
∴∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，
如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，
∴∠ONF＝90°，
∵∠OPF+∠ONF＝180°，
∴O，P，F，N四点共圆，
∵，
∴∠PNF＝∠POF＝45°，
∴P在线段MN上运动，
如图，延长NM，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，
由题意知DH＝A′H＝AB＝3，A′P′＝AP′，
∴A′P′+P′G＝AP′+P′G，
∴A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，
∵HG＝DH+DG＝3+4＝7，
在Rt△A′GH中，由勾股定理得，A′G＝，
∴AP+PG的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点P的运动轨迹．
三、解答题
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝7；
（2）x2﹣x﹣7＝0．
【分析】（1）移项，合并同类项，方程两边都除以2，再开方即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
解：（1）2x2﹣1＝7，
2x2＝7+1，
2x2＝8，
x2＝4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣x﹣7＝0，
这，里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，
∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可证明问题．
解：CE＝AF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴CE＝CD，
∵OF⊥AB，
∴AF＝，
∵AB＝CD，
∴CE＝AF．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝ 8 ；
（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
【分析】（1）根据平均数的定义列出关于a的方程，解之即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
解：（1）根据题意知，×（6+7×2+8×3+9×2+10+a）＝8，
解得a＝8，
故答案为：8；
（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，
所以甲成绩的中位数是×（8+8）＝8；
乙成绩中出现次数最多的为7，
故乙成绩的众数是7；
（3）乙成绩的方差为×[（﹣1）2×4+12×2+22×2+（﹣2）2+02]＝1.8，
∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的成绩更为稳定．
【点评】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
【分析】（1）由总人数乘以轻症患者所占的百分比即可；
（2）首先求出危重症患者的人数，再根据每人的平均花费可得答案；
（3）先求出重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可．
解：（1）200×80%＝160（人），
答：轻症患者的人数是160人；
（2）200×（1﹣15%﹣80%）＝10（人），
10×10＝100（万元），
答：该市为治疗危重症患者共花费100万元；
（3）轻症患者的人数是200×80%＝160（人），
×（1.5×160+3×30+100）＝2.15（万元），
答：所有患者的平均治疗费用是2.15万元．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．
（1）y与x的函数关系式为 y＝﹣2x+160（30≤x≤65） ；
（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到y＝60﹣2（x﹣50），即可解得；
（2）根据一次函数的性质即可求解．
解：（1）根据题意得，y＝60﹣2（x﹣50）＝﹣2x+160，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x≤65），
故答案为：y＝﹣2x+160（30≤x≤65）；
（2）（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
解得：x1＝40，x2＝70（舍去），
答：销售单价应定为40元．．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
（2）求出圆的直径．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得P的坐标；
（2）由勾股定理即可求得圆的直径．
解：（1）如图所示：连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，
则点P就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可知P的坐标为P（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）连接PB，设CB和过P点的垂线的交点为C，
由勾股定理得PB＝＝，
故圆的直径为2．
【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．
25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．
（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是 P1，P2 ；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；
（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据依附点的定义判定即可；
（2）根据勾股定理得出|2x|＝3﹣x2，即可得出x＝±，根据0＜x2≤1即可求得点P横坐标的取值范围；
（3）求得直线y＝﹣x+m与以O为圆心，3为半径的⊙O的切点坐标，代入直线解析式求得m的值，然后根据OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），结合图象即可求得m的取值范围．
解：（1）当x2＝1时，则OP＝3﹣1＝2，
∵P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1），
∴OP1＝2，OP2＝2，OP≠2，
∴点Q的依附点是P1（2，0），P2（﹣1，），
故答案为P1，P2；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，则P（x，x），
∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），
∴＝3﹣x2，
∴|2x|＝3﹣x2，
当x＞0时，x＝，
∵0＜x2≤1，
∴1≤x＜；
当x＜0时，﹣x＝，
∵0＜x2≤1，
∴﹣＜x≤﹣1；
∴点P横坐标的取值范围为1≤x＜或﹣＜x≤﹣1；
（3）∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），
∴2≤OP＜3，
如图，以O为圆心，3为半径作圆O，然后作直线y＝﹣x+m与圆O相切，则切点为（，）或（﹣，﹣），
把切点坐标代入y＝﹣x+m求得m＝±3，
∴若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，则m的取值范围为﹣3＜m＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用、“依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵∠DAE＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC＝∠OEC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
故∠OEC＝90°．
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，
∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．
【点评】本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大．
27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF；
（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；
（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝8，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝4﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+22＝（4﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝8，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴GE的长为；
（3）证明：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
28．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ﹣3 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
【分析】（1）利用因式分解法，求解即可；
（2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可；
（3）设AP的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出BP、PC，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可．
解：（1）∵6x3+14x2﹣12x＝0，
∴2x（3x2+7x﹣6）＝0．
∴2x（3x﹣2）（x+3）＝0．
∴2x＝0或3x﹣2＝0或x+3＝0．
∴x1＝0，x2＝，x3＝﹣3．
故答案为：，﹣3；
（2）方程，两边平方得2x+3＝x2，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝3是原方程的根，x＝﹣1不是原方程的根．
所以原方程的解为x＝3；
（3）设AP的长为xm，则DP的长为（14﹣x）m．
由题意，得＝28，
整理，得2＝x+21，
两边平方，得4（144+x2）＝x2+42x+441，
即3x2﹣42x+135＝0．
整理，得x2﹣14x+45＝0．
∴（x﹣5）（x﹣9）＝0．
所以x1＝5，x2＝9，
经检验x1＝5，x2＝9是原方程的根．
由于AP＞DP，
所以AP＝9m．
【点评】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键．
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）
A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8
2．方程3x2＝1的解为（ ）
A．±B．±C．D．±
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ）
A．6B．7C．4D．8
7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，
S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
二、填空题
9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝ ．
12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 ．
13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 ．
14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 分．
16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 ．
17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是 ．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为 ．
三、解答题
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝7；
（2）x2﹣x﹣7＝0．
20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝ ；
（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．
（1）y与x的函数关系式为 ；
（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ．
（2）求出圆的直径．
25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．
（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是 ；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；
（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．
26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF；
（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；
（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．
28．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
参考答案
一、选择题
1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）
A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8
【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式后，即可写出各项系数．
解：原方程化为一般形式为：5x2﹣6x+8＝0，
则二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，﹣6，8．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确化为一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．方程3x2＝1的解为（ ）
A．±B．±C．D．±
【分析】先把系数化1，再直接开平方．
解：先把系数化1，x2＝，
再直接开平方，x＝±＝±．
故选：D．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
【分析】根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．
解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，
而3＜4，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，
点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ）
A．6B．7C．4D．8
【分析】根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之即可．
解：∵数据2，3，5，x，7的平均数为5，
∴＝5，
解得x＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，
S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵S甲2＝2.56，S乙2＝1.92，
∴S2甲＞S乙2，
∴成绩较为整齐的是乙班．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到a2＝a+1，b2＝b+1，根据根与系数的关系得到a+b＝1，原式变形后代入计算即可求出值．
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，
∴a2＝a+1，b2＝b+1，
则原式＝2a•a2+5a+3b•b2+3b
＝2a（a+1）+5a+3b（b+1）+3b
＝2a2+7a+3b2+6b
＝2（a+1）+3（b+1）+7a+6b
＝9a+9b+5
＝9×1+5
＝14．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，熟练掌握方程解的定义以及根与系数的关系是解本题的关键．
二、填空题
9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义得出m2+1＝2，m﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴m2+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝ 3 ．
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 500（1+x）2＝605 ．
【分析】根据题意列出方程即可作答．
解：根据题意，可得：500（1+x）2＝605，
故答案为：500（1+x）2＝605．
【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 144° ．
【分析】利用平行线的性质求出∠AEG＝108°，可得结论．
解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，
∵EG∥BF，
∴∠AEG＝∠BAE＝108°，
∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．
故答案为：144°．
【点评】本题考查正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【分析】利用扇形的面积公式求解即可．
解：扇形的面积＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：S＝．
15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 87 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
解：根据题意可得，他的综合成绩是85×60%+90×40%＝87（分），
故答案为：87．
【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 2 ．
【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解：把这组数据从小到大排序后为1，1，2，2，3，
∴这组数据的中位数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是 7.6 ．
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．
解：一组数据1、3、x、5、8的众数为8，
所以x＝8．
于是这组数据为1、3、8、5、8．
该组数据的平均数为：（1+3+8+5+8）＝5，
方差S2＝[（1﹣5）2+（3﹣5）2+2×（8﹣5）2+（5﹣5）2]＝7.6．
故答案为：7.6．
【点评】本题考查了平均数、众数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为 ．
【分析】如图，连接OA，OD，由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，由∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE得，∠AOE＝∠DOF，证明△AOE≌△DOF（ASA），则OE＝OF，△EOF是等腰直角三角形，由P是EF中点，则OP⊥EF，∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，由∠OPF+∠ONF＝180°，可知O，P，F，N四点共圆，由，可得∠PNF＝∠POF＝45°，进而可得P在线段MN上运动，如图，延长MN，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，由题意知DH＝A′H＝AB＝3，，A′P′＝AP′，且A′P′+P′G＝AP′+P′G，可知当A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，在Rt△A′GH中，由勾股定理得，，计算求解A′G的值即可．
解：如图，连接OA，OD，
由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°＝∠AOD，
∵∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，
∴∠AOE＝∠DOF，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵P是EF中点，
∴OP⊥EF，
∴∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，
如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，
∴∠ONF＝90°，
∵∠OPF+∠ONF＝180°，
∴O，P，F，N四点共圆，
∵，
∴∠PNF＝∠POF＝45°，
∴P在线段MN上运动，
如图，延长NM，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，
由题意知DH＝A′H＝AB＝3，A′P′＝AP′，
∴A′P′+P′G＝AP′+P′G，
∴A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，
∵HG＝DH+DG＝3+4＝7，
在Rt△A′GH中，由勾股定理得，A′G＝，
∴AP+PG的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点P的运动轨迹．
三、解答题
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝7；
（2）x2﹣x﹣7＝0．
【分析】（1）移项，合并同类项，方程两边都除以2，再开方即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
解：（1）2x2﹣1＝7，
2x2＝7+1，
2x2＝8，
x2＝4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣x﹣7＝0，
这，里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，
∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可证明问题．
解：CE＝AF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴CE＝CD，
∵OF⊥AB，
∴AF＝，
∵AB＝CD，
∴CE＝AF．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝ 8 ；
（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
【分析】（1）根据平均数的定义列出关于a的方程，解之即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
解：（1）根据题意知，×（6+7×2+8×3+9×2+10+a）＝8，
解得a＝8，
故答案为：8；
（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，
所以甲成绩的中位数是×（8+8）＝8；
乙成绩中出现次数最多的为7，
故乙成绩的众数是7；
（3）乙成绩的方差为×[（﹣1）2×4+12×2+22×2+（﹣2）2+02]＝1.8，
∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的成绩更为稳定．
【点评】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
【分析】（1）由总人数乘以轻症患者所占的百分比即可；
（2）首先求出危重症患者的人数，再根据每人的平均花费可得答案；
（3）先求出重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可．
解：（1）200×80%＝160（人），
答：轻症患者的人数是160人；
（2）200×（1﹣15%﹣80%）＝10（人），
10×10＝100（万元），
答：该市为治疗危重症患者共花费100万元；
（3）轻症患者的人数是200×80%＝160（人），
×（1.5×160+3×30+100）＝2.15（万元），
答：所有患者的平均治疗费用是2.15万元．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．
（1）y与x的函数关系式为 y＝﹣2x+160（30≤x≤65） ；
（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到y＝60﹣2（x﹣50），即可解得；
（2）根据一次函数的性质即可求解．
解：（1）根据题意得，y＝60﹣2（x﹣50）＝﹣2x+160，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x≤65），
故答案为：y＝﹣2x+160（30≤x≤65）；
（2）（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
解得：x1＝40，x2＝70（舍去），
答：销售单价应定为40元．．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
（2）求出圆的直径．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得P的坐标；
（2）由勾股定理即可求得圆的直径．
解：（1）如图所示：连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，
则点P就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可知P的坐标为P（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）连接PB，设CB和过P点的垂线的交点为C，
由勾股定理得PB＝＝，
故圆的直径为2．
【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．
25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．
（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是 P1，P2 ；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；
（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据依附点的定义判定即可；
（2）根据勾股定理得出|2x|＝3﹣x2，即可得出x＝±，根据0＜x2≤1即可求得点P横坐标的取值范围；
（3）求得直线y＝﹣x+m与以O为圆心，3为半径的⊙O的切点坐标，代入直线解析式求得m的值，然后根据OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），结合图象即可求得m的取值范围．
解：（1）当x2＝1时，则OP＝3﹣1＝2，
∵P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1），
∴OP1＝2，OP2＝2，OP≠2，
∴点Q的依附点是P1（2，0），P2（﹣1，），
故答案为P1，P2；
（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，则P（x，x），
∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），
∴＝3﹣x2，
∴|2x|＝3﹣x2，
当x＞0时，x＝，
∵0＜x2≤1，
∴1≤x＜；
当x＜0时，﹣x＝，
∵0＜x2≤1，
∴﹣＜x≤﹣1；
∴点P横坐标的取值范围为1≤x＜或﹣＜x≤﹣1；
（3）∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），
∴2≤OP＜3，
如图，以O为圆心，3为半径作圆O，然后作直线y＝﹣x+m与圆O相切，则切点为（，）或（﹣，﹣），
把切点坐标代入y＝﹣x+m求得m＝±3，
∴若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，则m的取值范围为﹣3＜m＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用、“依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵∠DAE＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC＝∠OEC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
故∠OEC＝90°．
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，
∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．
【点评】本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大．
27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF；
（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；
（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝8，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝4﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+22＝（4﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝8，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴GE的长为；
（3）证明：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
28．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ﹣3 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
【分析】（1）利用因式分解法，求解即可；
（2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可；
（3）设AP的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出BP、PC，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可．
解：（1）∵6x3+14x2﹣12x＝0，
∴2x（3x2+7x﹣6）＝0．
∴2x（3x﹣2）（x+3）＝0．
∴2x＝0或3x﹣2＝0或x+3＝0．
∴x1＝0，x2＝，x3＝﹣3．
故答案为：，﹣3；
（2）方程，两边平方得2x+3＝x2，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝3是原方程的根，x＝﹣1不是原方程的根．
所以原方程的解为x＝3；
（3）设AP的长为xm，则DP的长为（14﹣x）m．
由题意，得＝28，
整理，得2＝x+21，
两边平方，得4（144+x2）＝x2+42x+441，
即3x2﹣42x+135＝0．
整理，得x2﹣14x+45＝0．
∴（x﹣5）（x﹣9）＝0．
所以x1＝5，x2＝9，
经检验x1＝5，x2＝9是原方程的根．
由于AP＞DP，
所以AP＝9m．
【点评】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键．
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
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