【期中真题】海南省琼海市嘉积中学2022- 2023学年高一上学期第二次月考（期中）数学试题.zip

嘉积中学2022—2023学年度第一学期高一年级第二次月考

高一数学科试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集定义直接得结果.

【详解】，

故选：D.

【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

2. 函数的定义域为（    ）．

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】列出关于x的不等式组即可求得函数的定义域.

【详解】要是函数有意义，必须，解之得

则函数的定义域为

故选：D

3. 若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：当时，显然不成立；

B：当时，显然没有意义；

C：当时，显然不成立；

D：根据不等式的性质，由能推出，

故选：D

4. 下列函数中是减函数的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的性质逐个判断单调性即可得结果.

【详解】在和上单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故A错误；

上单调递增，在内单调递减，故B错误；

在上单调递减，故C正确；

在上单调递减，在内单调递增，故D错误；

故选：C

5. 若函数，则（    ）

A.  B. 4 C. 6 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数分段处理即可求值.

【详解】解：因为

所以.

故选：D.

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式求解集，再根据充分、必要性定义判断关系.

【详解】由，可得，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.

【详解】由在上递减，要使在R上递减，

所以，可得.

故选：B

8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将问题化为在上值域是值域的子集，利用二次函数性质求值域，讨论、、结合一次函数性质求值域，即可确定参数范围.

【详解】要使对任意的，总存在，使得成立，

即在上值域是在上值域的子集，

开口向上且对称轴为，则上值域为；

对于：

当时在上值域为，

此时，，可得；

当时在上值域为，不满足要求；

当时在上值域为；

此时，，可得；

综上，的取值范围.

故选：D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数中与函数y=x表示同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】函数y=x的定义域为R，

对于A：函数的定义域为，定义域不同，故与y=x不是同一函数；

对于B：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x是同一函数；

对于C：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x不是同一函数；

对于D：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x是同一函数；

故选：BD

10. 已知，且是奇函数，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇函数性质求，再代入自变量求A、C对应的函数值，即可判断正误.

【详解】由，则，故，

所以，B错误，D正确；

故，A正确；

，而，故，C正确.

故选：ACD

11. 我们用符号表示两个数中较小的数，若，，则（    ）

A. 最大值为1 B. 无最大值 C. 最小值为 D. 无最小值

【答案】AD

【解析】

【分析】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，结合图象及新定义确定函数解析式及其最值.

【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，如图：

根据题意，图中实线部分即为函数的图象.

由，解得，，

所以，

当时，取得最大值，且，

由图象可知无最小值，

故选：AD.

12. 下列命题正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若正数、满足，则

C. 的最小值是2

D. 若，则的最大值是

【答案】ABD

【解析】

【分析】A作差法判断；B利用基本不等式“1”的代换求目标式范围，注意等号成立条件；C、D利用基本不等式求最值，注意取值条件即可判断.

【详解】A：由题设，故，正确；

B：，

当且仅当时等号成立，正确；

C：，而，故等号不能成立，所以最小值不为2，错误；

D：由题设，仅当时等号成立，故最大值为，正确.

故选：ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 写出命题：“，”的否定：________.

【答案】，

【解析】

【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定结论，即可写出.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以原命题的否定为，.

故答案为：，

14. 已知集合，则________.

【答案】##

【解析】

【分析】先化简集合A，再去求即可解决

【详解】由，可得或

则或

则

故答案为：

15. 偶函数定义域为，其部分图象如图所示，写出所有的单调增区间_________．

【答案】和

【解析】

【分析】由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间

【详解】因为函数是偶函数，故图象如图所示

由图可得的单调增区间为和，

故答案为：和

16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域是________.

【答案】

【解析】

【分析】由二次函数性质求区间值域，再由高斯函数定义写出的值域.

【详解】由题设且，故，

所以.

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；   

（2）或或.

【解析】

【分析】（1）由题设，即求参数值，注意验证所求m值.

（2）讨论、分别求m值，再验证是否满足条件即可.

【小问1详解】

由题意，所以，即或.

又，所以.

综上，.

【小问2详解】

若，则或，

当时，不满足集合元素的互异性，排除；

当时，，，此时满足；

若，得或.

当时，，，此时满足；

当时，，，此时满足；

综上，或或.

18. （1）已知，求的最小值

（2）已知，求的最大值

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；

（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.

【详解】（1）时，，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，最小值是；

（2），故，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，的最大值是

19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上单调递减.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；

（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.

【小问1详解】

因为函数是奇函数，

所以，所以，则，

此时，所以，解得，

所以；

【小问2详解】

证明：，且，

则，

∵

∴，，则，

又

∴，即，

所以在上单调递减.

20. 已知函数.

（1）若，求在区间上的值域；

（2）若在区间上有最大值，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）化简函数，利用二次函数的单调性即可求出在区间上的值域；

（2）函数的对称轴为，讨论对称轴是否在区间内，利用在区间上有最大值，即可求出实数的值.

【小问1详解】

若，

∴在区间上，最大值为，最小值为

∴的值域为.

【小问2详解】

图象的对称轴为，

①当时，函数在区间上单调递减，

则，即；

②当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

则，解得或，不符合题意；

③当时，函数在区间上是增函数，

则，解得；

综上所述，或.

21. 某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

【答案】（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【解析】

【分析】

（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；

（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.

【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；

当40≤x≤100时，L(x)＝

．

所以

（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，

所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．

②当40≤x≤100时，，

当且仅当，即x＝50时取等号．

因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．

答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.

22. 已知定义在上函数满足：对，都有，当时，，且.

（1）求和的值；

（2）证明函数为上的减函数；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）利用赋值法可得解；

（2）利用定义法可证明函数的单调性；

（3）根据函数的单调性直接解不等式即可.

【小问1详解】

令，，所以，即，

令，，所以，

，，

；

【小问2详解】

证明：，且，

有已知得，

由知，所以，

则，即，

故函数为上的减函数；

【小问3详解】

有已知得，

故原不等式可等价于，而函数为上的减函数，所以恒成立，

又，所以恒成立，

而，当且仅当，即时取等号，

所以，即实数的取值范围为.