【期中真题】海南省海南中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题.zip

海南中学2022-2023学年度第一学期期中考试

高一数学试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列表示正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用常用数集符合的意义，逐项判断作答.

【详解】表示正整数集，而-3是负整数，A不正确；

表示自然数集，0是自然数，B正确；

表示整数集，是分数，C不正确；

表示有理数集，是无理数，D不正确.

故选：B

2. 已知命题，使得，则为（    ）

A. ，都有 B. ，使得

C. ，都有 D. ，使得

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】因为，使得，

所以为：，都有.

故选：C.

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

详解】设，，.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

4. 现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，某粮食收购站有两种收购方案．方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦元/kg，二级小麦元/ kg（）；方案二：以方案一两种价格的平均数收购．收购方式更加优惠的是（    ）

A. 方案一 B. 方案二 C. 同样优惠 D. 以上均有可能

【答案】D

【解析】

【分析】分别列出方案一和方案二的收购总价格表达式，作差，通过讨论m和n的大小，来确定哪种方案更优惠.

【详解】解：由题意，，

方案一： ，

方案二：，

两种方案的差值：，

当时，，方案一更优惠，

当时，，方案二更优惠，

当时，，两种方案都优惠，

综上，方案一、二均有可能更优惠

故选：D.

5. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答.

【详解】函数有意义，则有，解得且，

所以函数的定义域是.

故选：C

6. 已知函数由下表给出，则等于（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据复合函数求函数值的运算法则计算即可．

【详解】解：由题干中表格可知

，

．

故选：D．

7. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式即可.

【详解】可变形为，

令，得，，

所以或，即不等式的解集为.

故选：A.

8. 已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的单调性，列出不等式，解之即可求解.

【详解】因为函数是定义在上的减函数，且，

所以，解得：，所以实数的取值范围是，

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

A．根据进行判断；B．根据进行判断；C．对赋值进行判断；D．取进行判断.

【详解】A．因为，所以，故正确；

B．因为，所以，故正确；

C．当时，此时，所以，故错误；

D．当时，此时，故错误，

故选：AB.

10. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

11. 下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据函数的定义域和对应法则是否相同，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，与对应法则和定义域均相同，

所以两函数是同一函数，故A正确；

对于B，，，对应法则和定义域均相同，

所以两函数是同一函数，故B正确；

对于C，的定义域为，的定义域为且，所以两函数不是同一函数，故C错误；

对于D，与的定义域都为R，对应法则都相同，

所以两函数是同一函数，故D正确.

故选：ABD.

12. 已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 的最小值为2

C. 若，则的最小值是9

D. 若，则的最大值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合基本不等式，可判定A正确；结合基本不等式和等号成立的条件，可判断B不正确；结合“1”的代换和基本 不等式可判定C正确；由，结合，可判定D正确.

【详解】对于A中，由，则，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；

对于B中，由，

当且仅当时，即，此时不成立，所以B不正确；

对于C中，由，则，

当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；

对于D中，因为，所以，

由，

又由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数是幂函数,且其图像过原点,则_________．

【答案】-3

【解析】

【详解】试题分析：因为函数是幂函数，所以，解得，当，其图像不过原点，应舍去，当， 其图像过原点．

考点：幂函数的性质．

14. 当时，函数的最大值为______．

【答案】8

【解析】

【分析】对函数配方后，利用二次函数性质求解即可.

【详解】，对称性为，

因为，

所以当时，函数的最大值为，

故答案为：8

15. 如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则称这两个函数为一组海中函数，请写出一组海中函数：_________，_________．

【答案】    ①. ，    ②. ，（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据海中函数的定义，写出一组即可.

【详解】根据海中函数的定义可写与，即可满足题意.

故答案为：

16. 若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集是____________．

【答案】{x|－1<x<－}

【解析】

【分析】观察两个不等式的系数间的关系，得出其根的关系，

再由 和 的正负可得解.

【详解】由已知可得：

的两个根是 和，且

将 方程两边同时除以 ，

得，

所以的两个根是 和 ，且

解集是

故得解.

【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式间的关系，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，集合，.

（1）求；

（2），求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出集合，然后利用补集和并集的定义可求出集合；

（2）求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.

【详解】（1），，

又，因此，；

（2），，因此，.

【点睛】本题考查交集、补集与并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.

18. 已知函数是偶函数，当时，．

（1）求该函数的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义推理即可,；

（2）按照偶函数的性质求解即可.

【小问1详解】

由函数是偶函数，可得当时，，

故 ；

【小问2详解】

当时，，解得；

当时，，解得；

综上，该不等式的解集为或；

综上，， 的解集为或.

19. 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车平均速度（千米/小时）的2倍．（运输总费用＝运费＋装卸费＋损耗费）

（1）请写出运输总费用关于的函数；

（2）为使运输总费用不超过1260元，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可直接得出；（2）解不等式即可得到的取值范围.

【小问1详解】

由题意可得：．

【小问2详解】

由题意可得：，

化简得，

解得，

故为使运输的总费用不超过1260元，的取值范围为．

20. 已知定义域为的函数．

（1）当时，试讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围．

【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；

（2）利用函数的单调性定义求解.

【小问1详解】

解：当时，在上单调递减，在上单调递增．

证明如下：

，，

则，

，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

所以在上单调递减．

同理可得在上单调递增．

小问2详解】

∵函数在区间上单调递减，

∴，，

则，

，

又∵，

∴，，

∴，

∴，

由，的任意性，可得，

故．

21. 已知函数．

（1）填写下表，在给出的坐标系中画出函数图像（不写过程，直接画图）：

（2）观察图像，函数的图像关于_________对称，用数学符号表示为_________．

（3）写出函数图像关于直线成轴对称图形的充要条件，并证明．

【答案】（1）填表见解析；作图见解析   

（2）直线；，都有，且   

（3），都有，且；证明见解析

【解析】

【分析】(1)把的值代入函数解析式，求出相应的，或由的值求出相应的，填写表格并描点连线画出函数图像.

(2)由函数图像观察对称轴，并写出符号表示.

(3)写出结论成立的充要条件，并用充要条件的定义证明.

【小问1详解】

【小问2详解】

观察图像可知，函数的图像关于直线对称，用数学符号表示为：  ，都有，且.

【小问3详解】

函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件为：，都有，且．

证明如下：

设点关于直线对称的点为，则有，即，

充分性：∵，都有，且，

任意点在函数的图像上，其关于直线对称的点，即点也在函数的图像上；

必要性：∵函数的图像关于直线成轴对称，所以任意点在函数的图像上，其关于直线对称的点也在函数图像上，故，且．

22. 已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）求，的值；

（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据列方程求解即可；

（2）根据题意知只要，所以只要求得两个函数的最大值再求参即可．

小问1详解】

解：依题意函数是定义在上的奇函数，

，，

，

为奇函数．

，．

【小问2详解】

解：由于对任意的，总存在，使得成立，

．

而在上单调递增，证明如下：

任取，

，

其中，，

，

故在上单调递增．

故．

当时，在上单调递增，

，

．

当时，在上单调递减，

，

，

．

当时，．

综上所述，．

【点睛】本题的难点是（2）中如何理解，我们可以这样理解：在考虑时，把看成常数，所以对，要满足，只需即可；同理在考虑时，只要把看成常数，所以对要满足，只要．所以两者同时成立时，就必有．可见学好函数必须要掌握好常量与变量的定义．