2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期7月期末数学试题含答案

2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期7月期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解.

【详解】由，得，

结合，可知.

故选：B.

2．已知复数，若为纯虚数，则（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】计算，根据纯虚数的概念，可得，然后根据复数的模的计算，可得结果.

【详解】为纯虚数，

，

，

故选：B

【点睛】本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.

3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合奇偶性和单调性逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；

对于选项B：因为是偶函数，

且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，

对于选项C：是偶函数，

且当时，在区间上单调递增，故C正确；

对于选项D：是偶函数，

注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；

故选：C.

4．已知函数，则（    ）

A．3 B．1 C．2 D．-2

【答案】C

【分析】根据题意结合对数运算直接运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：C.

5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4天的用电量与当天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知，，由数据得线性回归方程：，并预测当气温是5℃的时候用电量为（    ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【答案】B

【分析】根据题意可知样本中心为，又回归方程必过样本中心可知，，再将代入回归方程，即可求出结果.

【详解】因为，，

所以，，所以样本中心为，

由回归方程必过样本中心可知，所以，得，

所以，

当时，.

故选：B.

6．已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（    ）.

A．6 B．16 C． D．2

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，代入化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值.

【详解】设等差数列的公差为，则由，得

，

则，

因为，所以（），

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为2，

故选：D

7．某同学买了一打一次性锡纸烘焙模具，如图，模具为圆台状的托盘，高为，下底部直径为，上面开口圆的直径为，若该同学用此模具烘焙一个蛋糕，烘焙成型后，模具开口圆上方的蛋糕膨胀，膨胀部分视为半球形，半球底面大小与模具开口圆大小相同（烘焙前后模具形状大小不发生变化，模具厚度不计），则烘焙成型后蛋糕的总体积约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知烘焙成型后蛋糕的总体积等于圆台的体积加上半球的体积即可

【详解】由题意可知烘焙成型后蛋糕是由一个圆台和一个半球组成的，且圆台上、下底面半径分别为20mm，30mm，高为20mm，半球的半径为30mm，

所以烘焙成型后蛋糕的总体积为

，

故选：B

8．命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果.

【详解】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，

当时，在上恒成立，所以满足条件，

当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，

当时，显然有不恒成立，

故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.

故选：C.

二、多选题

9．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对于AC，利用不等式的性质分析判断，对于B，利用指数函数的性质分析，对于D，利用对数函数的性质分析判断.

【详解】对于A，因为，所以由不等的性质可得，所以A正确，

对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误，

对于C，因为，，所以，得，所以C错误，

对于D，因为在上递增，，所以，所以D正确，

故选：AD

10．已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是（    ）

A．圆M的圆心为，半径为1

B．直线的方程为

C．线段的长为

D．取圆M上的点，则的最大值为36

【答案】BD

【分析】A选项，将圆的一般式化为标准式，得到圆心和半径，A正确；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，由垂径定理得到线段的长；D选项，设，利用三角恒等变换得到最值.

【详解】A选项，变形为，

圆心为，半径为1，A错误；

B选项，圆和圆相减得，

故直线的方程为，B正确；

C选项，由B可知，直线的方程为，

圆心到的距离为，

故线段的长为，C错误；

D选项，由题意得，设，

则

，其中，

故当时，取得最大值，最大值为，D正确.

故选：BD

11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期是

B．的值为

C．若为偶函数，则最小值为

D．在上单调递增

【答案】BC

【分析】根据题意，求得函数的最小周期，可判定A错误；结合三角函数图象与性质，求得函数，再结合正弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数的图象，可得，且函数的最小正周期为，所以A错误；

又由，所以函数，

因为，所以该函数的一条对称轴为，

则，即，可得，

解得，所以，

所以，所以B正确；

若为偶函数，即为偶数，

所以，解得，

当时，取得最小时，最小值为，所以C正确；

令，解得，

当时，在上单调递减，所以D错误.

故选：BC.

12．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，设函数（其中），则下列说法正确的是（    ）

A．函数关于点中心对称

B．函数是以4为周期的周期函数

C．当时，函数恰有2个不同的零点

D．当时，函数恰有3个不同的零点

【答案】BCD

【分析】利用递推关系得，结合奇函数性质易得，即可判断A、B；对于的零点，转化为研究与的交点，数形结合法判断零点的个数即可判断C、D.

【详解】由，即，则关于对称，A错；

又是定义在上的奇函数，则，

而，则，故，

所以，即是以4为周期的周期函数，B对；

当，对于的零点，只需研究与的交点，

若，则，

显然，，且在上递增，上递减，

结合对称轴、周期性、奇函数，的图象及部分图象如下：

由图知：与有且仅有2个交点，即恰有2个不同的零点，C对；

若，则，如下图示，

由图知：与有且仅有3个交点，即恰有3个不同的零点，D对；

故选：BCD

三、填空题

13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则          .

【答案】-1

【分析】由奇函数的性质可得，，结合条件求的值.

【详解】由函数是定义在上的奇函数得，，

又当时，，

所以，

所以

故答案为：-1.

14．已知平面向量，，若，则        .

【答案】/

【分析】根据两向量平行的坐标表示即可计算出.

【详解】利用两向量平行可知，，

解得.

故答案为：

15．2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为      ．

【答案】/

【分析】先根据正态分布求考生的成绩高于85的概率，再根据独立事件求恰有2名考生的成绩高于85的概率即可.

【详解】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率，

所以恰有2名考生的成绩高于85的概率.

故答案为：.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点.若，则的离心率为      .

【答案】

【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A，B两点的坐标，之后根据题中条件，得出A是的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率.

【详解】设直线的方程为，两条渐近线的方程分别为和，

分别联立方程组，求得，

由，为的中点得A是的中点，

所以有，整理得，

结合双曲线中的关系，可以的到，

故答案为：.

四、解答题

17．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

18．在中，内角所对的边分别为，，，已知，，且的面积为.

(1)求；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据面积公式和余弦定理运算求解；

（2）根据（1）中结果求得，进而利用余弦定理求，再结合倍角公式运算求解.

【详解】（1）因为，则角为钝角，所以，

因为，解得，

又因为，即，

所以.

（2）由（1）可得，解得或（舍去），

可得，

所以.

19．某学校长期坚持以人为本，实施素质教育，每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为五个等级，等级分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.

(1)求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分；

(2)若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，诗词知识竞赛的平均分分

(2)分布列见详解，

【分析】（1）根据环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，可求得班级总人数，根据诗词知识竞赛中A的频率，即可求得诗词知识竞赛成绩为A的人数，代入平均数公式，即可求得诗词知识竞赛的平均分；

（2）由题意可知X的所有取值为27，28，29，30，结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】（1）由题意可知：环保知识竞赛的成绩为A的频率为，

则该班学生的总人数为人，

因为诗词知识竞赛的成绩为A的频率为，

可得诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，

诗词知识竞赛的平均分（分）.

（2）由题意可知：的可能取值为30，29，28，27，则有：

，

，

可得的分布列为

所以的数学期望.

20．如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P．

求证：平面平面ABCD；

求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】利用折叠前后AD与AB，AE的垂直关系不变容易证明；取AB中点O，利用的结果，容易建立空间坐标系，得到各点坐标，进而得到向量，法向量，代入公式计算即可．

【详解】证明：四边形ABCD为正方形，

，，

，

平面PAB，

平面平面PAB；

以AB中点O为原点建立空间坐标系如图，

，

，

，0，，，，

，，，

设是平面PCD的一个法向量，

则，

，

取，则，

设直线PB与平面PCD的所成角为，

则

，

故直线PB与平面PCD的所成角的正弦值为：．

【点睛】此题考查了线面垂直，斜线与平面所成角等，难度适中．利用平面与平面垂直的判定定理的关键点：（1）通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，进一步转化为处理线线垂直问题，（2）证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．

21．已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且.

(1)求的标准方程；

(2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，其方程为：

【分析】（1）先求出点的坐标，得出椭圆的，结合椭圆的几何性质可出答案.

（2）设直线的方程为：，,将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案.

【详解】（1）设右焦点

直线与轴的交点为，所以椭圆右焦点的坐标为

故在椭圆中 ，

由题意，结合，则

所以椭圆的方程为：

（2）当直线的斜率为0时，显然不满足条件

当直线的倾斜角不为时，设直线的方程为：，

由，可得

由题意

则

由

化简可得，由，即

故存在满足条件的直线，直线的方程为：

22．已知函数，

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求证：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出原函数的导函数，求出函数，再求出的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.

(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.

【详解】（1），

在点处的切线方程为，

（2）当时，令，

，，

所以在上单调递增，且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，

所以.

【点睛】该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.