2022-2023学年海南省琼山中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年海南省琼山中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若直线与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由两直线垂直可直接构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.

故选：C.

2．已知为两两垂直的单位向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.

【详解】由题意知：，，

，.

故选：B.

3．已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得到，再解不等式即可.

【详解】因为方程表示圆，

所以，解得.

故选：D

4．已知平行六面体中，点为线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】

.

故选：C.

5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型的概率公式计算即可

【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数，

设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}

则

∴

故选：A．

6．已知空间向量，，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量夹角余弦公式可求得，由同角三角函数关系得到，代入面积公式中即可求得结果.

【详解】，又，

，

以为邻边的平行四边形的面积.

故选：B.

7．生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥，其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且，则的重心G到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为所有棱长都为6，所以，，

所以，，，，，

因为为的重心，所以.

设，，，

因为，所以，即.

因为，，

则G到直线的距离.

故选：B

8．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，可分别求得坐标，利用两点间距离公式可将表示为，利用基本不等式可得最小值，由取等条件可得结果.

【详解】由题意知：直线斜率存在且不为，可设，

令，解得：，即；令，解得：，即；

，，

（当且仅当，即时取等号），

即当时，取得最小值.

故选：A.

二、多选题

9．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲同学体温的极差为

B．甲同学体温的第75百分位数为

C．乙同学体温的众数，中位数、平均数相等

D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

【答案】ACD

【分析】由折线图计算甲同学体温的极差，判断A；将甲同学的体温从小到大排成一列可计算出第75百分位数，判断B;将乙同学体温从小到大排成一列，计算出众数，中位数、平均数，判断C;比较甲乙两人的体温波动情况，可判断D.

【详解】观察折线图知甲同学体温的极差为，A正确；

将甲同学的体温从小到大排成一列： ，

因为，所以甲同学体温的第75百分位数为，B错误；

乙同学体温从小到大排成一列： ，乙同学体温的众数为，中位数为，平均数为，C正确；

乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，D正确.

故选：

10．已知空间向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．与方向相同的单位向量为

【答案】BC

【分析】由向量模长、数量积运算、垂直关系的向量表示和方向相同的单位向量的求法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，，解得：，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

11．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（    ）

A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件

B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件

C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件

D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立

【答案】BC

【分析】根据互斥，对立事件与相互独立事件的定义逐个判断即可

【详解】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误；

对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确；

对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确；

对D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件 “第二次摸到的是黑球” 的概率，又，因为，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球” 不相互独立，故D错误；

故选：BC

12．如图，在四棱锥中，点在平面的投影为，底面为矩形，，，若为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线面角的向量求法，结合基本不等式可求得所求线面角正弦值的最大值为，由此可得结果.

【详解】由题意知：平面，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，，

（当且仅当，即时取等号），

即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，

则直线与平面所成角的正弦值不可能为和.

故选：CD.

三、填空题

13．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)， B(0，4)， O为坐标原点，则△ABO的外接圆的方程是__________.

【答案】(x-1)2+(y-2)2=5

【分析】由题意可知：，所以为直角三角形，其外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边长度的一半，进而求解.

【详解】由题意可知: ,故为直角三角形,

的外接圆的圆心为的中点，半径为,

所以外接圆的标准方程为,

故答案为: .

14．若空间向量，，则在上的投影向量的坐标为___________.

【答案】

【分析】根据投影向量定义直接求解即可.

【详解】，，

在上的投影向量为.

故答案为：.

15．已知点在平面内，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________.

【答案】##

【分析】先求得向量，再利用公式即可求得点到平面的距离

【详解】由，，可得

又点在平面内，为平面的一个法向量，

则点到平面的距离

故答案为：

16．已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.

【详解】∵，即，

令，则，

即直线过定点，且斜率，

则，

根据题意结合图形可得或，即或.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面直角坐标系中，点.

(1)若M为的中点，求直线的斜率；

(2)求点C到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由中点坐标公式得，再由斜率公式即可求解；

（2）由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求解即可

【详解】（1）因为M为的中点，且，

所以由中点坐标公式得，

又，

所以直线的斜率为；

（2）因为直线的斜率为，

所以直线的方程为，即，

所以点C到直线的距离为

18．如图所示，长方体中，，点E，F分别为线段的中点，点G在线段上，且.

(1)求证：

(2)求直线所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解；

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，转化为证明即可；

（2）由线线角的向量公式求解即可.

【详解】（1）

由长方体，故直线两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系，故，

，

，即.

（2）由（1），，故，

不妨记直线所成角为，则,

故直线所成角的余弦值是.

19．某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：

现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；

（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；

（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01）

【答案】（1）0.84；（2）61200元；（3）.

【分析】（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计,用公式估计出事件A的概率；

（2）由（1）可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是三等品的概率估计值，这样可以求出10000件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量，最后估计出利润；

（3）求出质量指标值的频率和质量指标值的频率，这样可以求出质量指标值M的中位数估计值.

【详解】解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计，

，

又，

故事件A的概率估计为0.84..

（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，065，

故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，

从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，

故利润估计为元

（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，

质量指标值的频率为，

质量指标值的频率为，

故质量指标值M的中位数估计值为.

【点睛】本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应用数学知识解决实际问题的能力.

20．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求A；

(2)设向量，，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知利用正弦定理得，化简再利用余弦定理即可得出；

（2）由已知得，又，结合三角恒等变换得，利用三角函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）由正弦定理，得，

∴，即，

由余弦定理得，

∵，∴；

（2）∵，又，

∴，

∵，∴，

∴当，即，时，取最小值．

21．如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．

（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？

（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.

【解析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得；

（2）设警示牌为CM，由的大小得点坐标，从而可得直线方程，求得它与轴交点的坐标，得影子长．

【详解】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①

因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，

可设的斜率为，则＝，

又C（6，0），

所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②

由①②组成方程组，求得点A（，15）；

所以|AB|＝＝2，

即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；

（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，

则M（6，），A（，15），

所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），

令yN＝0，解得xN＝7，

所以CN＝7﹣6＝.

所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．

【点睛】本题考查直线方程的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出直线方程，由直线方程得交点坐标，得线段长．

22．如图所示，在直三棱柱中，，四边形均为正方形，点在线段上，点是线段的中点.

(1)若，求平面与平面所成角的余弦值.

(2)探究：在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可求得结果；

（2）假设存在点，使得平面，求得平面的法向量后，由可求得的值，由此可得结果.

【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，

，，，，

，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

平面，平面的一个法向量为，

，

即平面与平面所成角的余弦值为.

（2），，，，

，，

假设在线段上存在点，使得平面，则；

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

，解得：，，

在线段上存在点，满足，使得平面.