2022-2023学年海南省海口中学高一上学期期中检测数学试题（解析版）

2022-2023学年海南省海口中学高一上学期期中检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接由集合并集的定义运算即可.

【详解】，，则.

故选：B

2．已知命题，．则（    ）

A．p为真命题，， B．p为假命题，，

C．p为真命题，， D．p为假命题，，

【答案】B

【分析】利用根的判别式即可判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.

【详解】解：对于方程，即，

，所以方程无解，

故p为假命题，

，.

故选：B.

3．若，则当取得最大值时，x的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式即可得到答案.

【详解】因为，所以，则，

当且仅当时取“=”.

故选：D.

4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】抽象函数定义域求解，掌握两点：同一个对应法则下，取值范围相同；定义域对应的是一个的取值范围.

【详解】由题意得：，故，

所以，解得：，

又，解得：，

综上：的定义域为.

故选：B

5．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.

【详解】设幂函数为，

因为该幂函数得图象经过点，

所以，即，解得，

即函数为，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，所以排除B，

故选：A

6．已知函数，若，则（    ）

A．1或 B．或 C．或5 D．1或5

【答案】A

【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.

【详解】当时，得：；

当时，得：；

综上，或.

故选：A

7．已知函数的定义域为，且满足：，，，则（    ）

A． B．

C．为偶函数 D．为奇函数

【答案】C

【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D.

【详解】令，则，即有，

则，A错误；

令，则，

令，则，即，

则，B错误；

令，则，即，

故，为偶函数,C正确；

令，则，即，

由于，故不是奇函数，D错误，

故选：C.

8．已知为定义在R上的奇函数，且对任意的非负数，有，且，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对任意的非负数，，可得在上单调递减，故在上单调递减，由为奇函数，得到关于中心对称，由得到，即，由函数的单调性得到不等式，求出答案.

【详解】因为对任意的非负数，，

故在上单调递减，

因为，

所以在上单调递减，

因为为定义在R上的奇函数，

所以定义域为R，且关于中心对称，

所以在R上单调递减，

由得：，

其中，

所以，，

即，解得：.

故选：D

二、多选题

9．下列函数中是奇函数的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据奇函数关于原点对称，即可判断正误.

【详解】对于A，关于对称，错误；

对于B，， ，满足，且，正确；

对于C，定义域为，，满足，正确；

对于D，定义域为，，所以为偶函数，错误；

故选：BC.

10．下列不等式中解集非空的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据一元二次不等式的解法逐个求解判断即可.

【详解】对于A，因为，抛物线开口向上，所以不等式无解，即解集为空集，所以A错误，

对于B，由，得，得，所以不等式的解集为，所以B正确，

对于C，因为，抛物线开口向下，所以不等式无解，即解集为空集，所以C错误，

对于D，因为，所以抛物线与轴有两个不同的交点，因为抛物线开口向上，所以不等式的解集非空，所以D正确，

故选：BD

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.

【详解】A选项，当，时，根据不等式的性质可知，A选项是真命题.

B选项，当，时，如，，B选项是假命题.

C选项，当时，，两边乘以得，C选项是真命题.

D选项，当，时，，D选项是真命题.

故选：ACD

12．已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，

【答案】BD

【分析】根据基本不等式及基本不等式中“1”的妙用即可求解.

【详解】解：对A：，时，，即，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A错误；

对B：，时，，又，

所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B正确；

对C：，时，，又，

所以，即，

又，所以，故选项C错误；

对D：，时，，所以，

又，

所以

，

当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知集合，，若，则的取值集合为________．

【答案】

【分析】由题意，根据集合的并集结果，可得集合之间的包含关系，

【详解】，，

①，则，，解得且，故符合题意；

②，则，，解得或，故.

故答案为：

14．已知幂函数在为减函数，则___________.

【答案】##0.5

【分析】先利用幂函数的性质求出，即可求出.

【详解】为幂函数，所以，解得：或.

当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.

所以，所以.

故答案为：.

15．当时，则的最大值为______.

【答案】

【分析】对代数式形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案.

【详解】由题意，，故

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

四、解答题

16．已知全集，，或，求

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用交集的定义可求得集合；

（2）利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】（1）解：由题意可得.

（2）解：由已知条件可得，故.

17．已知三个不等式：①；②；③；

(1)若不等式①和②的解集分别为集合A与集合B，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的范围.

【答案】(1)或，

(2)

【分析】（1）首先解绝对值不等式和分式不等式得到和或，再求并集即可.

（2）首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】（1），即.

或，

即或，

则或，

（2），

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

所以.

所以m的范围

18．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，，，求的最小值，及此时，的值；

【答案】（1）9；（2）的最小值为18，此时，.

【分析】（1）转化原式为，结合均值不等式即得解；

（2）转化为，即，结合均值不等式即得解.

【详解】（1）由题意，，即，

，

当且仅当，即时等号成立.

故的最小值为9.

（2）由，可得，

由，,可得，即，

故，

当且仅当，即时等号成立.

故的最小值为18，此时，.

19．（1）已知为一次函数，若，求的解析式.

（2）已知函数是定义在上的奇函数，当时函数，求函数的解析式.

【答案】（1）或

（2）

【分析】（1）设出一次函数解析式，进而得到，得到方程组，求出的值，求出解析式；

（2）先由时函数，得到当时，，进而由函数奇偶性得到时的解析式，结合，求出答案.

【详解】（1）设，

则，

所以，

解得：，

当时，，解得：，

所以一次函数解析式为，

当时，，解得：，

所以一次函数解析式为，

综上：或；

（2）当时，，

令，则，

则，

故当时，，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以当时，，故，

当时，，

综上：.

20．已知函数对，，都有，当时，，且.

(1)判断函数在上的奇偶性并证明；

(2)判断函数在上的单调性并证明；

(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；

(2)函数在R上单调递减，证明见解析；

(3).

【分析】(1)采用赋值法，结合函数的奇偶性的定义即可判断并证明；

(2)采用赋值法，根据单调性的定义即可判断并证明；

(3)先利用赋值法可求出，从而不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出．

【详解】（1）f(x)定义域为关于原点对称；

∵，，都有，

故令，，则，即；

令，则，即，

∴为奇函数．

（2）∵对，，都有，故，

则，

设，则，

∴，，即，

故在R上单调递减．

（3）由(1)可知，函数为奇函数，而，∴，

故原不等式可等价于，

由(2)知在R上单调递减，∴化为，

又，∴，

而，当且仅当时取等号，

∴，

即实数的取值范围为．

21．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道其次品率P与日产量x（万件）之间满足关系：（其中c为小于6的正常数）．（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少．

【答案】（1）；（2）当时，时有；当时，时有.

【解析】（1）根据与时的解析式，结合盈利额的计算公式，求解出的表达式；

（2）分别考虑，时的取值情况，从而分析出最大值对应的日产量的值.

【详解】（1）当时，，所以，

当时，，所以，

所以；

（2）由（1）知，当时，每天的盈利为元，

当时，，取等号时，

若，此时，所以的最小值为，此时，

所以；

若，此时，因为为减函数，在上为增函数，

所以在上为减函数，所以在上为增函数，

所以，此时，

综上：当时，时有；当时，时有.

【点睛】易错点睛：解答函数与不等式综合的实际问题需要注意的事项：

（1）求解函数解析式时，定义域不能漏；

（2）分段函数问题，需要将定义域分段然后逐段分析；

（3）利用基本不等式求解问题时，注意分析取等条件；若等号不等取到，可转化为对勾函数求最值.

五、双空题

22．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.

【答案】         

【分析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.

【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，

则当时，，，

所以当时，；

依题意，在上单调递增，

则，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：；