湖南省永州市第十六中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

九年级第一次月考数学试卷

考试时间：120分钟     总分：120

一、单选题（每小题3分，共30分）

1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ）
A．         B．

C．        D．

2．下列四条线段能成比例的是（    ）

A．           B．

C．     D．

3．已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根     B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根     D．有一个根是

4．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．当时，随增大而增大     B．该函数图象经过点

C．该函数图象位于第一、三象限     D．当时，

5．已知，那么下列等式中成立的是（    ）

A．     B．     C．     D．

6．我国古代数学专著《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出方程正确的是（    ）

A．     B．

C．     D．

7．下列命题中，正确的是（    ）

A．相似三角形的角平分线的比等于相似比

B．所有的菱形都相似

C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个

D．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边

8．点都在反比例函数的图像上，且，则的大小关系是（    ）

A．     B．     C．     D．

9．如图，都与轴垂直，垂足分别为，点在双曲线上．若，，则的值为（    ）

A．2     B．     C．4     D．

10．如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（    ）

A．5个     B．4个     C．3个     D．2个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．已知是一元二次方程的两根，则代数式的值为________．

12．已知均为非零的实数，且满足，则的值为________．

13．点是线段的黄金分割点，如果，则较长线段的长度为________．

14．如图，在中，点为边三等分点，点在边上，，点为与的交点．若，则的长为________．

15．如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为________．

16．已知关于一元二次方程，有下列说法：

①若则；

②若方程两根为1和2，则；

③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；

④若，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是________．（填写序号）

四、解答题（共72分）

17．（6分）．解下列方程：

（1）；     （2）

18．（6分）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，求证：．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点．

（1）求对应的函数表达式；

（2）直接写出当时，不等式的解集．

（3）求的面积

20．（8分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求实数的值；

（3）求使的值为整数的实数的整数值．

21．（6分）如图，平行四边形中，为中点，连接交对角线于．

（1）求与的面积比；

（2）若的周长为24，求的周长．

22．（8分）某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）在（1）的定价情况下，衬衫的成本价是120元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，领带按照标价的8折出售，领带标价是其成本价的2倍，每套的利润为w元，领带的成本价为m元，当m为多少元时，才能使每套的利润最大，最大值是多少？

23．（10分）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．

（1）填空：________，________；（用含的代数式表示）

（2）当为何值时，的长度等于？

（3）是否存在的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

24．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，则称点是点的等和点．

（1）已知点

①在中，点的等和点有________；

②点在直线上，若点是点的等和点，点的坐标为________；

（2）已知：点是双曲线上的两点，且都是点的等和点，则的面积为多少．

25．（12分）如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：

（1）点此时的位置；

（2）求的值．

第一次月考数学答案：

一、选择题

1．D

【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论．

【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；

B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；

C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；

D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键．

2．C

【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c:d.只要代入验证即可.

【详解】解：A.4：6≠5：10，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；

B. ：3≠2：，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；

C.2：＝：，则a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；

D.1：2≠3：4，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；

【点睛】本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.

3．C

【分析】先将代入中求出，则一元二次方程化为，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．

【详解】解：把代入得，解得，

则一元二次方程化为，

∵，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

4．A

【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．

【详解】解：∵

∴

A．当时，随增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；

B．当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；

C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；

D．当时，，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．

5．C

【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答．

【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，

∴3a=2b，

A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；

B：，即，故错误，不符题意；

C： ，即，故正确，符合题意；

D：，即3a=4b，故错误，不符题意；

故选C．

【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．

6．B

【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．

【详解】解：设正方形的边长是x步，

则列出的方程是：，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．

7．C

【分析】根据相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：A、相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比，原说法错误，不符合题意；

B、菱形不一定都相似，原说法错误，不符合题意；

C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，原说法正确，符合题意；

D、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，原说法错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．

8．A

9.D

10．B

【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断①，②；利用正方形的性质与，证明，可判断③；连接，证明，再证明为直角三角形，可判断④；证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤．

【详解】解：正方形，

，

绕点沿逆时针方向旋转得到，

，

，

，

三点共线，

，

，

故①错误；

由

由

始终平分

故②始终平分正确；

正方形

 故③正确；

如图，连接

④正确，

垂直平分．

故⑤垂直平分正确．

综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．

故选：B．

【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

二、填空题

11．1

12．或

【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解．

【详解】解：∵，

∴

∴

即，

当时，，

当时，，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．

13．2√5-2

14．

【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得．

【详解】解：、为边的三等分点，

∴，

∵，

∴，

∴，，

，是的中位线，

，

∵，则，

，

，

，即，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

15．

16．①②③④

【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②．

【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为，

∴；故①正确；

②若方程两根为1和2，则：，即：，

∴；故②正确；

③若方程有两个不相等的实根，则：，

∴，

∴方程必有实根；故③正确；

④，则：，

∵，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根．故④正确；

故答案为：①②③④

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

三、解答题

17．

（1）解：，

，

，

∴或，

解得：；

（2）解：

解得：X1=-1,X2=3

18．．

【详解】证明：，

，

，                                                        

，                                                          

．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．

19．（1）把点代入，得，，

把点代入中，得，，

把点代入直线，

得，

解得，

；

（2）由图象可知，当时，不等式的解集是；

  (3)S△AOB=

20.（1）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，且，

解得：；

（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∵，

∴，

即，

解得：．

（3）解：∵，，

∴

=

∴或，或2，或，或4，或，

解得或，1，，3，，

∵，

∴，，．

【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．

21.

【详解】（1）∵四边形为平行四边形，

∴

∴，，，

又∵为中点

∴

∴

∴．

（2）∵，且

∴

∵的周长为

∴的周长为．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的相似比得到面积比和周长比．

22.（1）解：设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件．

，

或，

∵为了增加盈利并尽快减少库存

∴每件衬衫应降价20元．

（2）由题意得：

∵领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，

∴，

∵，

∴w随m的增大而增大

∴当时，有最大利润，每套最大利润为元．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．

23．（1）2t      (5-t)

  (2)解：（5-t）2+（2t）2=52  解得t1=0,t2=2。所以当t=2或0时，PQ为5cm

(3)存在。由题意：因为t<6÷2所以t<3

=×5×6-9   解得：t1=2,t2=3(舍去）。故t=2时四边形APQC的面积为9

24. （1）①，则，

∴是点P的等和点；

，则，

∴不是点P的等和点；

，则，

∴是点P的等和点；

故答案为：，；

②∵点A在直线上，

∴设点 ，

又∵点是点A的等和点，

∴，

解得，，

∴，

即点A的坐标为；

（2）由题意可知，，

解得，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形面积，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象及性质，理解新定义是解题的关键．

25．解：（1）如图，过点作，交于点．

，

．

为的中点，，

，

，

点在的延长线上，且．

（2）．