2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中属于随机事件的是( )
A. 今天是星期一，明天是星期二B. 从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
C. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上D. 抛出的篮球会下落
3.下列关于反比例函数y=−6x的结论中正确的是( )
A. 图象过点(2,3)B. 当x=−1时，y=6
C. 在每个象限内，y随x的增大而减小D. 当x>0时，y>0
4.如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC=2：3，DE=4，则EF为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5.二次函数y=(x−2)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)
6.若圆锥的底面半径是3cm，母线长5cm，则这个圆锥侧面展开图的面积是( )
A. 30πcm2B. 25πcm2C. 20πcm2D. 15πcm2
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,4)，B(6,2)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (6,8)
B. (4,4)或(−4,−4)
C. (−6,−8)
D. (6,8)或(−6,−8)
8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=8，BE=2，则线段CD的长为( )
A. 8
B. 5
C. 4
D. 3
9.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应( )
A. 不小于54m3B. 不小于45m3C. 小于54m3D. 小于45m3
10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC.若△AOB的面积为12，则k的值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某随机事件在试验过程中发生的频率如下表所示：
通过试验估算这个事件发生的概率是______(精确到0.01)．
12.点(3,−2)关于原点的对称点的坐标为 ．
13.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．
14.如图，△ABC中，∠A=40°，∠C=60°，⊙O与边AB，AC的另一个交点分别为D，E.则∠AED的大小为______°.
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE相交于点F，若△AFD周长为6，则△EFC周长为______．
16.如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠APC=∠ACB，若AP=4，AC=6，则AB的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 8+| 2−1|−π0+(12)−1．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−2y)2+(x−2y)(x+2y)−2x(x−y)，其中x=−38，y=4．
19.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
(1)若∠BAC=40°.则∠BAF的度数为______；
(2)若AC=8，BC=6，求AF的长．
20.(本小题8分)
为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m= ______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21.(本小题8分)
已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,−2)，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D.连接AO，BO．
(1)求△AOB的面积．
(2)观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围．
22.(本小题9分)
随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元．
(1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，设用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案．
23.(本小题9分)
如图，已知等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D．
(1)求证：AD=ED；
(2)若AC=6．
①设CE=x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式．
②当x=r时，求图中阴影部分的面积．
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点(x,12x)成中心对称(此三个点可以重合)，则称这两个函数互为“友好函数”.例如：y=34x和y=14x互为“友好函数”．
(1)判断：①y=−x和y=2x；②y=12x+3和y=12x−3；③y=12x2+1和y=12x2−1，其中互为“友好函数”的是______(填序号)．
(2)若函数y=2x−4的“友好函数”与反比例函数y=mx(m≠0)的图象在第一象限内有两个交点C和D．
①求m的取值范围；
②若△COD的面积为4 2，求m的值．
(3)若M(1,m)，N(3,n)，P(t,m)三个不同的点均在二次函数y=−ax2+(1−b)x−c(a,b,c为常数，且a>0)的“友好函数”的图象上，且满足m−14t2−t+2恒成立，求w的取值范围．
25.(本小题10分)
如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD为⊙O的直径，过点C作CG⊥AD于点E，交AB于F，交⊙O于G.连接AG．
(1)若∠B=30°，求∠DAC度数；
(2)若AG=5，求AF⋅AB的值；
(3)若AB=10，AG=x(0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意；
B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意；
D、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵当x=2时，y=−62=−3，
∴图象经过点(2,−3)，故此选项不正确，不符合题意；
B、当x=−1时，y=−6−1=6，故此选项正确，符合题意；
C、∵k=−6<0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误，不合题意；
D、∵k=−6<0，
∴图象在二，四象限内，
∴当x>0时，则y<0，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
直接利用反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数增减性是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴EFDE=BCAB，即EF4=32，
∴EF=6．
故选：B．
由两条直线被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例，即可求出EF的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x−2)2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2,3)．
故选：A．
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。
6.【答案】D
【解析】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
故选：D．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
7.【答案】D
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为(3,4)，
∴点A的对应点A′的坐标为(3×2,4×2)或(3×(−2),4×(−2))，即(6,8)或(−6,−8)，
故选：D．
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8.【答案】A
【解析】解：连接OC，
∵AE=8，BE=2，
∴AB=AE+BE=8+2=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴OC=OB=12AB=5，
∵BE+OE=OB，
∴OE=OB−BE=5−2=3，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，CD=2CE，
∴CE= OC2−OE2= 52−32=4，
∴CD=8，
故选：A．
先连接OC，根据已知条件求出OB，OC，从而求出OE，然后根据勾股定理求出CE，由垂径定理求出答案即可．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确识别图形．
9.【答案】B
【解析】解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=kV，
∵图象过点(1.6,60)
∴k=96，
即P=96V在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V≥96120=45．
故选：B．
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，且过点(1.6,60)故P⋅V=96；故当P≤144，可判断V≥45．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
10.【答案】C
【解析】解：连结OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，
∴S△AOB=3S△BOC，
∴S△BOC=13×12=4，
∴12|k|=4，
而k>0，
∴k=8．
故选：C．
连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
11.【答案】0.35
【解析】解：由表格中数据可得：这个事件发生的概率是：0.35，
故答案为：0.35．
根据用频率估计概率解答即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
12.【答案】(−3,2)
【解析】【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【解答】
解：点(3,−2)关于原点的对称点的坐标为(−3,2)，
故答案为：(−3,2)．
13.【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
根据题意，关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，由根的判别式Δ=b2−4ac=(−2)2−4m=0得出关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系是解题关键．
14.【答案】80
【解析】解：∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠BDE=90°，
∵∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠C=60°，
∴∠AED=180°−∠A−∠ADE=180°−40°−60°=80°，
故答案为：80．
根据圆内接四边形的性质求出∠ADE，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD，
∵CE：BC=2：3，
∴CE：AD=2：3，
∵AD/​/BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴△CEF的周长△ADF 的周长=CEAD=23，
∵△AFD周长为6，
∴△EFC的周长=23×6=4，
故答案为：4．
利用平行四边形的性质，可得出AD//BC，BC=AD，进而可得出△ADF∞△CEF，再利用相似三角形的性质，即可求出△EFC的周长．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记“相似三角形的周长比等于相似比”是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
∴APAC=ACAB，
∵AP=4，AC=6，
∴62=4AB，
∴AB=9，
故答案为：9．
通过证明△ACP∽△ABC，可得APAC=ACAB，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ACP∽△ABC是本题的关键．
17.【答案】解： 8+| 2−1|−π0+(12)−1
=2 2+ 2−1−1+2
=3 2．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的运算法则以及二次根式的性质化简计算即可．
本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，绝对值，二次根式的性质是本题的关键．
18.【答案】解：原式=x2−4xy+4y2+x2−4y2−2x2+2xy
=−2xy．
当x=−38，y=4时，
原式=−2×(−38)×4=3．
【解析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是能熟练运用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
根据整式的混合运算的法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
19.【答案】65°
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=12(180°−50°)=65°，
故答案为：65°；
(2)∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
∴AF= AE2+EF2=4 5．
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】50 7
【解析】解：(1)由统计图可得，这次抽样调查共抽取：16÷32%=50(人)，m=50×14%=7，
故答案为：50，7．
(2)由(1)知，m=7，等级为A的有：50−16−15−7=12(人)，
补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：360°×1550=108°．
(3)树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为212=16．
(1)用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
(2)用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
(3)根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵点A(1,4)在函数y1=kx的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：y1=4x，
∵B(m,−2)在反比例函数图象上，
∴m=4−2=−2，
∴B(−2,−2)，
∵点A(1,4)，B(−2,−2)在一次函数y2=ax+b图象上，
∴a+b=4−2a+b=−2，解得a=2b=2，
∴直线AB的解析式y2=2x+2．
当x=0时，y=2，
∴D(0,2)，
即OD=2，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12×2×2+12×2×1=3．
(2)∵A(1,4)，B(−2,−2)
∴观察图象可知：y1>y2成立的自变量x的取值范围为：0【解析】(1)根据待定系数法求出函数解析式，根据直线解析式得到线段OD长，利用S△AOB=S△AOD+S△BOD解出即可；
(2)根据两个函数图象和性质，直接写出y1>y2成立的自变量x的取值范围即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，综合运用一次函数与反比例函数相关知识解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A型与B型汽车每辆的进价分别是x万元、y万元，
2x+3y=1408x+14y=620 解得x=25y=30，
∴A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元；
答：A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元；
(2)设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车(10−a)辆，
a<10−a25a+30(10−a)≤290，
解得：2≤a<5，
又a为正整数，
所以a取2、3、4，
∴购进A型汽车2辆，则购进B型汽车8辆；
购进A型汽车3辆，则购进B型汽车7辆；
购进A型汽车4辆，则购进B型汽车6辆．
【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车(10−a)辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=DE，
∴AD=DE；
(2)解：①∵AB=BC，∠ADB=90°，
∴AD=CD=3，
∵AD=DE，
∴CD=DE=3，
∴∠C=∠CED=∠BAC，
∴△BAC∽△DCE，
∴ACAB=CECD，
∴62r=x3，
∴r=9x；
②当x=r时，则x=r=3，
连接OD，OE，

则△AOD、△DOE是等边三角形，
∴∠AOD=∠DOE=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴阴影部分的面积为S扇形OBE−S△OBE=60π×32360− 34×32=3π2−9 34．
【解析】(1)连接BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，再根据等腰三角形三线合一得∠ABD=∠CBD，则AD=DE，即可证明结论；
(2)①证明△BAC∽△DCE，得ACAB=CECD，代入化简即可；
②当x=r时，则x=r=3，连接OD，OE，则△AOD、△DOE是等边三角形，得∠AOD=∠DOE=60°，利用阴影部分的面积为S扇形OBE−S△OBE．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，根据相似三角形的判定与性质得出r与x的函数解析式是解题的关键．
24.【答案】①②
【解析】解：(1)已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点(x,12x)成中心对称(此三个点可以重合)，则称这两个函数互为“友好函数”．
∵y=−x图象上的点(x,−x)和y=2x图象上的点(x,2x)关于(x,12x)成中心对称，
∴y=−x和y=2x是“友好函数”；
y=12x+3图象上的点(x,12x+3)和y=12x−3图象上的点(x,12x−3)关于(x,12x)成中心对称，
∴y=12x+3和y=12x−3是“友好函数”；
y=12x2+1图象上的点(x,12x2+1)和y=12x2−1图象上的点(x,12x2−1)不关于(x,12x)成中心对称，
∴y=12x2+1和y=12x2−1不是“友好函数”；
∴互为“友好函数”的是①②，
故答案为：①②；
(2)①根据“友好函数”的定义得：y1+y22=x2，
∴2x−4+y22=x2，
∴y2=−x+4，即函数y=2x−4的“友好函数”解析式为y=−x+4，
∵反比例函数y=mx(m≠0)的图象与直线y=−x+4在第一象限内有两个交点，
∴方程−x+4=mx有两个不相等的实数根，且两根均为正数，
整理得：x2−4x+m=0，
∴Δ=(−4)2−4m>0且m>0，
解得：0②如图，设C，D的坐标分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，
∴x1，x2是方程x2−4x+m=0的两根，
∴x1+x2=4，x1⋅x2=m，且y1+y2=8−(x1+x2)=8−4=4，
∴S△COD=12(y1+y2)(x2−x1)=2(x2−x1)=2 (x1+x2)2−4x1x2=2 16−4m=4 2，
∴16−4m=8，
故m=2；
(3)由−ax2+(1−b)x−c+y22=12x得：y2=ax2+bx+c，
∴y=−ax2+(1−b)x−c(a≠0)的“友好函数”解析式为y=ax2+bx+c，
∵M(1,m)，N(3,n)在函数 y=ax2+bx+c的上，
∴m=a+b+c，n=9a+3b+c，
∵m∴a+b+c<9a+3b+c∴a+b<9a+3b<0，
∵a>0，
∴3<−ba<4，
∵点M(1,m)，P(t,m)的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x=1+t2，即t+12=−b2a，
∴−ba=t+1，
∴3解得：2设h=−14t2−t+2=−14(t+2)2+3，
当t=2时，h=−1；
当t=3时，h=−134；
∴−134∵w+25>−14t2−t+2恒成立，
∴w≥−1．
(1)根据“友好函数”的定义逐个判断即可；
(2)①求出函数y=2x−4的“友好函数”解析式为y=−x+4，由方程−x+4=mx 有两个不相等的实数根，且两根均为正数，可得(−4)2−4m>0且m>0，即可解得答案；
②记直线y=−x+4与坐标轴的交点为A，B，则A(0,4)，B(4,0)，设C，D的横坐标分别为x1，x2，知x1+x2=4，x1⋅x2=m，根据S△COD=5 2，可得12×4×4−12×4⋅x1−12×4⋅mx2=4 2，结合x1x2=m，x1+x2=4，可得m的值为78；
(3)由−ax2+(1−b)x−c+y22=12x得y=−ax2+(1−b)x−c(a≠0)的“友好函数”解析式为y=ax2+bx+c，根据m=a+b+c，n=9a+3b+c，m0，可得3<−ba<4，而抛物线对称轴为直线x=1+t2，即t+12=−b2a，故−ba=t+1，可得：2−14t2−t+2恒成立，解得w≥−75．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是读懂新定义，列出相关的方程和不等式解决问题．
25.【答案】解：(1)连接DC，如图所示，

∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°
∵∠B=30°，AC=AC，
∴∠D=30°，
∴∠DAC=60°，
(2)证明：连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴AC=AG，
∴∠AGF=∠ABG，
∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB=AF：AG，
∴AF⋅AB=AG2=25；
(3)解：∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴AC=AG，
∴∠ACG=∠ABC，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，

∴AC=AG=x，
∵△ACF∽△ABC，
∴ACAB=AFAC=CFBC，
∴AF=x210,BF=10−x210，CFBC=ACAB=x10，
连接BD，

∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD=90°，
∴△AEF∽△ABD，
∴AEAB=AFAD，
∴AE×AD=AB×AF=x2，
∵∠BAG=∠BCG，∠AGC=∠ABC，
∴△AGF∽△CBF，
∴AGBC=FGBF，
∴CB×FG=AG×FB=x(10−x210)，
∴y=CB×FG× 25AE×AD+20×CFBC+1972=−12x2+2x+2022，
对称轴为直线x=2，
∵0所以当x=2时，ymax=2024．
【解析】(1)连接DC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
(2)连接BG，证明△AGF∽△ABG，得出AG：AB=AF：AG，即可求解；
(3)证明△ACF∽△ABC得出ACAB=AFAC=CFBC，则AF=x210,BF=10−x210，CFBC=ACAB=x10，连接BD，证明△AEF∽△ABD，得出AE×AD=AB×AF=x2，证明△AGF∽△CBF，得出CB×FG=AG×FB=x(10−x210)，代入函数关系式，得出y=−12x2+2x+2022，根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定是解题的关键．试验次数
20
50
100
300
500
1000
5000
事件发生的频率
0.300
0.360
0.350
0.350
0.352
0.351
0.351