期中模拟卷（广东省卷，测试范围：人教版21~24章一元二次方程+二次函数+旋转+圆）2023-2024学年九年级数学上学期期中模拟考试试题及答案（含答题卡）

2023-2024学年九年级数学上学期期中模拟考试

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11＜．    12．1    13．4．    14．1．    15．x＜2或x＞4   

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16．(1)，

(2)原方程无解

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）两边同时乘以把方程转化成整式方程再求解，最后验根即可．

【详解】（1）解：

移项得，，······1分

配方得，，······2分

开方得，，······3分

∴，；······4分

（2）解：

两边同时乘以得，，······5分

去括号得，，······6分

移项、合并同类项得，，······7分

把代入得，，

∴是原方程的增根，

∴原方程无解．······8分

【点睛】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．

17．4

【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得，从而可得，再代入计算即可得．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴此方程根的判别式，即，······4分

则，

，

，

．······8分

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

18．答案见详解．

【分析】先将图形分割成两个矩形或将图形补充成一个大矩形，再分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可．

【详解】······8分（作出其中一种图即得8分）

解：解法一：钢板可看成由上下两个矩形构成（如图所示），矩形是中心对称图形，过对称中心的任一直线把矩形分成全等的两部分，自然平分其面积，而矩形的对称中心是两条对角线的交点，因此，先作出两矩形的对称中心，过两个对称中心做直线即可．

解法二：该钢板同样可看成左右两矩形构成（如图所示），作出两矩形对称中心，过两个对称中心做直线即可．

解法三：将钢板补成一个完整矩形（如图所示），作出大矩形对称中心和补上一块矩形的对称中心，过两个对称中心做直线即可

【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，关键是利用矩形的中心对称性把矩形的面积平分，此题难度不大，画图时要注意将图形分割成两个矩形或补充成一个大矩形．

四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．（1），；（2）

【分析】（1）根据一元二次方程的解法—配方法求解即可；

（2）根据矩形的性质可得，可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可求出的长度，然后利用矩形面积公式即可求出答案．

【详解】解：（1），

，

，

，

，

∴，；······4分

（2）∵四边形是矩形，，

∴，，，······5分

∵，

∴是等边三角形，······6分

∴，

∴，······7分

∴，······8分

∴矩形面积为：，

即矩形面积为．······9分

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，矩形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理．掌握一元二次方程的解法及矩形的性质是解题的关键．

20．见解析

【分析】根据轴对称的性质可得垂直平分，进而得到，再根据点A、点C关于点O成中心对称，可得，然后根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可证出结论．

【详解】证明：∵点B、D关于成轴对称，

∴垂直平分，······2分

∴，······4分

∵点A、点C关于点O成中心对称，

∴，

∴四边形是菱形．······9分

【点睛】此题主要考查了菱形的判定，轴对称和中心对称，掌握对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键．

21．(1)

(2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元

(3)销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元

【分析】（1）根据“利润售价成本销售量”列出二次函数解析式即可；

（2）将二次函数一般式变为顶点式，结合自变量取值范围即可求出最值；

（3）每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，，求出x的取值范围，进而求二次函数的最值即可．

【详解】（1）解：根据题意可得：

，

每件的成本是50元，销售单价是100元，降价后的销售单价不得低于成本，

，

y与x之间的函数关系式为：；······3分

（2）解：，

，

抛物线开口向下，

，对称轴为直线，

当时，y取最大值，最大值为4500，

即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；······6分

（3）解：当销售利润等于4000元时，，

解得，，

∴时，每天的销售利润不低于4000元，

∵企业每天的总成本不超过7000元，

∴，

解得，

∴，

∵，

∴，

∵抛物线的对称轴为直线，且，

∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．

∴当时，y有最大值，最大值为，

即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．······9分

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与一元二次方程的关系，求二次函数的最值等，解题的关键是根据销量、售价、成本、利润之间的关系正确列出二次函数关系式．

五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22．(1)

(2)是直角三角形，且

(3)见解析

【分析】（1） 阴影部分的面积=梯形的面积-半圆的面积，据此求解即可；

（2）在中，，，可求出，同理在，中，可求出，，用勾股定理逆定理证明即可；

（3）过点O作于F，利用面积相等可求出，且等于半径长，即可证明．

【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，，

∴；······4分

（2）解：∵正方形的边长为4，，

∴，

，

在中，，，

，

在中，，，

，

，

是直角三角形，且，······8分

（3）证明：过点O作于F，如图所示：

由（2）得：，，，

，

，

，

是圆的半径，且，

是半圆O的切线．······12分

【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的性质、勾股定理及逆定理的应用、等面积法求高和求不规则图形的面积，熟练掌握正方形的性质及勾股定理及其逆定理是解题的关键．

23．(1)

(2)或

【分析】（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式．

（2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解．

【详解】（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ，

，

解得：．

由点的坐标知，．

二次函数的表达式为．

故答案为：．······3分

（2）解：令，即，

解得：或4，

点坐标为，点坐标为．

，设直线的表达式为：，

则，

解得：，

故直线AC的表达式为 ．

点的横坐标为，

点的纵坐标为．

，在直线上，

．······6分

①当点在抛物线上点与点之间运动时，

，

时，随的增大而减小，······9分

②当点在抛物线上点与点之间运动时，

，

，

当，随的增大而减小，

的取值范围为：或．

故答案为：或．······12分

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，解题的关键是要注意分情况讨论．