湖南省郴州市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

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高一数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】因为，又，

所以.

故选：B

2. 已知命题：，，则命题的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.

【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，

则命题的否定为“，”.

故选：C.

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】举反例说明充分性不成立，再说明必要性成立，即可判断.

【详解】由不能推出，比如，但，所以充分性不成立；

反过来，由可得，所以必要性成立.

所以“”是“” 必要不充分条件.

故选：B

4. 如图所示的Venn图中，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解一元二次不等式求得集合，再结合交集、并集、补集的定义得出结果.

【详解】由已知得，，

令，，

则阴影部分表示的集合是.

故选：D.

5. 若，，且，，则（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，求出，或，结合，得到正确答案.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以或，

因为，所以不合要求，所以，

综上：.

故选：B

6. 某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象可求得二次函数解析式，由此可得，根据基本不等式取等条件可求得结果.

【详解】由题意可设：，

由图象可知：当时，，解得：，

，

（当且仅当时取等号），

当车间运行年时，其产出的年平均利润最大.

故选：B.

7. 已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的对称轴公式以及顶点坐标求解，再令进行求解即可.

【详解】由图象关于直线对称，可得，，所以.

因为的最小值为2，所以，可得，故.

令，解得或.

所以最小为，最大为3，则的最大值为4.

故选：D.

8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的妙用求得结果.

【详解】已知，，，

当且仅当且时取等号，即，时取等号，

所以，

由恒成立可得，

即，

解得.

故实数的取值范围为.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知非空集合都是的子集，满足，，则（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.

【详解】对于A，由可得，故A正确；

对于B，由，可得，从而，故B正确；

对于C、D，结合与，可知，又，所以，故C错误，D正确.

故选：ABD.

10. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果.

【详解】对于A，因为，所以，则，则故选项A错误；

对于B，因为，所以，

则，则选项B正确；

对于C，因为，所以，则，

故选项C正确；

对于D，因为，所以，则，故选项D错误，

故选：BC.

11. 已知关于x的不等式的解集为或，则（    ）

A.

B.

C. 不等式的解集为

D. 不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且，对四个选项逐个求解或判断即可.

【详解】因为关于的不等式解集为或，

所以和是方程的两个实根，对应的二次函数图像开口向下且，故A错误；

所以，，所以，

因为，又，所以，故B正确；

不等式可化为，因为，所以，故C正确；

不等式可化为，又，

所以，即，解得，故D错误.

故选：BC.

12. 已知，，且，则(    )

A.

B. 的取值可以为10

C 当且仅当，时，取得最小值16

D 当且仅当，时，取得最小值36

【答案】CD

【解析】

【分析】将两边同时除以xy可得，由此可判断A；，结合基本不等式可判断B；，结合基本不等式可判断C；，结合基本不等式得到关于的不等式，由此即可判断D．

【详解】．

故，故A错误；

，

当且仅当，即x＝y＝10时等号成立，故B错误；

，

当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；

，当且仅当，即，时等号成立，故D正确．

故选：CD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 抛物线的顶点坐标为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用配方法得出二次函数的顶点坐标.

【详解】因为，

故抛物线的顶点坐标为.

故答案为：.

14. 给出一个能够说明命题“，”为假命题的数：______．

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据不等式写出一个答案即可.

【详解】当时，，不满足，

故答案为：（答案不唯一）

15. 已知，，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求出m的取值范围

【详解】因为q是p的必要不充分条件，所以，

所以，因此．

故答案为：

16. 已知集合，，则集合B中的元素个数为______．

【答案】13

【解析】

【分析】由题列举出集合B，即得.

【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．

故答案为：13

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 设集合，．

（1）若，求，；

（2）设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果；

（2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果.

【小问1详解】

由题设，，

所以，.

【小问2详解】

由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，

当时，此时或满足题设；

当时，满足题设；

综上，.

18. 已知关于x的不等式．

（1）若此不等式的解集为，求a，b的值；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1），   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得，和1是方程的两个实数根，利用根与系数关系可得结果；

（2）由题意可得，分类讨论可得不等式的解集.

【小问1详解】

由题意可得，和1是方程的两个实数根，

所以，

解得，，

【小问2详解】

∵，∴，即，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

19. 已知一个二次函数当时取得最小值，且其图象过点.

（1）求此函数的图象与轴的交点坐标；

（2）当时，求此函数的最大值.

【答案】（1）   

（2）5

【解析】

【分析】（1）设二次函数为顶点式，利用待定系数法求得解析式，再令求得结果.

（2）根据二次函数的单调性求得结果.

【小问1详解】

因为二次函数当时取得最小值，

所以可设其解析式为()，即（），

又因为函数图象过点，所以，得，

所以函数为.

令，得，，

所以此函数的图象与轴的交点坐标为.

【小问2详解】

函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，

故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，

当时，，当时，，

故当时，函数的最大值5.

20. （1）设，，，均为正数，且，证明：；

（2）已知，且，比较和的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；

（2）利用作差法比较大小.

【详解】（1），，

由，，得，

所以.

（2）因为，且，

所以

，

所以.

21. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)

（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．

【解析】

【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式；

(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案．

【小问1详解】

∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时，．

∴

【小问2详解】

当时，，当时，取得最大值．

当时，，当且仅当，即时，取得最大值15．

∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．

22. 已知函数，其中，，.

（1）若且，设此函数图象与轴的两个交点间的距离为，求的取值范围；

（2）若且不等式的解集为，求的最小值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知结合不等式性质可得且，再求出时的方程二根即可得解.

（2）由已知结合一元二次不等式的解集规律可得且，再结合不等式性质消元，借助基本不等式求解即得.

【小问1详解】

由且，得，即，，

显然，即，则，即，

由，得方程的一个根为1，则另一个实根，

因此函数的图象与轴的两个交点间的距离，

所以的取值范围为.

【小问2详解】

因为的解集为，显然，否则，不等式的解集为，矛盾，

于是且，则且，

因此，令，

则，

当且仅当，即，也即时取等号，