湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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分量：150分 时量：150分钟 命题人：刘清平 审题人 谭周滔
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各图中，不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 7D. 8
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ）
A. 20B. 22C. 26D. 28
7. 若，且，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
8. 关于函数的性质，①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④存在无数个，满足其中正确结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A. p是真命题B. ，
C. q是真命题D. ：存在两个等边三角形，它们不相似
10. 已知集合,,且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A. 函数满足：
B. 函数的值域是
C. 对于任意的，都有
D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的取值范围是__________.
13. 在，，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____
14. 设函数定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知函数．
（1）若，求在或上的值域；
（2）证明：当时，函数在区间上单调递增．
17. 已知上有意义，单调递增且满足．
（1）求证：；
（2）求不等式的的解集．
18. 我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题.
（1）填空写出补充完整的该均值不等式链；
（2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明.
19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
（1）已知函数，求函数的不动点；
（2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若函数在区间上有唯一不动点，求实数m的取值范围．