安徽铜陵市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份安徽铜陵市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了 设命题p， 已知m，，则“”是“”的条件， 已知集合，集合，则， 设非空集合，定义且，则集合等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.将Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案都写在答题卷上，在试卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，判断符号是否正确
【详解】由元素与集合的关系，有，故B选项错误，C选项正确；
由集合与集合的包含关系可知，，，AD选项错误.
故选：C.
2. 已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素互异性得到答案.
【详解】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等，
其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形.
故选：D
3. 设命题p：，，则p的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定规则即可求解.
【详解】把全称量词变为存在量词，再否定结论即得：，，
故选：A
4. 已知m，，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式及不等式性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【详解】由，即同号，则，所以，
当且仅当时等号成立，所以充分性不成立；
由，显然，所以必要性成立；
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D. N不包含M
【答案】A
【解析】
分析】用列举法，结合包含关系、相等关系进行判断即可.
【详解】因为，
，
所以，即N包含M，
故选：A
6. 若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值.
【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，
所以有且仅有一个解，
当，则，满足要求；
当，则，满足要求；
综上，满足条件的实数m组成的集合是.
故选：B
7. 设非空集合，定义且，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义运算求得正确答案.
【详解】依题意可知，
则，，
所以.
故选：D
8. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围．
【详解】由可得，
当时，，即原不等式无解，不满足题意；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即；
综上：或，所以实数的取值范围为或．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分.有选错的得0分.
9. (多选)由，，组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
分析】
根据题中条件，得到求出的范围，即可根据选项确定结果.
【详解】因为由，，组成一个集合，且集合中含有个元素，
所以只需，解得且，
因此排除B D，可选AC.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数，属于基础题型.
10. 已知正实数m，n满足，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】由于，则，所以，故A正确，
由得，当且仅当时取等号，
故D正确，
故，当且仅当时取等号，B正确，
，当且仅当时取等号，C正确，
故选：ABCD
11. 已知命题p：对，函数的图象恒在x轴下方，则命题p成立的必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】考虑，得到时满足要求，不满足要求，考虑，由根的判别式和开口方向得到不等式，求出，再判断出答案.
【详解】当时，或，
当时，函数，图象恒在轴下方，满足要求，
当时，函数，不满足图象恒在轴下方，舍去，
当，即且时，
，解得，
综上，，
因为是的真子集，
故满足p成立的必要不充分条件，C正确；
同理是的真子集，满足要求，D正确；
AB不合要求，
故选：CD
12. 已知二次函数有两个零点，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据韦达定理即可判断ABC,根据二次函数的图象特征，结合二次函数的零点分布即可判断D.
【详解】的两个零点，，且，
因此，由于，所以恒成立
故，
对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为，
，且因此两个根，，故D错误，
故选：ABC
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.
13. 设集合，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合B，再根据集合的交集运算即可得出结论.
【详解】因为集合，集合，
所以.
故答案为：.
14. 为准备校运动会入场表演节目，在某班级调查全体45名学生对A，B两节目的看法，其中有28人赞成A，其余17人不赞成A；有25人赞成B，其余20人不赞成B；且对A，B都赞成的学生人数比对A，B都不赞成的学生人数的2倍多3人，则对A，B都赞成的学生人数为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，从而求得正确答案.
【详解】设对都不赞成的人数为，则对都赞成的人数为，
设赞成且不赞成的人数为，
则，解得，
则对都赞成的人数为.
故答案为：
15. 已知，，则的最小值____________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
所以，
即，
所以的最小值为4，
当，即时取得最小值，
故答案为:4.
16. 表示不超过实数x的最大整数，已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据取整函数的定义以及交集的定义可得，故分类讨论即可求解.
【详解】由于，若求，只需要考虑时，集合中的元素，
当时，，由于，所以，解得，
故只需要考虑时，集合中的元素，
当时，，此时，显然不满足，舍去，
当时，，此时或（舍去），故，
当时，，此时或（舍去），故，
综上可知.
因此.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，解一元二次不等式；
（2）分式不等式移项通分后，转化为整式不等式求解.
【小问1详解】
不等式，即，解得或，
所以不等式解集为.
【小问2详解】
不等式，即，得，
等价于，解得或，
所以不等式解集为.
18. 已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围.
（2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以或，
又因为且，
所以解得，
故a的取值范围为.
【小问2详解】
因为，则，
若，则，解得，
若，则解得，
综上所述a的取值范围为.
19. （1）已知，求的最大值；
（2）已知正实数x，y满足，求的最小值.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，应用基本不等式求函数最大值，注意取值条件；
（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】（1）由，则
当且仅当时等号成立，
所以函数最大值为0.
（2）由，
当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
20. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为132，则这户住宅的地板面积最多为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由.
【答案】（1）
（2）变好了，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知列出关系式，即可得出答案；
（2）作差法比较，即可得出答案.
【小问1详解】
设窗户面积与地板面积分别为，
由已知可得，，
所以有，.
所以，这户住宅的地板面积最多为120平方米.
【小问2详解】
假设同时增加的面积为，
则
因为，，
所以，
所以，，
所以，.
所以，住宅的采光效果变好了.
21. 解关于实数不等式：.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解（注意的正负区别）．
【详解】当时，不等式可化为
，不等式的解集为
若，由可得：或
因为，所以
当时，，不等式的解集为或
当时，，不等式的解集为
当时，，不等式的解集为.
当时，，不等式的解集为.
22. 已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
（1）写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
（2）若正数集“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
（3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）存在1个，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）令得到答案；
（2）利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明；
（3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案.
【小问1详解】
不妨令，此时，满足要求；
【小问2详解】
法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，
因为，故可设，
，两边同时除以得，，
因为，所以，与矛盾，不合要求，
故假设不成立，元素，中至少有一个大于2；
法二；集合是“二元和谐集”，设，
则可以看成一元二次方程的两正根，
则，解得：（舍）或，即，
所以至少有一个大于2.
【小问3详解】
设正整数集为“三元和谐集”，
则，
不妨设，则，解得，
因为，故只有满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，