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（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训详解答案
展开这是一份（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训详解答案，共298页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。
详解答案·数学(文)
第一部分 必备知识关键能力精准练
第一单元 集合与常用逻辑用语
点点练1 集合的概念与运算
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：A＝{x∈Z|y＝}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{－3，1，2，3}，
∴A∩B＝{1，2}，则A∩B的子集个数是22＝4.故选C.
2．答案：A
解析：由已知M＝{x|x2－4≤0}＝[－2，2]，N＝{x|y＝lg (1－x)}＝{x|1－x>0}＝(－∞，1)，
∴M∪N＝(－∞，2].故选A.
3．答案：B
解析：A＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以(A∩B)∪C＝(－1，1]∪{2}．故选B.
4．答案：C
解析：由图所示，阴影部分是集合A＝{x|x>0}中的元素排除B＝{x|x<2}中的元素所组成，故表示的集合为[2，＋∞).故选C.
5．答案：C
解析：∵x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)≤0，∴A＝{－1，0，1，2，3}，由－x∈A可知，x可以取－3，－2，－1，0，1，又－1∈A，0∈A，1∈A，故知B＝{－3，－2}．故选C.
6．答案：C
解析：不等式log2(x－1)<0可化为log2(x－1)
7．答案：1
解析：因为＝{a2，a＋b，0}，
显然a≠0，故＝0，则b＝0；
此时两集合分别是{a，1，0}，{a，a2，0}，
则a2＝1，解得a＝1或－1.
当a＝1时，不满足互异性，故舍去；
当a＝－1时，满足题意．
所以a2022＋b2022＝(－1)2022＋02022＝1.
8．答案：2(答案不唯一)
解析：由题设4>a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a<3，
所以，符合条件的一个a值为2.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：因为M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝4n，n∈Z}，
所以PM，则P∩M＝P.故选B.
2．答案：D
解析：∵A∩B＝A且A＝{x|1
若m≥0，则B＝{x|y＝}＝{x|－≤x≤}，
所以，≥2，解得m≥4.因此，实数m的取值范围是[4，＋∞).故选D.
3.答案：B
解析：函数y＝的定义域为[－1，1]，故A＝{x|y＝}＝[－1，1]，
因为cos x>，
所以x∈（－＋2kπ，＋2kπ），k∈Z，即B＝＝（－＋2kπ，＋2kπ），k∈Z，
所以图中阴影部分表示的集合是A∩B＝（－，），故选B.
4．答案：C
解析：因为集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7－4＝45个.
5．答案：106
解析：设集合A、B、C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，
由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106.
6．答案：－2
解析：由x2－x－2<0得：－1
∵（∁UA）∩B中有且仅有一个整数，∴－1∈[（∁UA）∩B]，－2∉[（∁UA）∩B]，
∴－2≤m<－1，则实数m的最小值为－2.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：因为A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，所以A∩B＝{0，1，2}．故选A.
2．答案：D
解析：M＝{x|0≤x<16}，N＝，故M∩N＝.
故选D.
3．答案：D
解析：由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，
所以∁U（A∪B）＝{－2，0}．故选D.
4．答案：A
解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A.
5．答案：C
解析：由得或或或所以A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，故A∩B中元素的个数为4.故选C.
6．答案：C
解析：方法一 在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.
方法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）由≤0，得，解得3≤x<6，
所以A＝{x|3≤x<6}，
当m＝4时，y＝log2（x2－7x＋10），
由x2－7x＋10>0，得x<2或x>5，
所以B＝{x|x<2或x>5}，
所以A∪B＝{x|x<2或x≥3}．
（2）由A∩∁RB＝A知A⊆∁RB，y＝log2（x－2）[x－（m＋1）]，
当m>1时，m＋1>2，则B＝{x|x<2或x>m＋1}，
所以∁RB＝{x|2≤x≤m＋1}，所以m＋1≥6，所以m≥5；
当m<1时，m＋1<2，则B＝{x|x>2或x
综上，实数m的取值范围为[5，＋∞）.
2．解析：（1）当a＝－3时，A＝{x|－7≤x≤－2}，
因为B＝{x|－3≤x≤3}，
所以A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．
（2）选①，因为A∪B＝B，所以A⊆B，
若A＝∅，2a－1>a＋1，解得a>2，满足题意；
若A≠∅，由A⊆B可得即，
解得－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围为{a|a≥－1}．
选②，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，
若A＝∅，2a－1>a＋1，解得a>2，满足题意；
若A≠∅，由AB可得即，
解得－1≤a≤2，
当a＝－1时，A＝{x|－3≤x≤0}B，满足题意；
当a＝2时，A＝{x|3≤x≤3}＝{3}B，满足题意；
综上所述，a的取值范围为{a|a≥－1}．
选③，A∩B＝∅，
若A＝∅，2a－1>a＋1，解得a>2，满足题意；
若A≠∅，由A∩B＝∅可得或，
整理可得：（舍去）或，可得：a<－4，
综上所述，a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
点点练2 常用逻辑用语
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：方程3x＋4＝3x可化为3x＋4－3x＝0，设f（x）＝3x＋4－3x，则方程3x＋4＝3x的根就是函数f（x）＝3x＋4－3x的零点，又当x＝2时，f（2）＝3×2＋4－32>0，当x＝3时，f（3）＝3×3＋4－33<0，由零点存在性定理知函数f（x）＝3x＋4－3x在区间（2，3）内存在零点，故方程3x＋4＝3x在（0，＋∞）上有解，故p为真命题，根据特称命题的否定方法可得命题¬p为∀x∈（0，＋∞），3x＋4≠3x，所以C正确．
故选C.
2．答案：C
解析：已知命题p：∀x∈R，x2－x＋a>0，若¬p是假命题，
则不等式x2－x＋a>0在R上恒成立，∴Δ＝1－4a<0，解得a>.
因此，实数a的取值范围是（，＋∞）.故选C.
3．答案：A
解析：因为m⊂α，所以由l⊥α，可推出l⊥m，而由l⊥m推不出l⊥α，所以“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A.
4．答案：B
解析：对于A，因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1，
因此“x2－3x＋2>0”是“x<1”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1≥0的否定为∀x∈R，均有x2＋x－1<0，故B正确；
对于C，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；
对于D，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，故D错误．故选B.
5．答案：B
解析：因为a2＋b2
故选B.
6．答案：C
解析：若“∃x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则∀x∈[1，2]，使2x2－λx＋1≥0成立是真命题，即∀x∈[1，2]，λ≤2x＋，令f（x）＝2x＋，x∈[1，2]，则f′（x）＝2－＝>0，则f（x）在x∈[1，2]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝3，则λ≤3.故选C.
7．答案：∀x>0，3x2－2x＋2≥0
解析：因为p：∃x0>0，使得3x－2x0＋2<0，
所以，¬p：∀x>0，3x2－2x＋2≥0.
8．答案：必要不充分
解析：[x]≥[y]，即[x]>[y]或[x]＝[y]，当[x]>[y]时，可推出x>y；但当[x]＝[y]时，如x＝2.1，y＝2.3，此时x
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：对于A, 命题“若x<1，则x－2≤0”的否命题是：“若x≥1，则x－2>0”，所以选项A错误；
对于B，x2－5x＋6＝0，所以x＝2或x＝3, “x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件，所以选项B错误；
对于C，命题“∃x0∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x－1≥0”，所以选项C错误；
对于D，命题“若cos x≠cos y，则x≠y”的逆否命题为“若x＝y，则cos x＝cos y”，逆否命题正确，所以原命题为真命题，所以选项D正确．
故选D.
2．答案：C
解析：由题意可知，命题：∃x∈R，ax2＋2x＋3≤0为真命题．
①当x＝0时，则3≤0，不合乎题意；
②当x≠0时，则a≤－－，令t＝≠0，
则y＝－3t2－2t＝－3（t＋）2＋，
所以，当t＝－时，ymax＝，则a≤.
综上所述，实数a的取值范围是a≤.
故选C.
3．答案：B
解析：因为直线x＋ay＝1与ax＋y＝1平行，
所以a≠0，且两直线的斜率相等，即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合不满足题意；当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，
根据小范围推大范围，可得a2＝1是a＝－1的必要不充分条件．
4．答案：A
解析：由题意可得f（x1）min≥g（x2）min，p为真，f（x）在[0，3]单调递增，f（x）min＝f（0）＝0，g（x）在[－2，－1]单调递减，
g（x）min＝g（－1）＝2－m，∴0≥2－m，∴m≥2.
又“m≥3”是“m≥2”的一个充分不必要条件．
故选A.
5．答案：[1，2]
解析：命题p：∃x0∈[1，2]，a≥x为真时，有a≥1，
命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋4≥0为真时，则有Δ＝4a2－16≤0，
即－2≤a≤2，
故p∧q为真命题时，a≥1且－2≤a≤2，即1≤a≤2，
故a的取值范围为[1，2].
6．答案：（－∞，－2]∪[2，3）
解析：由函数f（x）＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减，
又f′（x）＝3x2－a，所以f′（x）＝3x2－a≤0在[－1，1]上恒成立，
即a≥3x2在[－1，1]上恒成立，
所以a≥3，
又函数y＝ln （x2＋ax＋1）的值域是R，
令g（x）＝x2＋ax＋1，所以Δ＝a2－4≥0，
所以a∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），
又因为p或q是真命题，p且q为假命题，所以命题p，q 一真一假，
①当p真，q假时，，无解；
②当p假，q真时，，a∈（－∞，－2]∪[2，3）.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：因为sin2x＋cos2x＝1可得：
当sinx＝1时，cos x＝0，充分性成立；
当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sin x＝1是cos x＝0的充分不必要条件．
故选A.
2．答案：B
解析：若a·c＝b·c，则（a－b）·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，
故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
3．答案：C
解析：若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sin α＝sin （2nπ＋β）＝sin β；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sin α＝sin （2nπ＋π－β）＝sin （π－β）＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故选C.
4．答案：A
解析：因为sin x∈[－1，1]，所以∃x∈R，sin x<1，所以命题p是真命题．因为∀x∈R，|x|≥0，所以可得e|x|≥e0＝1，所以命题q是真命题．于是可知p∧q是真命题，（¬p）∧q是假命题，p∧（¬q）是假命题，¬（p∨q）是假命题．故选A.
5．答案：C
解析：设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数．
若{an}为单调递增数列，则d>0，
若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；若a1<0，则an＝a1＋（n－1）d，
由an＝a1＋（n－1）d>0可得n>1－，取N0＝＋1，则当n>N0时，an>0，
所以，“{an}是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”；
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
假设d<0，令an＝ak＋（n－k）d<0可得n>k－，且k－>k，
当n>＋1时，an<0，与题设矛盾，假设不成立，则d>0，即数列{an}是递增数列．
所以，“{an}是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”．
所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的充要条件．
故选C.
6．答案：f（x）＝sin x，x∈[0，2]（答案不唯一）
解析：设f（x）＝sin x，则f（x）在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈（0，2]时，f（x）>f（0）＝sin 0＝0，故f（x）＝sin x满足条件f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，但f（x）在[0，2]上不一直都是增函数．
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）对于命题p，
当x>0时，f（x）＝x＋＋a≥a＋2，当且仅当x＝1时取等号，
故当x>0时，f（x）的最小值为a＋2.
当x≤0时，f（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，当x＝－1时，f（x）的最小值为－1.
由f（x）的最小值为－1，得a＋2≥－1，即a≥－3.
即若命题p为真，则a≥－3.
故若命题¬p为真，则a<－3，即实数a的取值范围是（－∞，－3）.
（2）对于命题q，
由∀x∈R，x2－4x＋2a≥0，得Δ＝16－8a≤0，解得a≥2.
即若命题q为真，则a≥2.
故若¬q为真，则a<2.
由p∧（¬q）为真，则p，¬q均为真命题，
故a≥－3且a<2，解得－3≤a<2，
即实数a的取值范围为[－3，2）.
2．解析：（1）由题意可得f′（x）＝x2－ax－4.
因为p是真命题，所以f′（x）≤0在[－1，2]上恒成立，
则，即，
解得0≤a≤3，即a的取值范围为[0，3].
（2）因为f′（x）＝0在[1，m]内有解，
所以a＝x－在[1，m]内有解，
因为函数y＝x－在[1，m]单调递增，所以函数y＝x－在[1，m]上值域为[－3，m－]，所以－3≤a≤m－.
因为“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，
所以[0，3][－3，m－]，又m>1，
所以，解得m≥4，
即m的取值范围为[4，＋∞）.
单元检测（一） 集合与常用逻辑用语
1．答案：C
解析：因为B＝＝[－1，＋∞），A＝{x|x2＋2x>0}＝（－∞，－2）∪（0，＋∞），
所以A∪B＝（－∞，－2）∪[－1，＋∞）.故选C.
2．答案：A
解析：∵{0，1}＝B⊆A＝{1，a，a2－1}，
∴a＝0或a2－1＝0，
∴a＝0或a＝±1，
又由于集合元素的互异性，应舍去1，
∴a＝0或a＝－1.
故选A.
3．答案：C
解析：命题p：“∀x≥0，2x－sin x≥0”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“∀x≥0，2x－sin x≥0”的否定是“∃x0≥0，2x0－sin x0<0”．
4．答案：A
解析：因为|x－2|<2⇒0
5．答案：B
解析：由≤1得：－1≤x＋≤1，所以－≤x≤，
又因为x∈Z，所以B＝{－1，0}，
故A∩B＝{－1}，A错误；
A∪B＝{－1，0，1}，B正确；
A∩（∁RB）＝{1}，C错误；
（∁RA）∪B＝{x|x≠1}，D错误．
故选B.
6．答案：B
解析：因为xy＋1≠x＋y即xy＋1－x－y≠0，即（x－1）（y－1）≠0，
即等价于x≠1且y≠1，故“xy＋1≠x＋y”的充要条件是x，y都不为1.
故选B.
7．答案：C
解析：命题p：<2x－1≤4，即2－2<2x－1≤22，－2
由于p是q的必要不充分条件，所以，解得－1
8．答案：C
解析：因为M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，所以M∩P＝{3}，M∪P＝{1，3，4，5，6}，因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U（M∪P）＝{2，7，8}，
由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪P）∪（M∩P），
故Venn图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}．
9．答案：B
解析：要使“对任意x∈[1，2），x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．
10．答案：B
解析：由题意，
甲：A∩B＝A⇔A⊆B；
乙：∁UA⊆∁UB⇔B⊆A；
丙：（∁UA）∪（∁UB）＝∁UA⇔∁UB⊆∁UA⇔A⊆B；
丁：∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）对任意的集合A，B均成立．
若有且只有一个不成立，则必为乙．
故选B.
11．答案：A
解析：“若am2>bm2，则a>b”的逆命题为“若a>b，则am2>bm2”，①正确；“∀x>0，1－≤ln x”的否定是“∃x0>0，1－>ln x0”，②正确；
命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，③不正确；“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2＋b2≠0”，④不正确．故选A.
12．答案：B
解析：对于A：当等腰三角形的顶角∠BAC无限小时，且底边上的高AD比较大，BE⊥AC，CF⊥AB，如图所示：
显然BE＋CF
当x≥3时，（x－1）＋（x－3）＝2，解得x＝3；当1
13．答案：m≤1
解析：因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4m≥0，解得m≤1.
14．答案：k≤2
解析：因为A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，
所以∁RA＝{x|x<1或x>4}，
当B＝∅时，k＋1>2k，即k<1，适合题意；
当B≠∅时，则，解得1≤k≤2，
综上，实数k的取值范围是k≤2.
15．答案：120
解析：当b＝1时，a≠1显然是正确的，由题意，则b≠1；
当a≠1时，由b≠1，则c＝1，而c≠2显然正确，由题意，则a＝1；
故c≠2是正确的，易知b＝2，c＝0，
故100a＋10b＋c＝100×1＋10×2＋0＝120.
16．答案：①③
解析：g（x）＝2sin [2（x－）＋]＝2sin （2x－），
p1：g（x）的周期T＝＝π，所以函数的最小正周期是π，所以p1是假命题；
p2：当x∈（－，0）时，2x－∈（－，－），在此区间函数先减后增，所以p2是假命题；
p3：x∈[0，]时，2x－∈[－，]，所以sin （2x－）∈，函数g（x）的值域是[－1，2]，所以p3是真命题．
根据复合命题真假的判断方法可知①③正确．
17．解析：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）∵A∩B＝[0，3]，∴∴m＝2.
（2）∁RB＝{x|x
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5 或m<－3.所以实数m的取值范围是{m|m>5，或m<－3}．
18．解析：（1）因为A＝{x|1
知集合A是集合B的真子集，
因为m2＋1－（m－1）＝＋>0，
所以由题意得，解得－1≤m≤1.
当m＝－1时，A＝B，不满足条件，
当m＝1时，A＝{x|0
19．解析：（1）∵A＝{x∈R|x2－5x＋8＝2}＝{2，3}，B＝{x∈R|x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，∴A∪B＝{2，3，－4}．
（2）∵A∩C≠∅，B∩C＝∅，∴2∉C，－4∉C，3∈C.∵C＝{x∈R|x2－ax＋a2－19>0}，
∴
解得
∴－3≤a<－2.∴实数a的取值范围是[－3，－2）.
20．解析：（1）由p：2x2－5x－3>0，即p：x>3或x<－，
设A＝{x|x>3或x<－}，B＝{x|x>a}，
因为p是q的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集，所以a≥3.
（2）由r：x2≤m（m>0），即r：－≤x≤，
¬p：－≤x≤3，设C＝{x|－≤x≤}，D＝{x|－≤x≤3}，
因为¬p是r的必要条件，所以C⊆D，
所以，解得0
＝{x|－1
（2）若x∈P是x∈M的必要条件，则M⊆P.
①当2a>2－a即a>时，P＝{x|2－a
②当2a<2－a即a<时，P＝{x|2a
③当2a＝2－a即a＝时，P＝∅，此时不满足条件，
综上，所求实数a的取值范围为.
22．解析：（1）若p为真，（ln x＋3x）min≥2m2－m恒成立，
因为x∈[1，3]，函数y＝ln x，y＝3x在[1，3]为单调递增函数，
所以函数y＝ln x＋3x在[1，3]为单调递增函数，
所以（ln x＋3x）min＝3，
所以，3≥2m2－m，解得：－1≤m≤.
所以实数m的取值范围是.
（2）若q为真，存在x∈，使得不等式4x＋＋2m－3≤0成立，所以只需（4x＋＋2m－3）min≤0，
因为x∈，4x＋≥4，当且仅当x＝时等号成立，
所以（4x＋＋2m－3）min＝4＋2m－3＝2m＋1，
所以2m＋1≤0，即m≤－；
若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假．
若q为假命题，p为真命题，则，即－
综上，实数m的取值范围为（－∞，－1）∪（－，].
第二单元 函数
点点练3 函数的概念及其表示
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．
2．答案：B
解析：①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，一对多，不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，一对多，不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，是函数图象．
3．答案：A
解析：方法一（配凑法）
∵f（x＋2）＝x2＋6x＋8＝（x＋2）2＋2（x＋2），
∴f（x）＝x2＋2x.
方法二（换元法）
令t＝x＋2，则x＝t－2，∴f（t）＝（t－2）2＋6（t－2）＋8＝t2＋2t，
∴f（x）＝x2＋2x.故选A.
4．答案：A
解析：因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝，
所以f（x）＋f（－x）＝＋＝1，所以f（2）＋f（－2）＝1.
因为f（2）＝，所以f（－2）＝1－f（2）＝.
故选A.
5．答案：[－2，－1）∪（－1，＋∞）
解析：要使函数有意义，则，解得x≥－2且x≠－1.
即函数f（x）的定义域是[－2，－1）∪（－1，＋∞）.
6．答案：x－＋（x≠0）
解析：用代替3f（x）＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f（x）＝3x＋1，
由消去f，解得f（x）＝x－＋（x≠0）.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：由题可知，⇒⇒2
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f（x－1）＝f（t）＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝.故选A.
3．答案：D
解析：因为f（4）＝2f（3）＝4f（2），f（2）＝log162＝，所以f（4）＝4f（2）＝1.
故选D.
4．答案：D
解析：当x≤1时，由f（x）≥1可得，－x2＋2≥1，x2≤1，解得－1≤x≤1.
当x>1时，由f（x）≥1可得，x＋－1≥1，
即x2－2x＋1＝（x－1）2≥0恒成立，所以x>1.
综上可得，使得f（x）≥1的x的取值范围为.
故选D.
5．答案：
解析：因为函数f（2x－1）的定义域为（0，1），所以－1<2x－1<1，所以函数f（x）的定义域为（－1，1）.由－1<1－3x<1得0
6．答案：
解析：根据题意，f（x）＝，
则区间（0，1）上，f（x）＝，是增函数，在区间[1，＋∞）上，f（x）＝ln x，也是增函数，如图所示，
若f（a）＝f（ea），必有0
则必有0
则f（）＝f（e）＝ln e＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：当t＝0时，x＝0，y＝0，∴过原点，排除A；当t＝1时x＝－1，y＝0，排除C和D；当x＝0时，3t－4t3＝0，t1＝0，t2＝－，t3＝时，y1＝0，y2＝－，y3＝.故选B.
2．答案：C
解析：当0
3．答案：B
解析：f（x）＝－＋b，①当0≤－≤1时，f（x）min＝m＝f＝－＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f（1）}＝max{b，1＋a＋b}，∴M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f（x）在[0，1]上单调递增；∴M－m＝f（1）－f（0）＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f（x）在[0，1]上单调递减，∴M－m＝f（0）－f（1）＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
4．答案：（0，＋∞）
解析：函数f（x）＝＋ln x的自变量满足∴x>0，即定义域为（0，＋∞）.
5．答案：[2，＋∞）
解析：要使函数f（x）有意义，则，解得，所以函数f（x）的定义域是[2，＋∞）.
6．答案：2
解析：由题意，得f（）＝（）2－4＝2.又f（f（））＝3，所以f（2）＝3，即|2－3|＋a＝3，解得a＝2.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）因为二次函数f（x）中f（1）＝f（3），所以对称轴为x＝2，
又二次函数f（x）的最小值为3，故可设f（x）＝a（x－2）2＋3（a>0），
所以f（1）＝a（1－2）2＋3＝a＋3＝5⇒a＝2，
所以f（x）＝2（x－2）2＋3＝2x2－8x＋11.
（2）y＝f（x）的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，
等价于2x2－8x＋11>2x＋2m＋1即m
所以m<－，即实数m的取值范围为.
2．解析：（1）由2f（x）＋f（－x）＝3x2－2x①，可得2f（－x）＋f（x）＝3x2＋2x②，
联立①②可得f（x）＝x2－2x.
（2）由题可知x2－2x＝m（|x－1|＋2）＋n，令t＝x－1，则t2－1－m－n＝0，设 g（t）＝t2－1－m－n，则g（－t）＝（－t）2－1－m－n＝t2－1－m－n＝g（t），所以函数g（t）＝t2－1－m－n为偶函数，又已知关于t的方程t2－1－m－n＝0有3个不同的实数解，由对称性可得0为方程t2－1－m－n＝0的解，所以g（0）＝0，可得2m＋n＋1＝0, 所以t2－m|t|＝0有3个不同的实数解，又不等式t2－m|t|＝0可化为|t|2－m|t|＝0，所以|t|＝0或|t|＝m，所以|t|＝m有两个根，所以m>0，所以m的取值范围为（0，＋∞）.
点点练4 函数的基本性质
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：令f（x）＝x＋ex，则f（1）＝1＋e，f（－1）＝－1＋e－1，
即f（1）≠f（－1），
f（－1）≠－f（1），所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而A，B，C依次是偶函数、奇函数、偶函数．
2．答案：D
解析：A选项，y＝x3是奇函数，在定义域单调递增；B选项，y＝是奇函数，在（－∞，0）和（0，＋∞）单调递减，但在其定义域并不单调；C选项，y＝既不是奇函数也不是偶函数，在其定义域单调递减；D选项，y＝2－x－2x是奇函数，且满足定义域上单调递减．
3．答案：D
解析：对于A，y＝＝≤，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝＋，k∈Z时取“＝”，即当x＝＋，k∈Z时，ymax＝，A不正确；对于B，y＝cos2x＋4sinx－4＝1－sin2x＋4sinx－4＝－（sin x－2）2＋1，当sin x＝1时，ymax＝0，故B错误；对于C，y＝cos x·tan x＝cos x·＝sin x，显然sin x最大值为1，此时x＝2kπ＋，k∈Z，而x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数y＝cos x·tan x无意义，即sin x取不到1，故C不正确；对于D，令P（cos x，－sin x），A（，0），则y的值域即为直线PA的斜率的范围，显然点P在圆x2＋y2＝1上，设直线PA的方程为y＝k（x－），即kx－y－k＝0，
则圆心（0，0）到PA的距离d＝≤1，解得－1≤k≤1.故ymax＝1，故D正确．故选D.
4．答案：C
解析：f（x）＝在R上单调递减等价于
，解得0
5．答案：D
解析：∵f（x）＝＝1＋，
函数u（x）＝为奇函数，
由于奇函数的图象关于原点对称，∴u（x）max＋u（x）min＝0，
从而f（x）max＋f（x）min＝a＋b＝＋＝2.
故选D.
6．答案：A
解析：根据题意可知，>2可转化为>0，
所以f（x）－2x在[0，＋∞）上是增函数，又f（－x）＝－f（x），所以f（x）－2x为奇函数，所以f（x）－2x在R上为增函数，
因为f（x－2 020）>2（x－1 011），f（1）＝2 020，所以f（x－2 020）－2（x－2 020）>f（1）－2，
所以x－2 020>1，解得x>2 021，即x的取值范围是（2 021，＋∞）.
7．答案：（－∞，0）
解析：当x>0时，y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，因为函数y＝ln |x|为偶函数，所以函数y＝ln |x|在（－∞，0）上单调递减．
8．答案：a≥5
解析：由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5，
即函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞），
令t＝x2－4x－5，则y＝lg t，
因为函数y＝lg t为定义域上的单调增函数，
t＝x2－4x－5在（5，＋∞）上递增，
函数f（x）＝lg （x2－4x－5）单调增区间为（5，＋∞），
因为函数f（x）＝lg （x2－4x－5）在（a，＋∞）上单调递增，
所以（a，＋∞）⊆（5，＋∞），所以a≥5.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：∵y＝f（x）为R上的偶函数，∴f（－2 021）＝f（2 021），
又当x≥0时，f（x）＝f（x＋4），∴f（2 021）＝f（2 017）＝…＝f（1），
当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x＋1），∴f（－2 021）＝f（1）＝log2（1＋1）＝1.故选A.
2．答案：A
解析：因为f（3－x）＝f（x），所以函数f（x）的图象就关于直线x＝对称，
因为f′（x）<0，所以当x<时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x>时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
因为x1
若x1≥，
则f（x1）>f（x2），
若x1<，则3－x1>，f（x1）＝f（3－x1），且x2>3－x1，所以f（x2）
故选A.
3．答案：D
解析：因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f（x）＝x＋＋1.
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝－x－＋1＝－f（x），
所以当x>0时，f（x）＝x＋－1，此时f′（x）＝1－；
当a≤1时，f′（x）＝1－≥0在[1，＋∞）上恒成立，函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝1＋a－1＝3，解得a＝3（舍），
当a>1时，x∈，f′（x）<0，函数单调递减；x∈，f′（x）>0，函数单调递增，x＝时，函数取得最小值f（）＝2－1＝3，解得a＝4，
综上，a＝4.故选D.
4．答案：B
解析：因为f（x＋4）＝＝不是偶函数，
所以f（x）的图象不关于直线x＝4对称，故A错误；
因为f（x＋2）－2＝－2＝－2＝是奇函数，即函数y＝f（x＋2）－2关于原点对称，
则原函数f（x）关于点（2，2）中心对称，故B正确；
当x＝0时，f（x）＝0，
当x≠0时，f（x）＝＝，
因为≠0，所以8－4·＋1∈，
所以∈，
所以函数f（x）有最大值为4，故C错误；
因为x2－4x＋8＝（x－2）2＋4≥4，
所以由f（x）＝m可得2x2＝mx2－4mx＋8m，
即（m－2）x2－4mx＋8m＝0,
若m＝2，则方程有唯一解为x＝2，不满足题意，
若m≠2，要使方程有两个解，则Δ＝16m2－32m（m－2）＝－16m（m－4）>0，
解得0
5．答案：－
解析：由已知得：f（1）＝f（－1）＝－f（1），所以f（1）＝0，又f（3）＝f（1），∴f（3）＝0，
又∵f＝f＝f＝－f＝－3＝－，
∴f＋f（3）＝－.
6．答案：8
解析：因为f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（0，0）中心对称，
因为f（x＋1）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，
根据条件可知f（x＋2）＝f（－x）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
即4为f（x）的一个周期，则f（4）＝－f（2）＝f（0）＝0，
又因为f（－1）＝－f（1）＝－（a＋b），f（－1）＋f（4）＝12，
所以，解得或 （舍），
所以当x∈[1，2]时，f（x）＝4x－16，
所以f＝f＝f＝－f＝8.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：方法一（排除法） 取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f（x1）＝，f（x2）＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C项不符合题意．
方法二（图象法） 如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．
2．答案：B
解析：由题意可得f（x）＝＝－1＋，对于A，f（x－1）－1＝－2不是奇函数；对于B，f（x－1）＋1＝是奇函数；对于C，f（x＋1）－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f（x＋1）＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
3．答案：C
解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，f＝f＝f＝.
4．答案：A
解析：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1）.故f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x） ①，f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1） ②.①＋②，得f（x＋3）＝－f（x），所以f（x）的周期为6.令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，所以f（2）＝f（1）－f（0）＝1－2＝－1，f（3）＝f（2）－f（1）＝－1－1＝－2，f（4）＝f（3）－f（2）＝－2－（－1）＝－1，f（5）＝f（4）－f（3）＝－1－（－2）＝1，f（6）＝f（5）－f（4）＝1－（－1）＝2.所以f（k）＝3[f（1）＋f（2）＋…＋f（6）]＋f（19）＋f（20）＋f（21）＋f（22）＝3×0＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＝－3.故选A.
5．答案：－4
解析：由函数f（x）是奇函数得f（－8）＝－f（8）＝－8＝－（23）＝－4.
6．答案：－ ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f（x），再检验正确性．因为f（x）为奇函数，所以
即
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得，＝|a＋1|2.当（a－1）（a＋）＝（a＋1）2时，解得a＝－.把a＝－代入①，可得b＝ln 2，此时f（x）＝ln ＋ln 2＝ln ，所以f（－x）＋f（x）＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，所以f（x）为奇函数，且f（0），f（2），f（－2）均有意义．当（a－1）（a＋）＝－（a＋1）2时，整理可得a2＋a＋＝0，此时Δ＝－4×<0，所以a无解．综上可得，a＝－，b＝ln 2.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）由题意知f（0）＝0，解得a＝－1，所以当x≥0时，f（x）＝3x－1，
当x<0，则－x>0，所以f（－x）＝3－x－1＝－f（x）.
又f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x），
故当x<0时，f（x）＝－3－x＋1.
综上：f（x）＝.
（2）由f＋f>0，得f>－f，
因为y＝f（x）是奇函数，所以f>f.
当x≥0时f（x）＝3x－1，所以函数f（x）在上单调递增，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以y＝f（x）在R上单调递增．
可得∀x∈R，x2－（m＋1）x＋4>0恒成立，
故Δ＝[－（m＋1）]2－16<0，解得－5
2．解析：（1）因为f（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－f（x），故函数f（x）为奇函数；
因为y＝2x为R上的增函数，y＝－2－x为R上的增函数，f（x）＝2x－2－x，
故函数f（x）为R上的增函数；
（2）由（1）f（x）＝2x－2－x在区间（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）>f（0）＝0.
又（2x－2－x）2＝22x＋2－2x－2，
设f（x）＝2x－2－x＝t，则t>0, 22x＋2－2x＝t2＋2，
22x＋2－2x≥af（x）⇒t2＋2≥at即22x＋2－2x≥af（x）⇒t＋≥a恒成立，
又t＋≥2，当且仅当t＝时，等号成立，故＝2，
所以a≤2.
故a的取值范围为（－∞，2].
点点练5 基本初等函数
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2<0 的解集为，
∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个不同的实数根，
且Δ＝4a2＋32a2>0，∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
∵x2－x1＝15，∴152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2，a2＝，
解得a＝±.故选D.
2．答案：C
解析：令f（x）＝xn，则8n＝4，可得n＝，所以f（x）＝x，
故f（27）＝27＝9.
故选C.
3．答案：C
解析：由题可得f（2）＝32a＝3，∴a＝，f（x）＝x，
∴f＝2log2＝log4＝4.故选C.
4．答案：B
解析：设原有溶质的半成品为a kg，含杂质1%a kg，经过n次过滤，含杂质1%a× kg，要使该溶质经过n次过滤后杂质含量不超过0.1%，则1%×≤0.1%，即≤，
因为＝>，＝<，所以n≥6，该溶质的半成品至少应过滤6次，才能达到市场要求．
故选B.
5．答案：A
解析：a＝lg 2·lg 5<＝，b＝＝>，c－b＝－＝＝>0，则c>b.
所以a
6．答案：A
解析：由题意知，不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞f，又偶函数f（x）在（－∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，＋∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或log4x＜－＝log4，
∴0＜x＜，或 x＞2.
7．答案：4
解析：原式＝2lg 5－1＋3＋2lg 2＝2＋2＝4.
8．答案：9
解析：由已知定点坐标为（1，2），所以k＝1，
所以m＋n＝1，所以＋＝（m＋n）＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当m＝2n＝时取等号．
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：由题意，当n＝1时，f（x）＝x－2在（0，＋∞）上是减函数，故充分性成立；
若幂函数f（x）＝·xn2－3n在（0，＋∞）上是减函数，
则，解得n＝1或n＝2，故必要性不成立，
因此“n＝1”是“幂函数f（x）＝·xn2－3n在（0，＋∞）上是减函数”的一个充分不必要条件，故选A.
2．答案：A
解析：因为x∈，所以a＝ln x∈，b＝ln x∈，c＝eln x∈，
所以a
解析：因为log3a>1，所以a>3，因为3b>1，所以b>0，
作出函数y＝log3x，y＝3x，y＝x的图象，如图所示，
由题意可知直线y＝c（c>1）与函数y＝log3x，y＝3x，y＝x的图象的交点分别为a，b，c，由图可知0
所以f（x）在上单调递增，所以f（b）
解析：由函数f（x）＝f（f（a））＝f（a），得f（a）≥1.当a<1时，f（a）＝2－a≥1，得a≤0；当a≥1时，f（a）＝≥1，得a≥2.综上，a∈（－∞，0]∪[2，＋∞）.
5．答案：－1
解析：设g（x）＝f（x）－1＝ln （－x），因为g（－x）＝ln （＋x）＝－g（x），所以g（x）为奇函数．因为f（a）＝3，所以g（a）＝f（a）－1＝2，g（－a）＝－g（a）＝－2，所以f（－a）＝g（－a）＋1＝－1.
6．答案：①④
解析：①，当x＝－1时，f（－1）＝2a0－1＝1，所以f（x）过定点（－1，1），①正确；
②，方程2－＋m＝0有两个实数根．m＝－，y＝m与y＝－有两个交点，结合图象可知，－1
③，y＝lg x的反函数是f（x）＝10x，f（1）＝10，③错误；
④，f（x）＝log在区间上单调递减，
则⇒－4≤a≤4，所以④正确．
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：由题知c＝log0.70.8<1，b＝＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c
解析：方法一 由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0
3．答案：A
解析：方法一 由函数y＝x3和y＝－都是奇函数，知函数f（x）＝x3－是奇函数．由函数y＝x3和y＝－都在区间（0，＋∞）上单调递增，知函数f（x）＝x3－在区间（0，＋∞）上单调递增，故函数f（x）＝x3－是奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增．故选A.
方法二 函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，f（－x）＝（－x）3－＝－x3＋＝－f（x），故f（x）＝x3－是奇函数．
∵f′（x）＝3x2＋>0，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增．故选A.
4．答案：D
解析：对于函数y＝loga（x＋），当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga（x＋）的图象恒过定点（，0），排除选项A、C；函数y＝与y＝loga（x＋）在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
5．答案：A
解析：因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f（x）＝2x－3－x，则f′（x）＝2x ln 2－3－x×ln 3×（－1）＝2x ln 2＋3－xln 3，易知f′（x）>0，所以f（x）在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x
6．答案：B
解析：2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2（2b），
令f（x）＝2x＋log2x，则f（a）
所以a<2b，故选B.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）由题得：f（x）＝loga，∵f（1）＝2⇒loga4＝2⇒a＝2，
∴f（x）＝log2，－3
所以原不等式的解集为∪.
（2）由f（x）≤log2＋m得：
m≥max，令x＋4＝t，x∈，所以t∈，
∴＝＝＝7－≤7－2，当且仅当 t＝时等号成立，∴m≥log2.
2．解析：（1）由f（x）＝，x∈[－1，1]，
知f（x）∈，
令f（x）∈，设f（x）＝t，则g（x）＝y＝t2－2at＋3，则g（x）的对称轴为t＝a，故有：①当a≤时，g（x）的最小值h（a）＝－；
②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）＝12－6a；
③当
（2）当a≥3时，h（a）＝－6a＋12，故m>n>3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）].
由题意，则有⇒两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值．
点点练6 函数的图象及应用
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：当x＝1时，y＝0，故排除BD；再代入x＝2，y＝2－＝>0，排除A，故选C.
2．答案：A
解析：由f（x）的图象可知，0
解析：y＝ex的图象关于x轴对称的图象的函数解析式为y＝－ex，把y＝－ex的图象向左平移一个单位长度，得到y＝－ex＋1的图象，所以f（x）＝－ex＋1.
4．答案：C
解析：f（π）＝0，g（π）＝－1，由图得，x＝π时y<0，排除BD；
f（0）＝0，g（0）＝1，由图得，x＝0时y＝0，排除A.故选C.
5．答案：C
解析：将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y＝2f的图象，故选C.
6．答案：C
解析：当x＝0时，y＝f（1）＝2，故排除A、D选项；当x>0时，1－x<1，则y＝f（1－x）＝21－x>0，排除B选项．故选C.
7．答案：6
解析：f（x）＝min{2x，x＋2，10－x}（x≥0）的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4.故当x＝4时，f（x）取最大值，又f（4）＝6，所以f（x）的最大值为6.
8．答案：
解析：画出f（x）的图象如图所示，
由图可知x1＋x2＝－6，0
所以2
所以的取值范围是.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：因为函数f（x）＝的定义域为，f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B；当x∈时1<2x<4，f（x）＝<0，当x∈时，f（x）＝>0，排除C.故选D.
2．答案：B
解析：对于A，C1：f（x）＋1＝logx＋1，C2：f（2x）＝log2x＝logx＋log2＝logx－1，A错误；对于B，C1：f（x）＋1＝log2x＋1，C2：f（2x）＝log22x＝log2x＋log22＝log2x＋1，B正确；对于C，C1：f（x）＋1＝2x＋1，C2：f（2x）＝22x＝4x，C错误；对于D，C1：f（x）＋1＝＋1，C2：f（2x）＝＝，D错误．故选B.
3．答案：B
解析：根据题意，函数f（x）＝x3－x2－3x＋9，其导数f′（x）＝x2－2x－3＝（x＋1）（x－3），
在区间（－∞，－1）上，f′（x）>0，f（x）为增函数，且f（－1）＝10，
在区间（－1，3）上，f′（x）<0，f（x）为减函数，且f（3）＝0，其简图如图：
对于①|f（x）|，有|f（x）|＝，其图象全部在x轴上和x轴上方，对应图象丙，
②f（－x），其图象与f（x）的图象关于y轴对称，对应图象甲，
③f（|x|），有f（|x|）＝，为偶函数，对应图象丁，
④－f（－x），其图象与f（x）的图象关于原点对称，对应图象乙，
故选B.
4．答案：D
解析：由于y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋1）＝f（x－2），所以f（x）＝f（x－3）＝－f（－x），整理得，f（x＋3）＝f（x），所以f（－x＋3）＝－f（x），
故对于①，函数f（x）的图象关于对称，故①正确，②错误．
对于③，函数f（0）＝0，f（3）＝0，f（6）＝0，由于f（x）＝f（x＋3）＝－f（－x），
令x＝－，所以f＝－f，整理得f＝0，f（4.5）＝f＝0，故③正确；
对于④，f（2 021）＝f（673×3＋2）＝f（2）＝f（－1），f（2 022）＝f（0），因为函数f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）＝0，f（x）为奇函数，且f（x）在[－1，0]上单调递增，则它在[2 021，2 022]上单调递增，故④正确．
5．答案：
解析：由已知得，将f（x），g（x）图象的对称轴y＝x右移1个单位再下移1个单位，即得到函数f（x），h（x）图象的对称轴为直线y＝（x－1）－1即y＝x－2，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y＝x－2距离最小值的2倍，
y′＝2x，故函数y＝x2的图象在P（x0，y0）点处的切线斜率为k＝2x0，
令2x0＝1，得x0＝，y0＝，
所以P到直线y＝x－2距离的最小值为d＝＝，
所以这两点之间距离的最小值为2d＝.
6．答案：e－
解析：由f（x）＝ax－1＝0，得|logax|＝，
即＝，
由题意，函数y＝与y＝的图象有两个交点，
当0＜a＜1时，函数y＝与y＝的图象有两个交点时，
注意到y＝logx与y＝互为反函数，图象关于y＝x对称，
可知函数y＝的图象与y＝x相切，设切点的横坐标为x0，
则，解得.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：易知f（x）＝x2＋为偶函数，g（x）＝sin x为奇函数，而题图所表示的为奇函数的图象．
易知y＝f（x）＋g（x）－与y＝f（x）－g（x）－均不是奇函数，所以排除A，B.
易知y＝f（x）g（x）＝sin x是奇函数，但当x∈时，y′＝2x sin x＋cos x>0，则函数y＝f（x）g（x）在上单调递增，与图象不符，所以C不符合题意．
易知y＝＝是奇函数，且y′＝.当x∈时，令y′＝0，得＋＝tan x．当x∈时，＋≥2＝，且易知当x∈时，＋单调递减，当x∈时，＋单调递增，而函数y＝tan x在上单调递增，当x＝时，>tan ，当x＝时，＋
2．答案：A
解析：设函数f（x）＝（3x－3－x）cos x，则对任意x∈[－，]，都有f（－x）＝（3－x－3x）cos （－x）＝－（3x－3－x）cos x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，因此排除B，D选项．又f（1）＝（3－3－1）cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
3．答案：D
解析：∵f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）为奇函数，排除A；
∵f（π）＝＝>0，∴排除C；
∵f（1）＝，且sin 1>cos 1，∴f（1）>1，∴排除B.
4．答案：A
解析：对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝＝cos 3.因为cos 3>－1，所以cos 3>－，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
5．答案：（4，8）
解析：设g（x）＝f（x）－ax＝
方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解即函数y＝g（x）有两个零点，即y＝g（x）的图象与x轴有2个交点，满足条件的y＝g（x）的图象有以下两种情况：
情况一：
则∴4
则不等式组无解．综上，满足条件的a的取值范围是（4，8）.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1，
当x2－2x－1<0时，y＝－（x2－2x－1）.
步骤：①作出函数y＝x2－2x－1的图象；
②将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y＝|x2－2x－1|的图象．
（2）当x≥0时，y＝x2－2x－1，
当x<0时，y＝x2＋2x－1，即 y＝（－x）2－2（－x）－1.
步骤：作出y＝x2－2x－1的图象；因为y＝|x|2－2|x|－1是偶函数，所以y轴右方部分不变，再将右方以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝|x|2－2|x|－1的图象．
2．解析：（1）因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，由已知可得f（－x）＋g（－x）＝21＋x，即f（x）＋g（x）＝21＋x，所以，解得，
由mf（x）＝[g（x）]2＋2m＋9可得m＝＋2m＋9，
令t＝2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，则t2＝4x＋4－x＋2，故有t2－mt＋2m＋5＝0，其中t≥2，
令F（t）＝t2－mt＋2m＋5，其中t≥2，则函数F（t）在[2，＋∞）上有零点，
①当≤2时，即当m≤4时，则F（t）在[2，＋∞）上单调递增，所以，F（t）≥F（2）＝9>0，不合乎题意；
②当>2时，即当m>4时，则有Δ＝m2－8m－20≥0，解得m≥10，此时函数F（t）在[2，＋∞）上有零点．
综上所述，实数m的取值范围是[10，＋∞）.
（2）h（x）＝＝＝，作出函数h（x）的图象如图所示：
由[h（x）]2－h（x）＋k＝0可得·[h（x）－2k]＝0，
由图可知，方程h（x）＝有两个不等的实根，由题意可知，方程h（x）＝2k有且只有一个根，故2k＝0或2k≥1，解得k＝0或k≥.
因此，实数k的取值范围是.
点点练7 函数与方程、函数的实际应用
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：由题意得f（x）＝ln x＋x－6为连续函数，且在（0，＋∞）单调递增，
f（2）＝ln 2－4<0，f（3）＝ln 3－3<0，f（4）＝ln 4－2
根据零点存在性定理，f（4）·f（5）<0，所以零点一定位于区间（4，5）.
2．答案：A
解析：因为函数f（x）＝x3＋x2＋x＋c，所以f′（x）＝3x2＋2x＋1，因为Δ＝4－12＝－8<0，
所以f′（x）>0，从而f（x）＝x3＋x2＋x＋c在R上单调递增，又当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，由零点存在定理得：函数f（x）＝x3＋x2＋x＋c有且只有一个零点．
3．答案：A
解析：令（ln x）2－2ln x＝ln x·（ln x－2）＝0，解得：x＝1或x＝e2，所以函数f（x）有2个零点．
4．答案：C
解析：当x＝0时，f（0）＝1≠0，故x＝0不是方程f（x）－a|x|＝0的根，当x≠0时，由f（x）－a|x|＝0得，a＝，方程f（x）－a|x|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y＝a与函数y＝的图象有两个不同的交点，作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示，
由图可知，a＝0或1
解析：由题意知，lg （1 000X0）＝12lg （1＋p）＋lg X0，
即lg 103＋lg X0＝12lg （1＋p）＋lg X0，
即3＋lg X0＝12lg （1＋p）＋lg X0，
所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.
故选D.
6．答案：B
解析：因为f（x）为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，
解得0
解析：f（x）＝80＋4＋×（200－x）＋120＝－x＋4＋250，依题意得得20≤x≤180，故f（x）＝－x＋4＋250（20≤x≤180）.令t＝，t∈[2，6]，则g（t）＝－t2＋4t＋250＝－（t－8）2＋282，当t＝8时，即x＝128时，f（x）max＝282，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
8．答案：（1）2 （2）40
解析：（1）由图象可知，当t＝时，y＝1，则＝1，所以k＝2.
（2）由（1）可知，y＝
当0
二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：令f（x）＝0，得x－4＝（x＋2）·，显然x＝－2不是该方程的根，故等价变形得到＝，在同一直角坐标系中分别作出y＝，y＝的图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，故函数f（x）＝x－4－（x＋2）·有2个零点．
2．答案：B
解析：由题意，f（－x＋1）＝－f（x＋1）⇔f（2－x）＝－f（x），又g（2－x）＝g（x），
所以f（2－x）·g（2－x）＝－f（x）g（x），所以函数y＝f（x）·g（x）的图象关于点（1，0）对称．
设y＝f（x）·g（x）的零点为x1，x2，x3，x4，x5，易知x3＝1，设x1
3．答案：B
解析：设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2，由题意可得，两式相减可得＝log3，所以log3＝1，即＝3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
故选B.
4．答案：C
解析：对于f（x－2）＋f（x）＝0，有f（x）＋f（x＋2）＝0⇒f（x＋2）＝－f（x）⇒f＝－f（x＋2）＝f（x），
即f（x）周期为4.又对于f（x－2）＋f（x）＝0，
有f（x＋1）＋f（x－1）＝0⇒f（x＋1）＝－f（x－1），因f（x）是定义在R上的奇函数．
则f＝f，故f（x）关于x＝1对称．又当x∈时，f（x）＝x3，据此可做出f（x）部分图象如下．
对于A选项，结合图象可知：f（x）图象关于x＝1＋2k，k∈Z对称，故A错误．
对于B选项，因f（x）周期为4，故f（x）在上单调性与f（x）在上保持一致．
又当x∈时，f（x）＝x3，f（x）在上单调递增，故B错误．
对于C选项，结合图象可知：f（x）零点为2k，k∈Z，则令－1≤2k≤2 023，
解得：0≤k≤1011，故当x∈时，f（x）有1 012个零点，故C正确．
对于D选项，结合图象可知：f（x）图象关于对称，其中k∈Z，故D错误．
故选C.
5．答案：∪{2}∪[e，＋∞）
解析：易知当a≤0时，不满足题意；当0
6．答案：（1）4或0 （2）4
解析：（1）∵y＝f（x）－k恰有2个不同的零点，∴y＝f（x）和y＝k的图象有2个不同的交点．由图可得当y＝f（x）和y＝k的图象有2个不同的交点时，k＝4或k＝0.
（2）∵g（x）＝∴当x≤0时，由2x＋1＝0，得x＝－.当f（x）＝－时，由图可知g（f（x））＝0有一个解．当x>0时，易知g（x）＝x3＋2x－16单调递增，∵g（2）＝－4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）上有一个零点x0，当f（x）＝x0，x0∈（2，3）时，由f（x）的图象可知g（f（x））＝0有3个解，∴y＝g（f（x））共有4个零点．
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：由f（x）＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x·（1－cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝1，
∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个．
2．答案：C
解析：I（t*）＝＝0.95K，整理可得e0.23（t*－53）＝19，两边取自然对数得0.23（t*－53）＝ln 19≈3，解得t*≈66.
3．答案：B
解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若则e0.38（t2－t1）＝2，0.38（t2－t1）＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8.
4．答案：D
解析：由＋＝（R＋r），得＋＝M1.因为α＝，所以＋＝（1＋α）M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，
即3≈，所以r≈ ·R.
5．答案：D
解析：由题意知函数g（x）＝f（x）－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f（x）－|kx2－2x|＝0，即f（x）＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f（x）与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．
当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f（x）与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．
图1
当k<0时，y＝|kx2－2x|＝，其图象的对称轴为直线x＝<0，直线x＝与y＝|kx2－2x|的图象的交点为，点在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f（x）与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f（x）与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．
图2
当k>0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点（0，0）与，则当x>时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f（x）与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8>0，得k>2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f（x）与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8<0，得0
图3 图4
综上可知，实数k的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）．
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）如图所示．
（2）∵f（x）＝
＝
故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数．
由0
（3）由函数f（x）的图象可知，当0
把，，分别代入y＝ax＋，得，
解得a＝2，b＝288，
∴y＝2x＋，x∈（0，＋∞）.
又y＝2x＋≥2 ＝48，
∴当且仅当2x＝时，即当x＝12时，y有最小值，且ymin＝48.
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元．
（2）原不等式可以整理为：f（x）≥32＋，x∈，
因为对∀x∈，都有不等式kf（x）－32k－210≥0恒成立，
则f（x）min≥32＋.
（ⅰ）当0
∴48≥32＋，
解得k≥13.125，不符合假设条件，舍去．
（ⅱ）当k>12时，f（x）在[k，＋∞）（k>0）单调递增，故f（x）min≥32＋，
只需2k＋≥＋32.
整理得：k2－16k＋39≥0，
∴k≥13（k≤3舍去），
综上，实数k的取值范围是[13，＋∞）.
单元检测（二） 函数
1．答案：B
解析：对于A选项，当x∈（0，2]时，没有对应的图象，不符合题意；
对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；
对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
对于D选项，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意．
故选B.
2．答案：B
解析：①y＝3－x的定义域和值域均为R，②y＝2x－1（x>0）的定义域为（0，＋∞），值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞），④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．
3．答案：C
解析：f（－2）＝1＋log2＝1＋log222＝1＋2＝3，
log＝log212＝log2＝log22＋log26＝1＋log26>1，
f＝＝6，所以f（－2）＋f＝3＋6＝9.故选C.
4．答案：A
解析：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.因为f（8）＝log3（8＋1）＝2，所以f（－8）＝－2，所以g（f（－8））＝g（－2）＝f（－2）＝－f（2）＝－log3（2＋1）＝－1.
5．答案：A
解析：因为x<0时，f（x）＝＝－xex>0，所以排除选项C、D.因为x>0时，f（x）＝＝xex，所以f′（x）＝ex＋xex＝ex（x＋1）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，排除选项B.
6．答案：D
解析：因为函数y＝f（x＋1）是定义域为R的偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．又因为f（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以不等式f（2x－1）>f（x＋2）等价于|2x－1－1|<|x＋2－1|，两边平方整理得3x2－10x＋3<0，解得
解析：根据题意，函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，都有<0，则f（x）在[0，＋∞）上为减函数，又f（x）为定义域R上的奇函数，所以函数f（x）在（－∞，0）上为减函数，所以函数f（x）在R上为减函数．因为c＝log2<0，a＝＝，而b＝，所以a>b>0，所以f（c）>f（b）>f（a）.
8．答案：C
解析：设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1（x－10.5）2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
9．答案：C
解析：由已知得1⊕x＝2⊕x＝所以f（x）＝当x≤1时，函数的最大值是f（1）＝－1；当1
解析：由题意可知g（0）＝0，设x>0，则－x<0，g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x＋5.
∵f（g（a））≤2，f（x）＝
∴g（a）≥－2，
∴或或a＝0，
解得a≤－1或0≤a≤2－1.
11．答案：D
解析：函数f（x）＝－＝－∈，当－
解析：令x＝－2，由f（x＋4）＝f（x）＋f（2），得f（－2）＝0，因为函数y＝f（x）是R上的偶函数，所以f（2）＝f（－2）＝0，所以f（x＋4）＝f（x），即函数y＝f（x）是以4为周期的周期函数．所以f（2 017）＝f（504×4＋1）＝f（1）.因为f（3）＝－1，所以f（－3）＝－1，所以f（1）＝f（－3）＝－1，从而f（2 017）＝－1；因为函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，周期为4，所以函数y＝f（x）图象的一条对称轴方程为x＝－4；当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有>0，设x1
解析：函数y＝loga（x－1）＋4的图象恒过点P，则P（2，4），设幂函数f（x）＝xα，则2α＝4，解得α＝2，所以f（x）＝x2，所以f（3）＝32＝9.
14．答案：5
解析：∵函数f（x）＝∴f（－2）＝log24＝2，f（log23）＝2log23＝3，∴f（－2）＋f（log23）＝2＋3＝5.
15．答案：∪
解析：由f（x）＝－x3＋2x－ex＋，则f（－x）＝－（－x）3－2x－e－x＋＝x3－2x－＋ex＝f（－x），即函数为R上的奇函数．
又f′（x）＝－3x2＋2－ex－e－x≤－3x2＋2－2＝－3x2≤0，故f（x）为R上的减函数．
又f＋f≤0，所以f≤f，
即2a2＋a－1≥0，解得a∈∪，
即实数a的取值范围是∪.
16．答案：（2＋2，＋∞）
解析：设点（m，n）（m>0）是函数y＝f（x）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（－m，－n）必在该函数图象上，故消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.若函数f（x）有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即解得k>2＋2.故实数k的取值范围是（2＋2，＋∞）.
17．解析：（1）因为函数的定义域为R，所以ax2－x＋3>0恒成立，
当a＝0时，－x＋3>0不恒成立，不符合题意；
当a≠0时，解得a>.
综上所述，a∈.
（2）由题意可知，ax2－x＋3＝9在[1，3]上有解，
即a＝＋在[1，3]上有解．
设t＝，t∈，则a＝6t2＋t.
因为y＝6t2＋t在上单调递增，所以y∈[1，7].
所以a∈[1，7].
18．解析：（1）x<0时，－x>0，f（－x）＝－（－x）2－2x＝－x2－2x
又f（x）为R上的奇函数，∴f（x）＝－f（－x）＝x2＋2x
又∵当x＝0时，f（0）＝0
∴f（x）的解析式为f（x）＝
（2）由（1）知：f（x）＝－x2＋2x（x≥0）在[0，1]上单调递增．
f（x）＝x2＋2x（x<0）在[－1，0）上单调递增，
∴f（x）在[－1，1]上单调递增，又f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
∴[－1，a－2]⊆[－1，1]，∴－1
19．解析：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，可得b＝1.
又f（－1）＝－f（1），∴＝－，解得a＝1.
经检验，当a＝1且b＝1时，f（x）＝，满足f（x）是R上的奇函数．
（2）由（1）得f（x）＝＝－1＋.
任取实数x1，x2∈R，且x1
∵x1
∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
∴函数f（x）在R上为减函数．
（3）由（1）和（2）知，函数f（x）是奇函数且在R上为减函数，
∴不等式f（t2－2t）＋f（－2t2＋k）<0恒成立，
即f（t2－2t）<－f（－2t2＋k）＝f（2t2－k）恒成立，
故t2－2t>2t2－k对任意的t∈[－2，2]恒成立，
即k＞t2＋2t对任意的t∈[－2，2]恒成立，
令h（t）＝t2＋2t＝（t＋1）2－1，t∈[－2，2]，
易知当t＝2时，h（t）取得最大值8，∴k>8.
故实数k的取值范围是（8，＋∞）.
20．解析：（1）由x＝4时，·149＝3 129，得k＝5；
（2）因为数据有增有减，①④不符合题意，
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
，解得：，
即得②类函数解析式为N（x）＝－（x－20）2＋165.
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
，解得：，
即得③类函数解析式为N（x）＝－|x－20|＋165，
将第一组数据代入N（x）＝－（x－20）2＋165，
可知：N（4）＝－（4－20）2＋165＝139.4，
将第一组数据代入N（x）＝－|x－20|＋165，
可知：N（4）＝－|4－20|＋165＝149，
因此N（x）＝－|x－20|＋165（0≤x≤30）最合适．
当x∈[1，20）时，
f（x）＝（x＋145）
＝（x＋1＋144）
＝5＋20（x＋1）＋＋2 880
≥2 885＋2
＝3 125，
当且仅当x＝5时，等号成立，
当x∈[20，30]时，
f（x）＝（－x＋185）
＝（－x－1＋186）
＝－20（x＋1）＋3 715
函数f（x）在x∈[20，30]上单调递减，
所以f（x）≥f（30）＝3 125，当且仅当x＝30时，等号成立．
综上可知，当x＝5或x＝30日销售收入最小值为3 125元．
21．解析：（1）当a＝2时，f（x）＝2x－2·4x≥0，即2x≥22x＋1，所以x≥2x＋1，解得x≤－1.
故实数x的取值范围是（－∞，－1].
（2）由题意知f（x）>－1在x∈（－∞，1]上恒成立，
即a－a2>－在x∈（－∞，1]上恒成立．
因为函数y＝和y＝在x∈（－∞，1]上均单调递减，
所以y＝－在（－∞，1]上单调递增，
最大值为－＝－.
因此a－a2>－，解得－
所以f（－1）＝f（1），log3（3－1＋1）＋k＝log3（31＋1）－k，
2k＝log34－log3＝log3＝1，k＝，
此时f（－x）＝log3（3－x＋1）＋x＝log3＋x＝log3（3x＋1）－x＋x＝f（x），满足题意，
所以f（x）＝log3（3x＋1）－x.
（2）依题意存在x1∈[log32，8]，对任意的x2∈[1，4]，都有g（x1）≤h（x2），
g（x）＝f（x）＋x＝log3（3x＋1），
f（x）在区间[log32，8]上递增，g（x）在区间[log32，8]上的最小值为g（log32）＝log3（3log32＋1）＝1.
h（x）＝x2－2tx＋5（1≤x≤4），开口向上，对称轴为x＝t，
当t≤1时，h（x）在[1，4]上递增，最小值为h（1）＝1－2t＋5＝6－2t，
依题意可知6－2t≥1，t≤，则t≤1.
当1
依题意可知21－8t≥1，t≤，不符合．
综上所述，t的取值范围是.
第三单元 导数及其应用
点点练8 导数的概念与几何意义、导数的运算
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以f(t)在区间，(Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k1>k2.
故选A.
2．答案：B
解析：由f(x)＝mx2＋ln x＋1⇒f′(x)＝2mx＋，f′(1)＝2m＋1，f(1)＝m＋1，
则函数在处的切线方程为y＝(x－1)＋m＋1，
将代入切线方程可得m＝2.故选B.
3．答案：B
解析：由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，可得f′(x)＝2f′(1)＋，所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1 .故选B.
4．答案：C
解析：对于A，′＝0，故A不正确；
对于B，(x2sin 3x)′＝(x2)′sin 3x＋x2(sin 3x)′＝2x sin 3x＋3x2cos 3x，B错误．
对于C，(tan x)′＝′＝＝，C正确．
对于D，′＝×2＝，D错误．
故选C.
5．答案：D
解析：由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且3x＋2ax0＝－1
x0＋x＋ax＝0，解得a＝±2，x0＝－.
所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1，1).
6．答案：A
解析：y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号).当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.
7．答案：y＝x＋1
解析：由 ＝3 ＝3，得f′(1)＝1，
而f′(x)＝a－，所以a＝2，f(x)＝2x－ln x，f(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
8．答案：2x－y－2π－2＝0
解析：因为f(x)＝2sin ＋f′sin x ＝2cos x＋f′sin x，
所以f(π)＝2cos π＋f′sin π＝2×(－1)＋f′×0＝－2，切点为(π，－2).
而f′(x)＝－2sin x＋f′cos x，
令x＝， 得f′＝－2sin ＋f′cos ＝－2×1＋f′×0＝－2，
所以f′(x)＝－2sin x－2cos x，
所以曲线y＝f(x) 在点 (π，－2) 处的切线的斜率为 f′(π)＝－2sin π－2cos π＝－2×0－2×(－1)＝2，
所以曲线y＝f(x) 在点 (π，－2) 处的切线方程为y－(－2)＝2(x－π).即 2x－y－2π－2＝0.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：因为f(x)＝aex＋x2，所以f′(x)＝aex＋2x，因此切线方程的斜率k＝f′(1)＝ae＋2，所以有ae＋2＝2e＋2，得a＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e＋2＋b)，将切点代入f(x)中，有f(1)＝2e＋1＝2e＋2＋b，得b＝－1，
所以ab＝－2.
2．答案：A
解析：∵f(x)＝ax ln x＋b过点(1，1)，∴f(1)＝a ln 1＋b＝1，解得b＝1.
∵f′(x)＝a(ln x＋1)，∴f′(1)＝a(ln 1＋1)＝a，
则f(x)在点(1，1)处的切线方程为y＝a(x－1)＋1.
∵y＝a(x－1)＋1过点(3，5)，∴a＝2，
∴f(x)＝2x ln x＋1，∴f′(x)＝2(ln x＋1).
令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0
3．答案：A
解析：由y＝x2＋2ln x，得y′＝2x＋，由2x＋＝4，解得x＝1，
则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点，
∴4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3，
∴直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，
由y＝x3－nx＋13，得y′＝3x2－n，设切点为，
则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立可得3t2－t2－＋4＝4，
解得t＝2，所以n＝8.
∴n－m＝8－＝11.
故选A.
4．答案：B
解析：①f(x)＝x2，f′(x)＝2x，x2＝2x，x＝0，x＝2，有“巧值点”；
②f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x，无解，无“巧值点”；
③f(x)＝ln x，f′(x)＝，ln x＝，令g(x)＝ln x－，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0.由零点存在性定理，所以在(1，e)上必有零点，f(x)有“巧值点”；
④f(x)＝tan x，f′(x)＝，＝tanx，sin x cos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”．所以有“巧值点”的是①③.
5．答案：(－∞，e]
解析：设f(x)＝ex，切点为(x0，ex0)，则f′(x)＝ex，所以k＝ex0，b＝ex0－kx0＝ex0(1－x0)，所以k＋b＝ex0＋ex0(1－x0)＝ex0(2－x0).令g(x)＝ex(2－x)，则g′(x)＝ex(2－x)－ex＝ex(1－x)，
当x∈(－∞，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以g(x)的最大值为g(1)＝e，又x→－∞时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→－∞，所以k＋b的取值范围是(－∞，e].
6．答案：
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝f(x0)＝(x0＋2)ex0.
由f(x)＝(x＋2)ex，可得f′(x)＝(x＋3)ex，
所以切线方程为y－y0＝(x0＋3)ex0(x－x0)，整理得y－(x0＋2)ex0＝(x0＋3)ex0(x－x0)，将M(1，t)代入可得，
t＝(－x－x0＋5)ex0＝h(x0)，h′(x0)＝(－x－3x0＋4)ex0＝－(x0＋4)(x0－1)ex0，
则h(x0)在(－∞，－4)和(1，＋∞)上单调递减；在(－4，1)上单调递增．
所以，h在x0＝－4处有极小值h＝－，在x0＝1处有极大值h(1)＝3e.
易知当x0<－时，h<0(如图所示)
所以当－
1．答案：B
解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
2．答案：D
解析：方法一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
方法二 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，经检验满足题意，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
3．答案：D
解析：方法一 在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex，
所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et，
由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，
令f(t)＝et，则f′(t)＝et.
当t
当t>a时，f′(t)<0，此时函数f(t)单调递减，
所以，f(t)max＝f＝ea，
由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f(t)的图象有两个交点，则b
由图可知，当0
4．答案：1
解析：f′(x)＝，则f′(1)＝＝，解得a＝1.
5．答案：5x－y＋2＝0
解析：因为y＝，所以y′＝＝.当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
6．答案：y＝ y＝－
解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)因为f(x)＝x2－4ln x－，所以f′(x)＝x－.
令x－＝－3，即x2＋3x－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去).
因为f(1)＝0，所以切点是(1，0)，代入3x＋y－a＝0，得a＝3.
(2)f′(x)＝x－，x>0.
令f′(x)>0，得x>2；令f′(x)<0，得0
即f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞).
2．解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0).
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
点点练9 导数与函数的单调性、极值、最值
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：由f′(x)的图象可知：当x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)单调递减，在(－2，0)单调递增，可排除B、C、D.
2．答案：B
解析：依题意f′(x)＝2x－a＋≥0在区间(1，e)上恒成立，即a≤2x＋在区间(1，e)上恒成立，
令g(x)＝2x＋(1
g(x)在(1，e)上单调递增，g(1)＝3，所以a≤3.所以a的取值范围是(－∞，3].
3．答案：A
解析：∵f(x)＝a ln x＋bx，
∴f′(x)＝＋b，
又函数f(x)在x＝1处取得极值2，
则f′(1)＝a＋b＝0，且f(1)＝b＝2，
所以a＝－2，b＝2，经检验满足要求，所以a－b＝－4.
故选A.
4．答案：A
解析：由f′(x)的图象可知，其与x轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为2.
5．答案：C
解析：设f(x)＝ex－1－x，x>1，则f′(x)＝ex－1－1>0在(1，＋∞)上恒成立，
所以f′(x)在(1，＋∞)单调递增，
所以f′(x)>f′(1)＝0，
所以f(x)在(1，＋∞)单调递增，
所以f(1.1)>f(1)，即e0.1－1.1>e0－1＝0，
所以e0.1>1.1，
又y＝x1.1在(0，＋∞)单调递增，
所以1.1>(1.1)1.1，即e0.11>1.11.1，
所以b>a；
设g(x)＝1＋ln x－x，x>1，则g′(x)＝－1<0在(1，＋∞)上恒成立，
所以g′(x)在(1，＋∞)单调递减，
所以g′(x)
所以g
所以a>c；综上所述：b>a>c，故选C.
6．答案：A
解析：f′(x)＝ex＝(x＋1)(x＋a2＋1)ex.
①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)2ex≥0，故f(x)在R上单调递增，f(x)无最小值．
②当a≠0时，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－a2－1.又－a2－1<－1，
故当x<－a2－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－a2－1
故f(x)在x＝－1处取得极小值.
综上，函数f(x)在x＝－1处取得极小值⇔a≠0.
所以“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件．
故选A.
7．答案：2
解析：f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(2)＝e2－8<0，f(3)＝e3－9>0，
∴存在唯一的x0∈(2，3)使得f(x0)＝0，
又∵函数f(x)＝ex－x－6的零点所在区间为(n，n＋1)(n∈N)，
所以n＝2.
8．答案：(－∞，4]
解析：由已知得f′(x)＝4x＋－a(x>0)，因为函数f(x)是定义域上的单调递增函数，所以当x>0时，4x＋－a≥0恒成立．因为当x>0时，函数g(x)＝4x＋≥4，当且仅当x＝时取等号，所以g(x)∈[4，＋∞)，所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4].
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值⇔f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点⇔Δ＝4m2－4m≤0⇔0≤m≤1.
2．答案：D
解析：因为y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋＋1.
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x－＋1＝－f(x)，
所以当x>0时，f(x)＝x＋－1，此时f′(x)＝1－.
当a≤1时，f′(x)＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数取得最小值f(1)＝1＋a－1＝3，解得a＝3(舍)，
当a>1时，x∈[1，]，f′(x)<0，函数单调递减；x∈，f′(x)>0，函数单调递增，x＝时，函数取得最小值f()＝2－1＝3，解得a＝4，
综上，a＝4.故选D.
3．答案：C
解析：f′(x)＝－1＝.令φ(x)＝1－ln x－x2，则φ′(x)＝－－2x<0，
所以φ(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)上单调递减．因为φ(1)＝0，
所以当0
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，
故f(x)的极大值点为1，f(x)的极大值为f(1)＝－1.
4．答案：B
解析：因为f(x)＝cos (2x－x)－cos (2x＋x)
＝cos 2x cos x＋sin 2x sin x－(cos 2x cos x－sin 2x sin x)
＝2sin 2x sin x＝4sin2x cosx＝4cos x(1－cos2x)
＝－4cos3x＋4cosx.
设t＝cos x，则t∈[－1，1]，
则问题转化为求函数g(t)＝－4t3＋4t，t∈[－1，1]上的最大值，
故g′(t)＝－12t2＋4＝－4(3t2－1).
由g′(t)>0，得－
因为g(－1)＝g(1)＝0，g＝－，g＝，
所以g(t)∈，即f(x)的值域是.故选B.
5．答案：－18
解析：∵f(x)＝x3＋3mx2－nx＋m2，f′(x)＝3x2＋6mx－n，函数f(x)＝x3＋3mx2－nx＋m2在x＝－1时有极值0，
可得即，
解得或，
若时，函数f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，函数无极值，故舍，
所以，所以mn＝－18.
6．答案：3－2ln 2
解析：因为函数f(x)在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上也递增，且m
所以m＋＝ln n，即m＝2ln n－1，
所以n－m＝n－2ln n＋1，e≥n>1，
令h(x)＝x－2ln x＋1(e≥x>1)，
则h′(x)＝1－＝，
当x∈(1，2)时，h′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，
所以h(x)在(1，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，
所以x＝2时，h(x)取得最小值h(2)＝2－2ln 2＋1＝3－2ln 2.
即n－m的最小值是：3－2ln 2.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0
解析：a－c＝－4sin ＝1－×－.不妨设f(x)＝1－x2－＝.令h(x)＝x－x3－sin x，则h′(x)＝1－x2－cos x．令g(x)＝1－x2－cos x，则g′(x)＝－3x＋sin x．当x∈时，sin x＜3x，所以当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减，所以当x∈时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递减．所以当x∈时，h(x)＜h(0)＝0，所以当x∈时，f(x)＜0，所以f＜0，即a＜c.结合四个选项，排除B，C，D.故选A.
3．答案：－3
解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0).
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又f(0)＝1，∴ f(x)在(0，＋∞)上无零点．
②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>，
由f′(x)<0，解得0
又f(x)只有一个零点，∴ f＝－＋1＝0，∴ a＝3.
此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈[－1，1]时，f(x)在[－1，0]上递增，在[0，1]上递减．
又f(1)＝0，f(－1)＝－4，
∴ f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.
4．答案：－
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1).
∵ cos x＋1≥0，
∴ 当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴ 当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴ 当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2×(－)×(1＋)＝－.
5．答案：①④
解析：对于①，令g(x)＝ex·2－x＝.由>1知g(x)在R上是增函数，故f(x)＝2－x具有M性质．对于②，令g(x)＝ex·3－x＝.由0<<1知g(x)在R上是减函数，故f(x)＝3－x不具有M性质．对于③，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex(3x2＋x3)＝x2ex(x＋3).当x∈(－∞，－3)时，函数g(x)是减函数，因此f(x)＝x3不具有M性质．对于④，令g(x)＝ex(x2＋2)，则g′(x)＝ex(x2＋2x＋2)＝ex[(x＋1)2＋1]>0.因此g(x)在R上是增函数，故f(x)＝x2＋2具有M性质．应填①④.
6．答案：
解析：由题意，得f′(x)＝2(ax ln a－ex)，易知f′(x)至少要有两个零点x1和x2.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ax(ln a)2－2e.(1)若a>1，则g′(x)在R上单调递增，此时若g′(x0)＝0，则g(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时若有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x1>x2，不符合题意，舍去．(2)若0
1．解析：(1)当a＝1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ln x，
令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－＝，
当h′(x)<0⇒0
所以f′(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴x＝1为f′(x)的极小值点，且f′(x)≥f′(1)＝1>0，
∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．
(2)问题转化为方程a ln x＝x有两个不相等的实根，
当ln x＝0，即x＝1时，a ln x＝x不成立；
当x>0且x≠1时，a＝，
令φ(x)＝，则y＝a与φ(x)＝的图象有两个交点，
∵φ′(x)＝，
φ′(x)<0⇒0
∴φ(x)在(0，1)，(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
又当x∈(0，1)，φ(x)<0，x∈(1，＋∞)，φ(x)>0，
且φ(x)在(1，＋∞)的最小值为φ(e)＝e，
∴当a>e时，直线y＝a与φ(x)＝的图象有两个交点，
∴实数a的取值范围为(e，＋∞).
2．解析：(1)若a＝0，有f(x)＝，定义域为{x|x≠0},
则f′(x)＝，
f′(x)<0得0
所以f(x)的减区间是(0，3)，增区间是(－∞，0)，.
(2)∵f′(x)＝，
f′(－1)＝0即：8－2a＝0，
∴a＝4，
∴f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∴当x<－1或x>4时，f′(x)>0；当－1
∴f(x)的极大值为f(－1)＝1，f(x)的极小值为f(4)＝－.
又∵当x→－∞ 时，f(x)→0＋，当x→＋∞时，f(x)→0－，
∴f(x)max＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(4)＝－.
点点练10 导数的综合应用
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去).
因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.
所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，
故m≤－20.
2．答案：D
解析：因为f′(x)＝－，
所以当x∈(0，3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
而0<<1
所以f(x)在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点．
3．答案：D
解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，函数单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数单调递减．所以当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a.若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)max≥f(x)min，即a≥－.
4．答案：A
解析：∵f(x)＝f(－x)，当x>0时，f′(x)＝ex2·2x－4x，令f′(x)＝0，则2x(ex2－2)＝0⇒x＝∈(0，1)，且f()＝2－2ln 2>0，∴当x>0时，f(x)>0，且只有一个极值点，∴排除B，C，D.
5．答案：A
解析：对于不等式xf′(x)≤0，
当－
综上，原不等式的解集为∪[0，1]∪[2，3).
故选A.
6．答案：B
解析：由题意知a≤2ln x＋x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，令g(x)＝2ln x＋x＋，则g′(x)＝＋1－＝，
由g′(x)＝0得x＝1或x＝－3(舍)，
且x∈(0，1)时，g′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.
因此g(x)min＝g(1)＝4.所以a≤4.
7．答案：－
解析：∵f(x)周期为2π，∴只需考虑x∈[0，2π]的最小值即可，
f′(x)＝2cos 2x＋2sin x＝2(1－2sin2x)＋2sinx
＝2(1－sin x)(2sin x＋1)
则f(x)在[0，2π]上的单调性如下表：
f(0)＝－2，f＝sin －2cos ＝－，因为－<－2，
所以函数的最小值为－.
8．答案：(0，2－ln 3]
解析：由题意可知，ax－2a>2x－ln x－4，设g(x)＝2x－ln x－4，h(x)＝ax－2a.由g′(x)＝2－＝，可知g(x)＝2x－ln x－4在上为减函数，在上为增函数．
h(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，在同一平面直角坐标系中作出g(x)，h(x)的图象如图所示．
若有且只有两个整数x1，x2，使得h(x1)>g(x1)且h(x2)>g(x2)，则
即解得0
1．答案：D
解析：构造函数f(x)＝x sin x，则f′(x)＝sin x＋x cos x，x∈时，导函数f′(x)≥0，f(x)单调递增；x∈时，导函数f′(x)<0，f(x)单调递减．
∵αsin α－βsin β>0，∴αsin α>βsin β，又f(x)为偶函数，∴|α|>|β|，∴α2>β2.
2．答案：C
解析：当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地需行驶小时，
设耗油量为f(x)升，依题意得
f(x)＝×＝x2＋－8(0
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
所以当x＝90时，函数f(x)取最小值，
即汽车匀速行驶的速度是90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少．
故选C.
3．答案：B
解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝3x2＋2＋cos x>0，∴f(x)在R上单调递增，所以f(a)>f(2a－1)，a>2a－1，解得a<1.
4．答案：A
解析：可求得直线y＝kx－1关于直线y＝－1的对称直线为y＝mx－1(m＝－k)，
当x>0时，f(x)＝x ln x－2x，f′(x)＝ln x－1，当x＝e时，f′(x)＝0，则当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x≤0时，f(x)＝x2＋x，f′(x)＝2x＋，当x＝－，f′(x)＝0，当x<－时，f(x)单调递减，当－
当y＝mx－1与f(x)＝x2＋x(x≤0)相切时，得Δ＝0，解得m＝－；
当y＝mx－1与f(x)＝x ln x－2x(x>0)相切时，满足，
解得x＝1，m＝－1，结合图象可知m∈，即－k∈，k∈.故选A.
5．答案：(－∞，0)
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上为减函数．又f(0)＝1，所以不等式ln [f(x)＋2]－ln 3>x等价于ln [g(x)]>ln [g(0)]，所以g(x)>g(0)，所以x<0，故原不等式的解集为(－∞，0).
6．答案：－1
解析：根据题意，设x0是f(x)＝x ln x＋mx＋1的零点，也是f(x)的极值点，
因为f′(x)＝ln x＋1＋m，
所以，解得x0＝1，m＝－1.
此时f(x)＝x ln x－x＋1，f′(x)＝ln x，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝0，满足条件．
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
2．答案：B
解析：由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，所以即所以a＝b＝－2，则f′(x)＝，所以f′(2)＝＝－.故选B.
3．答案：A
解析：令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
4．答案：D
解析：若a＝b，则f(x)＝a3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.
∴f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点，且在x＝a左右附近是不变号，在x＝b左右附近是变号的．依题意，x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，∴在x＝a左右附近都是小于零的．
当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图所示：
由图可知b
当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如图所示：
由图可知b>a，a>0，故ab>a2.
综上所述，ab>a2成立．
故选D.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)f′(x)＝a－＝，其中x>－1，
若a≤0，f′(x)<0，此时f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
若a>0，由f′(x)>0得x>－1，由f′(x)<0得－1
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题意得ax＋e－x－ln (x＋1)－≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
记g(x)＝ax＋e－x－ln (x＋1)－，x∈(0，＋∞)，
其中g(0)＝0，
g′(x)＝a－e－x－＋，其中g′(0)＝a－1；
g″(x)＝e－x＋－＝.
记h(x)＝(x－1)ex＋(x＋1)3，
因为h′(x)＝xex＋3(x＋1)2>0，x∈(0，＋∞)，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝0，所以g″(x)>0，
所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a≤0，则g(1)＝a＋e－1－ln 2－<0，不符合题意；
若0
所以当x∈(0，－ln a)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，－ln a)上单调递减，
所以当x∈(0，－ln a)时，g(x)
所以g′(x)>g′(0)＝a－1≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)＝0，符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).
2．解析：(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋＝，
x∈(0，1)，f′(x)<0，所以f(x)在x∈(0，1)上单调递减．
x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，所以f(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，
又f(x)min＝f(1)＝4－a，所以先保证必要条件f(1)<0成立，即a>4满足题意．
当a>4时，易知，f＝2a＋＋2ln －a＝a＋＋2ln >0；
f＝＋3a－2ln a－a＝＋2>>0；
由以上可知，当a>4时，f(x)＝x＋＋2ln x－a有两个不同的零点．
(2)由题意，假设0
g(x)＝－2x＋4ln x，
∴g′(x)＝，所以g(x)在(1，＋∞)单调递减．
g(1)＝0，∵x2>1，∴g(x2)
单元检测(三) 导数及其应用
1．答案：B
解析：由f(x)＝x3－f′(2)x2＋x－3，得f′(x)＝x2－2f′(2)x＋1，
令x＝2，则f′(2)＝22－2f′(2)×2＋1，解得f′(2)＝1，故选B.
2．答案：A
解析：因为f(x)＝xex－x2－2x，
所以f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝(x＋1)(ex－2)，
由f′(x)>0可得x>ln 2或x<－1；
由f′(x)<0可得－1
3．答案：C
解析：由f(x)＝x3－27x，得f′(x)＝3x2－27，由f′(x)＝0，得x＝－3或x＝3(舍去)，
当－4≤x≤－3时，f′(x)>0；当－3
所以当x＝－3时，f(x)取得最大值f(－3)＝(－3)3－27×(－3)＝54.
4．答案：D
解析：f(x)＝＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋.
令f′(x)＝－＋＝0，解得x＝2.列表得：
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)在x＝2处取得极小值，f(2)＝1＋ln 2，无极大值．
5．答案：B
解析：因为f(x)＝ex(sin x＋a)，所以f(0)＝e0(sin 0＋a)＝a，
又f′(x)＝ex(sin x＋a＋cos x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋a＋cos 0)＝1＋a，
所以切线方程为y－a＝(1＋a)(x－0)，即y＝(1＋a)x＋a，
所以1＋a＝3，解得a＝2.
故选B.
6．答案：C
解析：当x＝3时，y＝－3＋6＝3，所以f(3)＝3，
因为函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋6，
所以f′(3)＝－1，所以f(3)＋f′(3)＝3＋(－1)＝2.
7．答案：C
解析：若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0或f′(x)＝3x2＋2x＋m≤0恒成立，显然，f′(x)＝3x2＋2x＋m≤0不可能恒成立，即只有f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥.
8．答案：D
解析：因为f(x)＝3x3＋，则
f′(x)＝9x2－＝9x2－＝9x2－，
所以f(－x)＋f(x)＝＝2，
f′(－x)＝f′(x)，因此，f(2 022)＋f′(2 022)＋f(－2 022)－f′(－2 022)＝2.故选D.
9．答案：C
解析：当x＝1时，f(x)＝1≠0，
从而分离参数可将问题转化为直线y＝a与函数g(x)＝－的图象在(1，e2]上有且只有一个交点，
令g′(x)＝＝0，得x＝，
易得g(x)在(1，)上单调递增，在(，e2]上单调递减，由于g()＝－2e，g(e2)＝－，当x→1时，g(x)→－∞，所以直线y＝－2e，或位于y＝－下方的直线满足题意，即a＝－2e或a<－，故选C.
10．答案：B
解析：因为b＝ln 1.01e＝ln 1.01＋1，a＝e0.01，
所以设a，b分别是y＝ex，y＝ln (x＋1)＋1在x＝0.01时所对应的函数值，
设g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
所以x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝0，即ex－1≥x，
同理可证ln (x＋1)≤x，
所以ln (x＋1)≤x≤ex－1.
当x＝0.01时，可得ln 1.01
11．答案：C
解析：不妨设x1>x2>0，
因为对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>0，
所以x1f(x1)>x2f(x2)，
令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x>0时，
A：g(x)＝xe－|x|＝，则g(1)＝，g(2)＝，g(1)>g(2)，不满足g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以选项A错误；
B：g(x)＝x ln |x|＝x ln x，则g＝－
D．f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，f(x)为奇函数，不符合题意f(x)是偶函数，所以选项D错误．
12．答案：D
解析：设过点(a，b)的切线与曲线的切点为，又f′(x)＝，故过点(a，b)的切线方程为：y－＝(x－x0)，则b－＝(a－x0)，整理得：b＝；
令h(x)＝，则h′(x)＝，且当x→＋∞时，h(x)→0，当x→－∞时，h(x)→＋∞；
对A：当0
若过点(a，b)可作两条切线，则b＝或，故A错误；
对B：当a＝2，h′(x)≤0恒成立且不恒为零，故h(x)在R上单调递减，
则当b>0时，有且仅有一条切线，故错误；
对C：a＝0时，h(a)＝0，h(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，2)单调递增，在(2，＋∞)单调递减，且h(2)＝，
故当b＝时，b＝h(x)有两个根，可做两条切线，故C错误；
对D：当a＝0时，由C可知，若要做三条切线，则b＝h(x)有三个根，则h(0)
13．答案：
解析：因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.
14．答案：－
解析：f′(x)＝x－a＋(x>0)，由题可知f′(2)＝2－a＋1＝0，解得a＝3，
所以f′(x)＝x－3＋＝＝，
当f′(x)<0时，得1
所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，f(x)在(1，2)上单调递减，
故f(x)的极大值为f(1)＝－3＋0＝－.
15．答案：
解析：由f(x)＝6ln x＋x2－5x，得f′(x)＝＋x－5＝(x>0)，
由f′(x)＝0时，x＝2或x＝3，
当0
因为q>1，a1，a2是函数f(x)＝6ln x＋x2－5x的极值点，
所以a1＝2，a2＝3，
所以q＝＝，
所以a4＝a1q3＝2×＝.
16．答案：
解析：设函数f(x)在[e，e3]上的零点为m，则a－ln m＋b＝0，
所以P(a，b)在直线l：x＋y－ln m＝0上，
设O为坐标原点，则a2＋b2＝|OP|2，其最小值就是O到直线l的距离的平方，
所以＝|OP|＝，设＝t，
所以g(t)＝，则g′(t)＝，由ln t∈，
当
故a2＋b2≥.
17．解析：(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞).
∵f′(x)＝－＝，∴由f′(x)>0得0
∴f(x)＝1－－ln x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝1－－ln 1＝0.
又f＝1－e－ln ＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f
18．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x＋，f(2)＝，f′(x)＝1－，
所以所求切线的斜率k＝f′(2)＝1－＝.
故所求的切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0.
(2)y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋1－＝＝.
①若a≥0，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
此时，f(x)的极小值点为x＝1.
②若a<0，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝1.
(ⅰ)当－1
所以f(x)在(0，－a)和(1，＋∞)上单调递增，在(－a，1)上单调递减．
此时，f(x)的极小值点为x＝1，极大值点为x＝－a.
(ⅱ)当a＝－1时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值点．
(ⅲ)当a<－1时，－a>1，
若x∈(0，1)∪(－a，＋∞)，则f′(x)>0；若x∈(1，－a)，则f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)和(－a，＋∞)上单调递增，在(1，－a)上单调递减．
此时，f(x)的极小值点为x＝－a，极大值点为x＝1.
19．解析：(1)由题意可知f(x1)＝f(x2)，且f′(x1)＝0，f′(x)＝x2＋2x＋m，
所以
化简并分解因式整理可得2x1＋x2＝－3.
(2)证明：令f(x)＝x3＋x2＋mx＋m＝0，则x3＋x2＝－m(x＋1)，
令h(x)＝x3＋x2，则h′(x)＝x2＋2x，
易知h(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在[－2，0]上单调递减，
h(－2)＝，h(0)＝0.
又直线y＝－m(x＋1)过点(－1，0)，m>0，－m<0，
所以直线y＝－m(x＋1)与h(x)的图象有且只有一个交点，
即x3＋x2＝－m(x＋1)有且只有一个解，
即f(x)＝x3＋x2＋mx＋m有唯一的零点．
20．解析：(1)因为f(x)＝(x＋m)·ex，所以f′(x)＝(x＋m＋1)·ex，
令f′(x)<0得x<－m－1，令f′(x)>0得x>－m－1，
则f(x)的单调递减区间为(－∞，－m－1)，单调递增区间为(－m－1，＋∞)，
因为f(x)在(－∞，1)上存在最小值，所以1>－m－1，即m>－2，
故m的取值范围是(－2，＋∞).
(2)证明：当m＝－1时，由(1)知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－1，即f(x)≥－1，当且仅当x＝0时等号成立，
而y＝cos2x＋2sinx－3＝(1－sin2x)＋2sinx－3＝－(sin x－1)2－1，
当sin x＝1时，y有最大值－1，即cos2x＋2sinx－3≤－1，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时等号成立，
因为f(x)≥－1，cos2x＋2sinx－3≤－1且等号不能同时取得，
所以f(x)>cos2x＋2sinx－3.
21．解析：(1)∵f(x)＝－1，定义域是(0，＋∞)，
∴f(1)＝－1，f′(x)＝，f′(1)＝2e，
故切线方程为y＋1＝2e(x－1)，即2ex－y－2e－1＝0.
(2)由(1)f′(x)＝，
令f′(x)>0，解得0
故f(x)在(0，e)递增，在(e，＋∞)递减；
(3)由(2)得f(x)的极大值是f(e)＝－1＝1，
即f(x)的最大值是f(e)＝1，
∵g(x)＝3x3＋2ax2＋1，∴g′(x)＝9x2＋4ax，
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－，
若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
则x∈[1，e]时，f(x)max≤g(x)min恒成立，
①当－≤1即a≥－时，g(x)在[1，e]上单调递增，
此时g(x)min＝g(1)＝4＋2a，令4＋2a≥1，得a≥－；
②当1<－
令＋1≥1，解得a≥0，不符合题意；
③当－≥e即a≤－时，g(x)在[1，e]递减，
故g(x)min＝g(e)＝3e3＋2ae2＋1，
令3e3＋2ae2＋1≥1，解得a≥－e，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是.
22．解析：(1)f′(x)＝ex－a，
a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上是增函数；
a>0时，x
综上，a≤0时，f(x)在R上是增函数，a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数．
(2)ⅰ.a≤0时，由(1)得f(x)在R上是增函数，f(0)＝0，故f(x)只有一个零点；
ⅱ.a>0时，由(1)得f(x)≥f(ln a)＝a－a ln a－1.
①当ln a＝0⇒a＝1时，f(ln a)＝f(0)＝0，f(x)只有一个零点，符合题意；
②当ln a>0⇒a>1时，f(ln a)
设g(a)＝f(a)＝ea－a2－1，h(a)＝g′(a)＝ea－2a，h′(a)＝ea－2>h′(1)>0，
∴g′(a)在(1，＋∞)单调递增，g′(a)>g′(1)>0，
∴g(a)在(1，＋∞)单调递增，f(a)＝g(a)>g(1)>0，
设m(x)＝x－ln x，由m′(x)＝1－知，当x∈(0，1)，m′(x)<0，m(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)，m′(x)>0，m(x)单调递增，
∴m(x)＝x－ln x≥m(1)＝1⇒x>ln x，即a>ln a，
故f(x)在(ln a，＋∞)有一个零点，不合题意；
③当ln a<0⇒0
故f(x)在(－∞，ln a)有一个零点，不合题意．
综上，a的取值范围是(－∞，0]∪{1}．
第四单元 三角函数、解三角形
点点练11 三角函数概念、同角三角函数基本关系及诱导公式
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：若60°的圆心角所对的弦长为2，则可得半径为2，
所以这个圆心角所夹的扇形的面积为××22＝.故选A.
2．答案：B
解析：sin 1 485°＝sin (4×360°＋45°)＝sin 45°＝.
3．答案：C
解析：由角α的终边经过点P(1，3)，则tan α＝3，
故＝＝＝2，故选C.
4．答案：D
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴sin αcos α＝.
∴tan α＋＝＋＝＝2.
5．答案：C
解析：α，β∈，sin α＝，cos (α＋β)＝－，故cos α＝，
α＋β∈(0，π)，sin (α＋β)＝，
故cos β＝cos ＝cos cos α＋sin sin α
＝－×＋×＝.故选C.
6．答案：A
解析：设α－＝θ∈，则由sin 2α＝可得sin 2(θ＋)＝，即cos 2θ＝，故＝，＝，解得tan2θ＝.
又θ∈，故tanθ＝，即tan ＝.故选A.
7．答案：－
解析：由已知得tan α＝，所以＝＝－.
8．答案：
解析：sin ＝－sin ＝，所以sin ＝－，
所以sin 2α＝cos ＝cos ＝1－2sin 2(－α)＝1－2×2＝.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：α的终边与单位圆交于点P，
故r＝|OP|＝1，x＝－，y＝，
故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以sin α·cos α＝·＝－，故选B.
2．答案：D
解析：因为tan ＝3，所以＝3，解得tan α＝，
则＝＝＝3，故选D.
3．答案：A
解析：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角的弧度数为α，由题意得＝，变形可得＝＝＋1，因为l＝αr，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为＋1.
4．答案：B
解析：①中，当角α的终边经过第三象限时，sin α＝－，故①错误；②中，同时满足sin α＝，cos α＝的角α为2kπ＋(k∈Z)，有无数个，故②正确；③中，易得cos α＝－，sin α＝－，故③正确；④中，∵cos (sin θ)·tan (cos θ)>0，cos (sin θ)>0恒成立，∴tan (cos θ)>0，即0
解析：由诱导公式可知，sin ＝sin ＝cos ＝cos ，
因为cos ＝，所以sin ＝cos ＝2cos 2－1＝－.
6．答案：
解析：sin ＝sin ＝sin ＝－cos ，
所以＝＝＝＝＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝2＋.
2．答案：D
解析：方法一 ∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零．
方法二 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin α cos α<0.
3．答案：B
解析：由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tanα＝±，即＝±，
∴|a－b|＝.
4．答案：C
解析：方法一 设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1.排除A，B.设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，即tan β＝1.排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝·sin (α＋β＋)＝sin [(α＋)＋β]＝sin (α＋)·cos β＋cos (α＋)sin β＝2cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β＝cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β－cos (α＋)sin β＝0，即sin (α＋－β)＝0.所以sin (α－β＋)＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cos (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
方法三 因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2·cos (α＋)sin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β(cos α－sin α)＝2sin βcos α－2sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝－sin αcos β＋sin βcos α，所以cos (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
5．答案：－
解析：⇒⇒(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1⇒1－2sin α＋sin2α＋cos2α＝1⇒sinα＝.∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α(1－sin α)＋cos α(－cos α)＝sin α－sin2α－cos2α＝sinα－1＝－.
6．答案：
解析：cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α).
又由α∈(0，)，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，
∴ cos (α－)＝×(＋)＝.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)∵sin α＋cos α＝－，
∴2＝，即1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.
(2)∵2＝1－2sin αcos α＝，
又∵α∈，∴sin α>0，cos α<0，
则sin α＋cos (π－α)＝sin α－cos α＝.
2．解析：(1)因为cos ＝cos ＝－sin θ，
sin ＝sin ＝cos θ，
所以
＝＝－＝－tan θ＝2，
即tan θ＝－2，
所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝＝＝－.
(2)因为α，β∈，且sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝＝，cos β＝＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
点点练12 三角函数的图象
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数y＝sin ＝sin 的图象．
2．答案：D
解析：∵f(x)＝cos (πx＋φ)的图象过点(0，)，∴＝cos φ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos ＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.
∴f(3x0)＝f(5)＝cos ＝－.
3．答案：D
解析：根据图象可知，函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，则ω＝2，当x＝×＝时，函数取得最大值，所以sin ＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z，又－<φ<，所以φ＝.
4．答案：A
解析：由图知2×
解析：函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y＝cos ＝cos ，其图象与函数y＝sin ωx＝cos ，k∈Z的图象重合，∴－＋2kπ＝－＋，k∈Z，∴ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，∴ω的最小值为.
6．答案：B
解析：当正弦值等于余弦值时，正弦值为±.由题意，得等边三角形的高为，边长为2××＝，且边长为函数y＝sin ωx的最小正周期，故＝，解得ω＝.
7．答案：f(x)＝2sin
解析：由函数的图象，可得T＝－＝，即可得T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝A sin (2x＋φ)，
又由＝，可得f＝A sin ＝－A，
即sin ＝－1，且0<φ<，可得＋φ＝，解得φ＝，
又由f(0)＝A sin φ＝1，即A sin ＝1，解得A＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝2sin .
8．答案：
解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin ≤1，故f(x)∈.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：将函数f(x)＝sin 的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y＝sin ＝sin 的图象，所以y＝sin 的图象与g(x)＝cos 2x的图象重合．
因为g(x)＝cos 2x＝sin ，所以2a－＝2kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可得amin＝.
2．答案：A
解析：由图象可知，×＝－，所以ω＝2，
又f(x)过点，所以A＝2，且f＝2sin ＝－2，即sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .故选A.
3．答案：B
解析：因为f(x)＝2sin 向右平移个单位，得到函数y＝g(x)，
所以g(x)＝2sin ＝2sin ωx，
令t＝ωx，则y＝2sin t在，k∈Z上单调递增，
因为g(x)在上为增函数，故由0≤x≤，ω>0，得0≤ωx≤ω，即0≤t≤ω，
所以y＝2sin t在上为增函数，故⊆，即，
解得，
故－
所以0<ω≤，即ω∈.故选B.
4．答案：B
解析：由题中图象可知A＝2，且△BOC为直角三角形，所以|OC|＝＝，则f(0)＝－，则sin φ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin .又点B为“五点作图法”中的第三个点，所以ω－＝π，所以ω＝，于是f(x)＝2sin .由x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2k＋(k∈Z)，所以函数y＝f(x)的图象在(0，3)内的对称轴为直线x＝，则由题意知x1＋x2＝3，所以f(x1＋x2)＝f(3)＝2sin ＝－2cos ＝－.
5．答案：
解析：由题意，令ωx＋＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴，解得≤ω<4，
令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴－＋≤x≤＋，k∈Z，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴⊆，
∴，解得0<ω≤，
综上，ω的取值范围是≤ω≤.
6．答案：(答案不唯一)
解析：由已知得S△MBC＝×2×BC＝BC＝π，所以最小正周期T＝2π＝，ω＝1.由f(0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝.因为0<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin .令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z.
故y＝f(x)图象的对称中心是，k∈Z.
不妨取k＝－1，则y＝f(x)图象的一个对称中心是.
(本题答案不唯一，填，，，…均可)
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：方法一 设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－且>－(－π)，所以
2．答案：C
解析：因为f(x)＝sin ，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以解得＜ω≤.当ωx＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－＋(k∈Z)时，f(x)＝0.又因为f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，所以解得＜ω≤.综上可得，ω的取值范围是.故选C.
3．答案：B
解析：依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f(x)＝sin 的图象．
4．答案：C
解析：(通解)将函数f(x)＝sin (ωx＋)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin (ωx＋ω＋)的图象．由所得图象关于y轴对称，得ω＋＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以令k＝0，得ω的最小值为.故选C.
(快解)由曲线C关于y轴对称，可得函数f(x)＝sin (ωx＋)的图象关于直线x＝对称，所以f()＝sin (＋)＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.
5．答案：－
解析：方法一(五点作图法) 由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f(x)＝2cos ，
所以f＝2cos ＝－.
方法二(代点法) 由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点在函数f(x)的图象上，所以2cos ＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
方法三(平移法) 由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移－＝个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos 2＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
6．答案：x＝－
解析：将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin ＝3sin 的图象，由2x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程为x＝－.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
A sin (ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin .
(2)由(1)知f(x)＝5sin ，得g(x)＝5sin .
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，
解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
2．解析：(1)设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知
A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin (2x＋φ)，
又过点，
由0＝sin 可得＋φ＝2kπ(k∈Z)，
则φ＝2kπ－(k∈Z)，因为|φ|<，
所以φ＝－，
故函数f(x)的解析式为
f(x)＝sin .
(2)根据条件得g(x)＝sin ，
当x∈时，4x＋∈，
所以当x＝时，g(x)取得最小值，
且g(x)min＝.
点点练13 三角函数的性质
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：∵y＝cos |2x|＝cos 2x，∴T＝＝π；y＝|cos x|图象是将y＝cos x在x轴下方的图象对称翻折到x轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，y＝cos 周期为π，y＝tan 周期为.
2．答案：B
解析：对于A，y＝sin ＝cos 2x，是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝cos ＝－sin 2x，是奇函数，最小正周期T＝＝π，符合题意；
对于C和D，y＝sin 和y＝sin 都是非奇非偶函数，不符合题意．
3．答案：C
解析：f(x)＝2cos22x＝cos4x＋1，令4x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
当k＝－1时，x＝－，即f(x)图象的一个对称中心为.
4．答案：B
解析：因为0≤x≤5，则－≤x－≤，∴－1≤sin ≤1，－2≤2sin ≤2，∴f(x)max＋f(x)min＝0.
5．答案：B
解析：对于A，函数的最小正周期T＝＝4π，故A不符合题意；
对于B，函数的最小正周期T＝＝π，
当x∈，2x－∈，所以函数在区间上是增函数，故B符合题意；
对于C，函数的最小正周期T＝＝π，
当x∈，2x＋∈，所以函数在区间上是减函数，故C不符合题意；
对于D，函数的最小正周期T＝＝π，
当x∈，2x－∈，所以函数在区间上不具有单调性，故D不符合题意．故选B.
6．答案：D
解析：将函数f(x)＝sin 的图象向右平移，可得函数y＝sin ＝sin 的图象；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin 的图象．
7．答案：，k∈Z
解析：因为函数y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
所以2kπ－π≤x－≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝cos 的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
8．答案：
解析：由y＝cos (2x＋φ)的图象关于点对称，可得＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，故|φ|的最小值为.
二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：函数y＝sin |x|的图象如图所示
由图可知，函数y＝sin 不是周期函数，
f＝＝＝＝f(x)，则函数y＝|sin x|的最小正周期为π；
y＝tan 的周期为T＝＝π，y＝cos 的周期为T＝＝π.
故选C.
2．答案：A
解析：函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为
y＝3sin ＝3sin ，
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋，k∈Z.令k＝0，则x＝，
即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.
3．答案：B
解析：由命题甲：该函数的最大值为，可得A＝；
由命题乙：由y＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，可知A＝，ω＝2；
由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，
可得ω＝1，
所以命题乙和命题丙矛盾；
若假命题是乙，则f(x)＝sin (x＋φ)，
由命题丁：该函数图象的一个对称中心为，可得f＝sin ＝0，
因为0<φ<，可得φ＝，符合题意；
若假命题是丙，则f(x)＝sin (2x＋φ)，
由命题丁：该函数图象的一个对称中心为，可得f＝sin ＝0，
可得φ＝kπ－，k∈Z，不满足条件0<φ<，所以假命题是乙．
4．答案：
解析：由题意，y＝sin 是一个偶函数，
∴＋φ＝＋kπ，(k∈Z)，则φ＝＋kπ，(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝.
5．答案：C
解析：因为f(x)＝2cos 2－1＝cos ，所以f(x)的最小正周期为＝.
对于①，因为＝2，故f，f(x2)分别为最大、最小值，由于min＝π，所以f(x)的最小正周期T＝2π，所以＝2π⇒ω＝.故①错误；
对于②，图象变换后所得函数为y＝cos ，
若其图象关于原点对称，则－＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋k，k∈Z，
当k＝－1时，ω＝∈(0，1)，故②正确；
对于③，当x∈时，2ωx－∈，因为f(x)在上有且仅有4个零点，所以≤2πω－<，解得≤ω<，故③正确；
对于④，当x∈时，2ωx－∈，
因为ω∈(0，1)，所以－－∈，－∈，
所以f(x)在上单调递增．故④正确．综上，正确的个数为3.
故选C.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为
，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－
则⊆，⊄，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为，
⊄且⊄，⊄，CD选项均不满足条件．
2．答案：C
解析：因为函数f(x)＝sin ＋cos ＝(sin ＋cos )＝(sin cos ＋cos sin )＝sin (＋)，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
3．答案：B
解析：f(x)＝sin 的最小正周期为2π，①正确；sin ＝1＝f为f(x)的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)＝sin 的图象，③正确．
4．答案：A
解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－＋k，k∈Z.令2＜－＋k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin (＋)＋2＝1.故选A.
5．答案：
解析：∵f(x)＝sin22x＝，∴f(x)的最小正周期T＝＝.
6．答案：3
解析：因为T＝，ω>0，所以ω＝.由f(T)＝，得cos (2π＋φ)＝，即cos φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.因为x＝为f(x)的零点，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又因为ω>0，所以ω的最小值为3.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)∵图象经过M，∴＝sin φ，|φ|<，∴φ＝，
∵函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴＝，∴ω＝4，
则f(x)＝sin .
(2)设g(x)＝sin ＝sin ，
∵g(x)是偶函数，∴4m＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴m＝＋(k∈Z)，
∵m为正实数，∴mmin＝.
2．解析：(1)f(x)＝4cos x(sin x＋cos x)－1＝2sin x cos x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos 2x＝2sin .
所以，函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
所以，f(x)的单调增区间是，减区间是，k∈Z；
(2)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
2sin
0
2
0
－2
0
作出函数图象如图：
(3)因为x∈，
所以2x＋∈，
所以，当2x＋＝－时，f(x)取得最小值－1，当2x＋＝时，f(x)取得最大值2.
点点练14 三角恒等变换
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：＝tan 45°＝1.
2．答案：C
解析：∵2α＝2＋，
∴tan 2α＝tan ＝
＝－＝－＝－
＝＝.故选C.
3．答案：D
解析：因为α∈，2α∈(0，π)，cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝＝.而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝.所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×＋×＝.
4．答案：D
解析：因为2α－＋2＝，所以2α－＝－2，
则sin ＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
故选D.
5．答案：B
解析：由题意，得tanα＝－2，从而tan (π－2α)＝－tan 2α＝－＝－＝－.
6．答案：B
解析：因为sin＝，
所以cos ＝cos 2＝1－2sin 2＝，
所以cos ＝cos ＝－.故选B.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝＝＝－1.
2．答案：A
解析：因为π<θ<π，<θ＋<2π，
所以sin <0，
因为cos ＝，所以sin ＝－
所以，sin θ＝sin ＝－×－×＝－，
cos θ＝cos ＝×－×＝，tan θ＝－7，
所以，＝
＝＝＝.
故选A.
3．答案：D
解析：＝＝－(cos θ＋sin θ)＝－，
故cos θ＋sin θ＝，又因为θ∈，且cos2θ＋sin2θ＝1.
故cosθ＝，sin θ＝或cos θ＝，sin θ＝，则tan θ＝或，
故tan 2θ＝＝±.
4．答案：D
解析：f(x)＝2sinx cos x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin ，令x＝π，则2x－＝π，故f＝≠0，故A项错误；
当x∈时，2x－∈，f(x)＝2sin ∈[1，2]，故B项错误，
因为f(x)的周期T＝＝π，所以若f(x1)＝f(x2)＝2，则x1－x2＝kπ，k∈Z，故C项错误，
将f(x)的图象向右平移个单位得g(x)＝f＝2sin ＝－2cos 2x的图象，故D项正确．
5．答案：－
解析：由诱导公式可知，sin ＝sin
＝cos ＝cos ，
因为cos ＝，
所以sin ＝cos ＝2cos 2－1＝－.
6．答案：
解析：因为α是锐角，所以α＋∈，
又cos ＝－<0，所以α＋∈，
所以sin ＝ ＝＝，
所以sin α＝sin
＝sin cos －cos sin
＝×－×＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：将式子进行齐次化处理得：
＝
＝sin θ＝＝＝＝.
2．答案：D
解析：通解 因为cos ＝sin (－)＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝.
优解 设cos2－cos2＝a，sin2－sin2＝b，则a＋b＝(cos2＋sin2)－(cos2＋sin2)＝1－1＝0 ①，a－b＝(cos2－sin2)－(cos2－sin2)＝cos(2×)－cos (2×)＝cos －cos ＝2cos ＝ ②，所以根据①＋②可得2a＝，即a＝，即cos2－cos2＝.
光速解 因为cos＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝()2－()2＝.
3．答案：A
解析：因为tan2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
4．答案：A
解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cos α＝－或cos α＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝.
5．答案：－
解析：方法一 因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由sin2θ＋cos2θ＝1可知，sin2θ＝，cos2θ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，tan＝＝＝.
方法二 因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，tan＝＝＝.
6．答案：
解析：因为sin2＝，所以＝，＝，得sin 2α＝.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)原式＝
＝
＝＝＝cos 2α.
(2)原式＝[2sin 50°＋sin 10°]·sin 80°
＝·sin 80°
＝·sin 80°
＝·sin 80°
＝·cos 10°＝.
2．解析：(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin ，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin 的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin .
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)＝2sin ，
即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos ＝2cos ＝，
得cos ＝，
又α∈，故<α＋<，
所以sin ＝，
所以sin α＝sin
＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
点点练15 解三角形及其应用
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin 2A，
∴sin (B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
2．答案：C
解析：因为a＝4，A＝，B＝，由正弦定理，得b＝＝2.故选C.
3．答案：C
解析：因为a＝2b sin ，由正弦定理可得，
sin A＝2sin B sin ，sin A＝2sin B sin A，
sin B＝，且B∈(0，π)，△ABC为锐角三角形，则B＝.故选C.
4．答案：C
解析：因为a＝，B＝30°，S△ABC＝，
所以S△ABC＝ac sin B＝××c×＝，解得c＝4.
由余弦定理得：b＝
＝ ＝.
由正弦定理得：2R＝＝＝2.故选C.
5．答案：B
解析：设所求楼高为x，由三角形相似可得＝，整理可得x＝.故选B.
6．答案：A
解析：如图所示：
由平面相似可知，＝，＝，而DE＝FG，
所以＝＝＝＝，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．
7．答案：100
解析：设此山高h(m)，则BC＝h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝600(m).
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
即＝，解得h＝100(m).
8．答案：
解析：因为tan A tan B＝＝1，
所以cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝0，即cos C＝0.
又因为0
即a＝sin A，b＝sin B＝sin ＝cos A，
所以S△ABC＝ab＝sin A cos A＝sin 2A，
当A＝时，S△ABC取得最大值为.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：由题意，得2bc cos A＝2c2－ac，于是b2＋c2－a2＝2c2－ac，即c2＋a2－b2＝ac.从而由余弦定理可得cos B＝＝.又B∈(0，π)，所以B＝60°.因为S△ABC＝ac sin B＝ac＝，即ac＝4.又a＋c＝4，所以a＝c＝2，即△ABC为等边三角形，所以△ABC的周长为6.
2．答案：A
解析：因为＝，且cos C＝，
所以＝，且＝＝，
所以＝＝，
又因为sin (A＋B)＝sin C≠0，所以cos C＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝，
又因为c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32＝1，
当且仅当a＝b＝1时取等号，故c的最小值为1.
故选A.
3．答案：D
解析：根据题意，△P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，△CDP1中已知DP1，而△CDP2中已知DP2，
若选条件①，则△CDP1中已知两角一边，CD可以求；
若选条件②，由正弦定理可以求出CP2及∠CP2P1，所以∠CP2D可以求出，则在△CDP2中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.
若选条件③，则在△CDP1中已知两角及一边，用正弦定理即可求出CD.故选D.
4．答案：B
解析：因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.
又b＝3c，所以＝＝＝＝3.
因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.
因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以16×7＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.
方法一 在△ABD中，由正弦定理可知＝，
即＝，所以sin ∠ADB＝.
因为b＝3c>c，所以B>C.
因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，
所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，
所以cos ∠ADB＝＝.
方法二 由余弦定理可得cos ∠BAD＝，即＝，
所以AD2－4AD＋9＝0，所以(AD－)(AD－3)＝0，
所以AD＝3或AD＝.因为b＝3c>c，所以B>C.
又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，
所以AD>BD＝，所以AD＝3.
所以cos ∠ADB＝＝＝.
5．答案：2
解析：在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝4＋4－2×2×2cos B＝8－8cos B，
在△ACD中，由余弦定理知AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos D＝4＋9－2×2×3cos D＝13－12cos D，
所以8－8cos B＝13－12cos D，即3cos D－2cos B＝.
可得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC sin B＋AD·CD sin D＝2sin B＋3sin D，
令M＝3cos D－2cos B＝，N＝3sin D＋2sin B，
则M2＋N2＝9＋4－2×3×2(cos B cos D－sin B sin D)＝13－12cos (B＋D)≤25，等号成立时B＋D＝π，
所以N2≤25－＝，
所以四边形ABCD面积的最大值为.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：由cos C＝得＝，
∴AB＝3，∴cos B＝＝＝.
2．答案：A
解析：∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．答案：A
解析：由正弦定理及a sin A－b sin B＝4c sin C得a2－b2＝4c2，由余弦定理可得cos A＝＝＝－.所以＝6.
4．答案：C
解析：∵ S＝absin C＝＝＝abcos C，∴ sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵ C∈(0，π)，∴ C＝.
5．答案：2
解析：由题意得S△ABC＝ac sin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
6．答案：－1
解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1，).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝＝，AB＝＝，所以＝.令f(x)＝，x＞0，
则f′(x)＝
＝＝．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1.当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，－1)上单调递减；当x＞－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝－1时，f(x)取得最小值，即取得最小值，此时BD＝－1.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)在△BCD中，∵cos ∠CBD＝－，∴sin ∠CBD＝＝，
利用正弦定理得：＝，
∴sin ∠BDC＝＝＝，
又∵∠CBD为钝角，∴∠BDC为锐角，∴∠BDC＝.
(2)在△BCD中，由余弦定理得cos ∠CBD＝＝＝－，
解得：BD＝4或BD＝－5(舍去)，
在△ABD中，∠A＝，设AB＝x，AD＝y，
由余弦定理得cos A＝＝＝，即x2＋y2－16＝xy，
整理得：(x＋y)2－16＝3xy，又x>0，y>0，
利用基本不等式得：(x＋y)2－16＝3xy≤，即≤16，
即(x＋y)2≤64，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即(x＋y)max＝8，
所以(AB＋AD＋BD)max＝8＋4＝12.
所以△ABD周长的最大值为12.
2．解析：(1)因为(1＋sin B＋cos B)＝cos ，
所以＝2cos ·＝cos ，
即2cos cos B＝cos ，
因为B∈(0，π)，则cos ≠0，
所以cos B＝，即B＝.
(2)连接AC，设AD＝x，CD＝y，
因为AB＝2，BC＝3，∠ADC＝120°，
所以在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝7，即AC＝，
在△ACD中由余弦定理得x2＋y2－2xy cos ∠ADC＝7，即x2＋y2＋xy＝7，
故7－xy＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时，不等式取等号，
从而xy≤，故凹四边形ABCD的面积S＝S△ABC－S△ADC＝×2×3×sin 60°－xy sin 120°＝－xy≥，
从而四边形ABCD面积的最小值是.
单元检测(四) 三角函数、解三角形
1．答案：B
解析：
∵b＝12，A＝30°，
∴C到AB的距离h＝b sin A＝6，
∴当a<6时，三角形无解，
当a＝6时，三角形有一解，
当6
2．答案：A
解析：因为sin α＝2sin ＝－2cos α，
所以tan α＝－2，
所以cos 2α＝＝＝＝－.
3．答案：C
解析：∵余弦函数y＝cosx在区间(0，π)上单调递减，且0
因此，“cos A
故选C.
4．答案：C
解析：因为△ABC的面积为2，A＝，故S△ABC＝bc sin A＝2，
即bc＝8，由于a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－8，b＋c＝2a，
故a2＝(b＋c)2－2bc－8＝(2a)2－24，故a＝2，
所以b＋c＝4，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6，故选C.
5．答案：A
解析：由题可知9cos 2α＋6cos α＋5＝0，即9cos2α＋3cosα－2＝0，
∴(3cos α－1)(3cos α＋2)＝0，
∵α∈，∴cos α＝，∴sin α＝±＝±.
6．答案：A
解析：由图象知，A＝1，T＝4×＝π，又f＝－1，－＝，所以f＝1.
7．答案：B
解析：＋＝，化简得＋＝.
由正弦定理、余弦定理，得＋＝，化简得a＝，
由sin (C－B)＝sin A＝sin (C＋B)，展开整理得sin C cos B＝3sin B cos C，
则c·＝3b·，即2＝a2＝3，
所以c2－b2＝.
故选B.
8．答案：B
解析：由x∈知，ωx－∈，在区间上单调递增，应满足：
，k∈Z，
解得，又ω>0，易知k只能取0，
解得ω∈.
9．答案：A
解析：设∠ACD＝∠BCD＝α，AD＝x，则BD＝－x，
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
两式相除，得＝，即＝，所以＝，
在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，
又因为sin 3B＝sin (B＋2B)＝sin B cos 2B＋cos B sin 2B＝sin B(1－2sin2B)＋cosB·2sin B cos B＝3sin B－4sin3B，
所以＝，化简得24cos2B－7cosB－6＝0，
解得cos B＝或cos B＝－(舍)，代入＝得x＝1，即AD＝1.
10．答案：D
解析：由·＝－，得ab cos C＝－.又a＝2b＝2，故cos C＝－，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋1－2×2×1×＝6，故c＝.故选D.
11．答案：C
解析：根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝9，
则AB＝3.
故选C.
12．答案：C
解析：由2c cos B＋b cos A＝a cos (A＋C)得：2sin C cos B＋sin B cos A＝－sin A cos B，
∴2sin C cos B＝－sin (A＋B)＝－sin C，而sin C≠0，
∴cos B＝－，
由＝2，有－＝2(－)，即＝＋，
∴2＝＝2＋2＋||·||cos B＝＋－＝，
∴||＝.
13．答案：
解析：由＋＝r，整理得cos A sin C＋sin A cos C＝r sin A sin C，
即sin (A＋C)＝r sin A sin C，
因为A＋B＋C＝π，可得sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
所以sin B＝r sin A sin C
由正弦定理可得，＝＝＝2r，可得b＝ac，
因为b＝2，所以ac＝4，且a＋c＝3，
又由余弦定理可得cos B＝＝＝＝，
则sin B＝＝＝，
所以S△ABC＝ac sinB＝×4×＝.
14．答案：
解析：因为cos 2x＝cos 10x(x≥0)，
则有10x＝2x＋2kπ或10x＋2x＝2nπ，(k，n∈N)，
解得x＝kπ或x＝，(k，n∈N)，
又函数y＝cos 2x(x≥0)和函数y＝cos 10x(x≥0)的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，
所以x＝0，，，，，，…，
故x3＝，x4＝，
所以tan (x3－α)＝cos x4，即tan ＝cos ，
则＝，解得tan α＝，
故sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.
15．答案：5
解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
∴f＝2sin ＝0，
∴－ω＋φ＝kπ，k∈Z①；
又f＝f，
∴x＝是f(x)图象的对称轴，
∴ω＋φ＝k′π＋，k′∈Z②；
由①②得，φ＝(k＋k′)＋，k，k′∈Z，
∴取φ＝，且ω＝－4k＋1，k∈Z；
∴f(x)＝2sin 的最小正周期为T＝；
又f(x)在上单调，
∴－≤，即≤，
解得ω≤6；
综上，ω的最大值为5.
16．答案：
解析：由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×ab sin C＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2ab cos C＋2ab，化简得3sin C＝2cos C＋2，结合sin2C＋cos2C＝1，解得sinC＝，cos C＝，所以tan C＝.
17．解析：(1)∵sin α＝4sin2－2，
∴sinα＝4－2＝－2cos α，
∴tan α＝－2，
∴＝
＝＝sin α(sin α－cos α)
＝＝＝.
(2)∵tan2β＋6tanβ－1＝0，∴tan 2β＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝＝－1，
又∵α∈(0，π)，β∈，tan 2β＝>0，
∴2β∈，α＋2β∈，∴α＋2β＝.
18．解析：(1)由函数f(x)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，可知函数f(x) 的最小正周期T＝4×＝π，所以ω＝＝2.
又函数f(x)图象上有一个最低点M，所以A＝3，2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝2kπ＋(k∈Z).
由|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝3sin .
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).(利用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的单调递增区间)
又x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为，.
19．解析：(1)由＝得(a－c)(sin A＋sin C)＝(b＋c)sin B，
由正弦定理得(a－c)(a＋c)＝(b＋c)b，即a2－c2＝b2＋bc，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得cos A＝－，
由于0
根据正弦定理，在△CAD中，＝，
在△BAD中，＝，
又∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC，
又BD＝3CD，所以b＝c，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝＋c2－2××＝c2，
则a＝c，所以cos C＝＝.
20．解析：选①
(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b＝11－a，c＝7，
得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×，
∴a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.
由正弦定理＝，得sin C＝＝＝，
由(1)知b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6.
选②
(1)∵cos A＝，∴A∈，sin A＝.
∵cos B＝，∴B∈，sin B＝.
由正弦定理＝，
得＝，∴a＝6.
(2)sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.
∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.
∴S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝.
21．解析：(1)因为sin2B－sin2C＝sinA sin C，由正弦定理得b2－c2＝ac，
由cos B＝＝，
得2sin C cos B＝sin A－sin C.
所以2sin C·cos B＝sin (B＋C)－sin C，
所以sin C＝sin B cos C－cos B sin C＝sin (B－C)，
所以C＝B－C或C＝π－(B－C)(舍去)，
所以B＝2C.
(2)由条件得解得0
所以b＝＝＝.
所以△ABC的面积S＝ab sin C
＝2·
＝2·
＝2·＝＝，
因为0
所以0<<，所以0<<，
所以0
即＝，而OB＝1，所以AB＝，
由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos α＝4＋1－2×2×1·cos α＝5－4cos α，所以AB＝，所以＝，所以sin β＝(0<α<π).
(2)因为AB＝AC，所以OC2＝OA2＋AC2－2OA·AC·cos ＝4＋5－4cos α＋2×2×·sin β＝9－4cos α＋4sin α＝9＋4sin ≤9＋4，所以OC的最大值为2＋1.
故当α＝时，OC最长，为(2＋1) km.
第五单元 平面向量
点点练16 平面向量的概念及线性运算
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：选项A中单位向量方向可以不同，故a＝b不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成平行四边形；
选项C中当b＝0时，a、c为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量．故选D.
2．答案：B
解析：若∥，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，
若AB∥CD，则∥，
故“向量∥”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件．
故选B.
3．答案：B
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故选B.
4．答案：D
解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.
5．答案：B
解析：∵O为BC的中点，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.
6．答案：C
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且＝2，所以＝－，所以＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－.
7．答案：①②③④⑤⑥
解析：对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．
对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．
对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．
对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．
对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.
对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.
8．答案：4
解析：
∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O为CD的中点．又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.
二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：设E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，由于O是三角形ABC的重心，所以＝＝×(－)＝×＝－＋.
2．答案：A
解析：因为A、B、D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，＝＋＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，∴，解得m＝3.
3．答案：C
解析：由题意＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)·2＋λ·＝(2－2λ)＋λ，
因为F，P，C三点共线，所以2－2λ＋λ＝1，解得λ＝.故选C.
4．答案：D
解析：因为＝，所以3＝，
又因为＝m＋，所以＝m＋，
又因为B，P，N三点共线，所以＝λ(λ≠0)，
即－＝λ(－)(λ≠0)，所以＝λ＋(1－λ)(λ≠0)，
所以，解得m＝.故选D.
5．答案：②③
解析：①两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，故①为假命题．②因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝，故②为真命题．③因为a＝b，所以a，b的模相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的模相等且方向相同，所以a，c的模相等且方向相同，故a＝c，则③为真命题．④当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故④是假命题．
6．答案：
解析：连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝a，
则＝＋＝＋，
又＝＝r，(r>0)，则＝，＝，
故＝＋，即＝＋.
若B、M、N三点共线，由共线定理知，＋＝1，解得r＝或－(舍).
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：由向量加法的平行四边形法则可知|a＋b|与|a－b|为以a，b为邻边的平行四边形的对角线，因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形为矩形，故a⊥b.
2．答案：A
解析：作出示意图如图所示．
＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.
3．答案：A
解析：∵＝3，∴－＝3(－).
整理，得3＝－＋4，∴＝－＋.
4．答案：A
解析：设圆C的半径为r.如图，建立平面直角坐标系．
在Rt△BCD中，BD＝，
BD·r＝BC·CD，∴r＝.
∴圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝.
令α∈[0，2π)，
则x＝2＋cos α，y＝1＋sin α，
则圆上任一点P(2＋cos α，1＋sin α).由＝λ＋μ，
得(2＋cos α，1＋sin α)＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，
∴可得
∴λ＋μ＝(sin α＋1)＋(cos α＋1)＝sin α＋cos α＋2
＝sin (α＋φ)＋2＝sin (α＋φ)＋2.
∵sin (α＋φ)的最大值为1，∴λ＋μ的最大值为3.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，
∴＝＋＝2a＋8b＋3
＝2a＋8b＋3a－3b＝5＝5，
∴，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴a＝b.
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0
∴k2－1＝0，∴k＝±1.
2．解析：
因为tan ∠AOB＝－，所以sin ∠AOB＝，如图所示，过点C作CD∥OB，交OA的延长线于点D，作CE∥OA，交OB的延长线于点E.所以在△OCD中，∠OCD＝45°，sin ∠ODC＝sin (180°－∠AOB)＝，所以由正弦定理得＝，即＝，解得OD＝＝m.由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°，即＝2＋n2－2n cos 45°，解得n＝或.当n＝时，cos ∠CDO<0，∠CDO为钝角，与∠EOD为钝角矛盾，故n＝，所以＝.
点点练17 平面向量基本定理及坐标表示
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).由＝3a，得解得
2．答案：A
解析：＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
3．答案：D
解析：由题意，＝λ＋(1－λ)且0<λ<1，而＝3＝3(＋)，
所以3＋3＝λ＋(1－λ)，即＝＋，
由已知，，则m＋n＝－.
故选D.
4．答案：C
解析：由题意，得a＋b＝，a＋c＝，
因为∥，所以30x＝6x＋24，解得x＝1，
则c＝ma＋nb＝＋＝(m＋2n，3m＋2n)＝，
即，解得，故m＋n＝3.
故选C.
5．答案：D
解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
6．答案：A
解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
7．答案：－
解析：由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1).∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.
8．答案：
解析：选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，
于是得解得所以λ＋μ＝.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e1＋e2.
2．答案：A
解析：方法一 由题意可得ma＋2b＝，3a－2b＝.∵向量ma＋2b(m∈R)与向量3a－2b共线，
∴－×＝×，解得m＝－3.
方法二 ∵向量ma＋2b(m∈R)与向量3a－2b共线，设ma＋2b＝λ(3a－2b)(λ∈R)，∴∴
3．答案：D
解析：方法一 依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.
方法二 ∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，
∴0<－3x<1，∴－
解析：由条件可知c＝，
则＝＝
＝ ，当λ＝时，min＝.
故选B.
5．答案：
解析：由M为边BC上任意一点，则＝γ(0≤γ≤1)，
＝＝＝＝＋＝ ＋，
可得，则λ＋μ＝，即λ＝－μ，由0≤γ≤1，可得0≤≤，则μ∈，
故λ2＋μ2＝2＋μ2＝2μ2－μ＋＝22＋，
当μ＝时，λ2＋μ2取得最小值为.
6．答案：2
解析：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B(－，).设∠AOC＝α，
则C(cos α，sin α).由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin ，
又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：由题意可得a－b＝－＝，所以＝ ＝5.故选D.
2．答案：B
解析：因为BD＝2DA，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
3．答案：－3
解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，且a∥b，∴2λ＋6＝0，∴λ＝－3.
4．答案：
解析：2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，又∵c∥(2a＋b)，∴4λ－2×1＝0，∴λ＝.
5．答案：或0
解析：方法一 以点A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，设＝λ，λ∈[0，1]，则D(4λ，3－3λ)，＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又点P在AD的延长线上，则可设＝μ，μ>1，又＝m(－)＋＝m＋，则＝m(－)＋(－)，＝m＋，则2m＋(3－2m)＝＝μ＝λμ＋μ(1－λ)，所以2m＝λμ，3－2m＝μ－λμ，所以μ＝3，又AP＝9，则AD＝3，所以(4λ)2＋(3－3λ)2＝9，得λ＝或λ＝0，则||＝||＝×＝或||＝0×||＝0.
方法二 由题意可设＝λ＝λ[μ＋(1－μ)]＝λμ＋(λ－λμ)，其中λ>1，0≤μ≤1，又＝m＋，所以得λ＝，即＝，又PA＝9，则||＝6，||＝3，所以AD＝AC.当D与C重合时，CD＝0，当D不与C重合时，有∠ACD＝∠CDA，所以∠CAD＝180°－2∠ACD，在△ACD中，由正弦定理可得＝，则CD＝＝·AD＝2cos ∠ACD·AD＝2××3＝.综上，CD＝或0.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)由题意可得：a＋2b＝，2a－c＝，
∵∥，则4x－4＝0，
即2x2－x－6＝0，解得：x＝2或x＝－，
∴实数x的值为2或－.
(2)由(1)可得：
当x＝2时，则a＋2b＝，2a－c＝，
即a＋2b＝，故a＋2b与2a－c同向；
当x＝－时，则a＋2b＝，2a－c＝，
即a＋2b＝－2，故a＋2b与2a－c反向．
∵a＋2b与2a－c的夹角为锐角，则，解得x>或x<－，且x≠2，
∴实数x的取值范围∪(，2)∪.
2．解析：(1)方法一 ∵＋＋＝0，
＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴解得
则P(2，2)，＝(2，2)，故||＝2.
方法二 ∵＋＋＝0，
∴(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2，2)，
∴||＝2.
(2)由题意，画出△ABC三边围成的区域(含边界)，如图中阴影部分所示．
∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴
②－①，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值，tmax＝1，故m－n的最大值为1.
点点练18 平面向量的数量积及应用
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：因为＝＋＝－＝(－2，6)，所以·＝1×(－2)＋2×6＝10.
2．答案：D
解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos 〈a，b〉＝4＋2cos 〈a，b〉＝3，
∴cos 〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin 〈a，b〉＝＝.
3．答案：B
解析：因为a·c＝a·(－a－b)＝－a2－a·b＝－|a|2－|a|·|a|cos150°＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a⊥c，所以a与c的夹角为90°.
4．答案：B
解析：|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
5．答案：C
解析：分别以边BC，BA所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
A(0，)，B(0，0)，C(2，0)，设F(2，y)，
则＝(0，－)，＝(2，y－)，＝(2，－)，
∴·＝2－y＝，解得y＝－1，
∴F(2，－1)，＋＝(2，－2)，＝(2，－1)，
∴(＋)·＝4－4＋2＝2.故选C.
6．答案：A
解析：∵·＝0，∴BG⊥AG，连接CG并延长交AB于D，则D为AB的中点，且CG＝2GD，在Rt△AGB中，GD＝＝1，则CD＝3，
∵4·＝(＋)2－(－)2＝42－42＝32，
∴·＝8，
(2＋2)·＝[(＋)2－2·](－)·＝(36－16)(2－8)＝20(2－8)，
∵CD＋AD>AC>CD－AD，即4>AC>2，
∴(2＋2)·∈(－80，160).
7．答案：(－2，4)
解析：∵m＝，n＝，m⊥n，∴m·n＝－2＋2λ＝0，
解得λ＝1，∴n＝，∴2m＋n＝，＝＝，
∴·m＝10，∴2m＋n在m上投影向量为：
·＝·＝(－2，4).
8．答案：∪
解析：∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：∵|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，∴a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×3×＝3.
2．答案：D
解析：因为向量a，b，c两两所成的角相等，
所以向量a，b，c同向，或两两夹角为，
当向量a，b，c同向时，
因为＝1，＝2，＝3，
所以＝＋＋＝1＋2＋3＝6，
当向量a，b，c两两夹角为时，
因为＝1，＝2，＝3，
所以＝
＝
＝＝，
综上，的值为6或.
故选D.
3．答案：D
解析：由tan 〈a，b〉＝2，〈a，b〉∈⇒tan 2〈a，b〉＝－1＝24⇒cos 〈a，b〉＝，
又由⊥得·＝2a2＋5a·b－3b2＝0，即22＋5·－32＝0⇒22＋－3＝0，解得＝1 .
故选D.
4．答案：D
解析：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，
∴AN＝AB cos 60°＝1，BN＝AB sin 60°＝，
∴DN＝2＋1＝3，∴BM＝3，∵CM＝MB tan 30°＝，
∴DC＝DM＋MC＝2，∴A(2，0)，B(3，)，C(0，2)，
设E(0，m)，
∴＝(－2，m)，＝(－3，m－).0≤m≤2，
∴·＝6＋m2－m＝(m－)2＋6－＝(m－)2＋，当m＝时，取得最小值为.
5．答案：＋2
解析：
在△AOB中，设OA＝OB＝x，∠AOB＝＝45°，
则x2＋x2－2x2cos 45°＝1，所以x2＝，
又∠AOB＝∠BOC＝45°，
所以∠AOC＝90°，∠OAC＝∠OCA＝45°，
所以AE＝2x＝2＝×，AC＝＝＝，
所以·＝·cos 45°＝×××＝2＋.
6．答案：2
解析：设BC的中点为E，连接AE，向量，的夹角为θ，
因为等边△ABC内接于圆O：x2＋y2＝1，所以点O在AE上，且PO＝AO＝2OE＝1，
所以·(＋)＝·＝2(＋)·(＋)
＝2
＝2
＝2＝1－cos θ，
所以当cos θ＝－1，即点P为AE的延长线与圆的交点时，·(＋)取最大值2.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
2．答案：D
解析：由题意得cos 〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
3．答案：A
解析：·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6).
4．答案：C
解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4).由题意，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
5．答案：
解析：由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－，|a－b|＝＝＝＝.
6.
答案： －1
解析：方法一 如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝.cos ∠DPB＝－cos ∠DPC＝－，
∴·＝||·||cos ∠DPB＝1××(－)＝－1.
方法二 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴＝(＋)＝(2，1)，P(2，1)，∴＝(－2，1)，＝(0，－1)，∴||＝，·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)因为2a＋b＝，a＋3b＝，
所以5a＝3－＝3－(m＋10，－3)＝，
即a＝，
所以b＝2a＋b－2a＝－2＝，
又a∥b，
所以－2－3×3＝0，
解得m＝－.
(2)因为a⊥b，
所以a·b＝3－2×3＝0，
解得m＝1，
所以a＝，
所以a＋b＝＋＝，a－2b＝－2＝，
所以＝＝，＝＝，
所以cos 〈a＋b，a－2b〉＝＝＝－.
2．解析：(1)由已知得m·n＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝2sin C cos C＝sin C，因为sin C＞0，所以cos C＝.
又0
因为·(－)＝·＝18，所以ab cos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，所以c2＝36，所以c＝6.
单元检测(五) 平面向量
1．答案：B
解析：因为a⊥b，所以a·b＝2sin α＋cos α＝0，即tan α＝－.
2．答案：A
解析：设向量a＝(1，)，向量b＝(－，)的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
因为cos θ＝＝＝，所以θ＝60°.
3．答案：C
解析：因为(a－b)·(a＋b)＝0⇔|a|2＝|b|2⇔|a|＝|b|，
所以“(a－b)·(a＋b)＝0”是“|a|＝|b|”的充要条件．
4．答案：C
解析：由题意知：2c－2b＝a，则4c2＋4b2－8b·c＝a2，
即8－8b·c＝1，得：b·c＝.
故选C.
5．答案：C
解析：
设＝y，因为3＋＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，
所以＝＋＝＋y＝＋y＝－y＋.
因为＝x＋，所以x＝－y，所以x∈.故选C.
6．答案：B
解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1.＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选B.
7．答案：A
解析：由cos ∠BOC＝，得cos ∠AOC＝－，
故·＝cos ∠AOC＝2×2×＝－.
故选A.
8．答案：D
解析：∵＝3，∴＝，
∵＝x＋，∴＝x＋×＝x＋，
∵B，D，E三点共线，∴x＋＝1，∴x＝.
9．答案：D
解析：以O为坐标原点，AB∥x轴，建立坐标系，如图，
则A(－2，－)，B(2，－)，
设C(3cos θ，3sin θ)，
＝(4，0)，＝(3cos θ＋2，3sin θ＋)
则·＝12cos θ＋8∈[－4，20].
10．答案：D
解析：对A，若＝x＋，则点P在直线AB上，由于△OAB是边长为2的等边三角形，故点O到直线AB的距离为，故A正确；
对B，若x＝0，则＝y＋(1－y)，点P是线段BC上任意一点；
若y＝0，则＝x＋(1－x)，点P是线段AC上任意一点；
若x＋y＝1，则＝x＋y，则点P是线段AB上任意一点．
若x，y，x＋y∈(0，1)，则＝(x＋y)＋(1－x－y).
记＝＋，则点M是线段AB上任意一点，
＝(x＋y)＋(1－x－y)，点P是线段CM上任意一点．
综上，点P是△ABC内部及边界上任意一点，的最大值为OC＝2，故B正确；
对C，记A′(－2，0)，B′，＝x＋y，＋≤1，则点P在以AA′和BB′为对角线的平行四边形内部及边界，其面积为S＝4×＝4，故C正确；
对于D，若＝x＋y＋z，＋＋z≤1，z≥0，由选项B和C知点P是五边形CAB′A′B内部及边界上一点，其面积为4＋＝5，故D错误．
故选D.
11．答案：D
解析：因为向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，
所以ta－b＝(－t－3，2t－4)，
因此|ta－b|＝＝＝≥10，当且仅当t＝时，取得最小值．
12．答案：A
解析：G是三角形ABC的重心，所以＝×＝(＋)，
·－4＝(＋)·(－)－4＝－4＝－8，A错误．
根据欧拉线的知识可知2＝－，B选项正确．
·＋6＝(＋)·＋6＝·＋·＋6＝·＋6
＝·＋6＝(－)·＋6
＝(·－·)＋6
＝·＋6
＝×(＋)×(－)＋6
＝(22－42)＋6＝0，所以C选项正确．
＝3＝3(＋)＝3＋3
＝3＋3×(＋)＝3＋＋
＝3＋－＋－
＝＋＋，所以D选项正确．故选A.
13．答案：
解析：由a＝(1，2)，b＝(3，－1)，
所以a＋b＝(4，1)，
又因为c∥，c＝(1，λ)，
所以4λ－1＝0，解得λ＝.
14．答案：
解析：正方形中，BD＝，∵＝3，∴BP＝BD＝，
·＝(＋)·＝2－·＝()2－××＝.
15．答案：2
解析：由a∥b可得，3sin α＝cos α，得tan α＝，而tan ＝＝＝2.
16．答案：
解析：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)、B(2，0)、D、C、O，
＝m＋n＝，即点P，
因为＝1，则点P在以O为圆心，半径为1的圆上，
设点P，则，
则t＝＝，整理可得t sin θ－cos θ＝2－3t，
所以，sin ＝2－3t，其中cos φ＝，
sin φ＝，
所以≤，整理可得8t2－12t＋3≤0，解得≤t≤，
因此，的最大值为.
17．解析：(1)·＝2－2＝，
∵＝1，∴|b|2＝，∴＝.
(2)2＝2＋2a·b＋2＝1＋2×＋＝2，
∴＝，
2＝2－2a·b＋2＝1－2×＋＝1，
∴＝1，
设向量a＋b与a－b夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
18．解析：(1)∵在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上，
∴＝＋＝＋，
在矩形ABCD中，＝，＝－，
∴＝－＋，
∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.
(2)设＝m(m>0)，
则＝(m－1)，＝＋＝＋，
＝＋＝(m－1)＋＝(m－1)＋，
又·＝0，
∴·＝(＋)·[(m－1)＋]＝(m－1)2＋2＝9(m－1)＋8＝2，解得m＝.
∴DF的长为1.
19．解析：(1)由题意知A是BC的中点，且＝，＋＝2，
所以＝＋＝＋＝2－＝2a－b，
＝－＝－＝2a－b.
(2)因为＝－＝2a－b－λa＝a－b，且∥，
所以＝＝，解得λ＝.
20．解析：(1)先证充分性．
若＝λ＋(1－λ)，
则＝λ(－)＋，－＝λ(－)，
即＝λ，∥，故M，P，N三点共线．
再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，＝λ(－)＋，
故＝λ＋(1－λ).
综上知，结论成立．
(2)利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得
＝λa＋＝μ＋b
则，解得.
故＝a＋b.
21．解析：(1)由正弦定理得·＝，即sin A＝.
又∵A是锐角，∴A＝.
(2)·(＋)＝·(＋－2)＝·＋·－22
＝cos ∠AOB＋cos ∠AOC－2＝cos 2C＋cos 2B－2＝cos ＋cos 2B－2
＝cos 2B－sin 2B－2
＝cos －2.
∵△ABC是锐角三角形，∴
∴
∴－1≤cos (2B＋)<－
故·(＋)的取值范围是.
22．解析：(1)设a＝，b＝，c＝，
则a－b＝，c－a＝，c－b＝，∠AOB＝，∠ACB＝，
当点O，C在AB的两侧时，由题意可得O，A，C，B四点共圆．
在△ABC中，BA＝6，AC＝2，∠ACB＝，
由正弦定理得＝，
则sin ∠CBA＝，则∠CBA＝，则∠CBA＝∠COA＝，
可得a与c的夹角为.
当点O，C在AB同侧时，在△ABC中，BA＝6，AC＝2，∠ACB＝，由cos ∠ACB＝，得BC＝2，
则易知点A，B，O在以C为圆心，AC为半径的圆上，此时易得a与c的夹角为.
综上，a与c的夹角为.
(2)因为|c－a|＝2，所以12＝c2＋a2－2a·c≥2|a||c|－2a·c，
又由a·c＝|a||c|cos 得|a||c|＝a·c，
所以12≥a·c－2a·c，所以a·c≤18＋12.
则a·c的最大值为18＋12.
第六单元 数列
点点练19 数列的概念及表示
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：方法一(特例淘汰法) 令n＝1，淘汰D选项，令n＝2淘汰A，B选项．
方法二 数列变形为，，，，…分子、分母都是等差数列，分子2(n－1)分母2n－1.
2．答案：D
解析：由an＋2＝，a1＝2，a2＝3，
所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝，a7＝＝＝2，
即是周期为6的数列．
故a2022＝a6＝.
故选D.
3．答案：D
解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
4．答案：A
解析：设第n行第m个数为a，则a＝，a＝，a＝，a＝，
故a＝a－a＝，a＝a－a＝，a＝a－a＝，a＝a－a＝，a＝a－a＝，a＝a－a＝，故选A.
5．答案：D
解析：∵an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.
6．答案：(－2)n－1
解析：由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.
7．答案：840
解析：由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…易知大衍数列的第41项为＝840.
8．答案：3
解析：∵an＋1－an＝2n－8(n∈N*)，
∴an－an－1＝2n－10，an－1－an－2＝2n－12，…a3－a2＝－4，a2－a1＝－6，
∴an－a1＝(－6)＋(－4)＋…＋(2n－12)＋(2n－10)＝＝(n－1)(n－8)，又a1＝3，∴an＝(n－1)(n－8)＋3，∴a8＝3.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：化简可得an＋1＝，则a2＝，a3＝，a4＝.
2．答案：D
解析：因为a1＝2，(1－an)an＋1＝1，由(1－a1)a2＝1得a2＝－1，
进而得：a3＝，a4＝2＝a1，可得：an＋3＝an，
a1＋a2＋…＋a2021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×＋1＝.
3．解析：因为an＋1＝an＋2＋1，
所以an＋1＋1＝2＋2＋1，即an＋1＋1＝2，
等式两边开方可得：＝＋1，即－＝1，
所以数列是以首项为＝2，公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝n2＋2n，
所以a10＝102＋20＝120.
故选C.
4．答案：C
解析：设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，五根琴弦的长度从大到小依次为1，，，，，
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为.
5．答案：241
解析：因为anan＋1＝3n，所以an－1an＝3n－1(n≥2)，两式相除得＝3(n≥2).
因为a1＝1，所以a3＝3，a5＝9，a7＝27，a9＝81，由anan＋1＝3n，得a1a2＝3，所以a2＝3，a4＝9，a6＝27，a8＝81，所以S9＝1＋2×(3＋9＋27＋81)＝241.
6．答案：n
解析：∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2时，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即＝(n≥2)，又a1＝1，∴an＝××…×＝××…×＝n.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0，3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．
2．答案：－63
解析：当n＝1时，a1＝2a1＋1，得a1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an－1－1＝2an－2an－1，
即：an＝2an－1，∴{an}是以－1为首项以2为公比的等比数列，
∴an＝－2n－1，∴S6＝＝－63.
3．答案：1 121
解析：因为S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，所以解得a1＝1，a2＝3；又因为an＝2Sn－1＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，所以an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3＝3a1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1，所以S5＝＝121.
4．答案：7
解析：令n＝2k(k∈N*)，则有a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，
∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41，
∴前16项的所有偶数项和S偶＝5＋17＋29＋41＝92，
∴前16项的所有奇数项和S奇＝540－92＝448，
令n＝2k－1(k∈N*)，则有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，
∴a2k＋1－a1＝(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k＋1－a2k－1)＝2＋8＋14＋…＋6k－4＝＝k(3k－1)(k∈N*)，
∴a2k＋1＝k(3k－1)＋a1(k∈N*)，
∴a3＝2＋a1，a5＝10＋a1，a7＝24＋a1，a9＝44＋a1，a11＝70＋a1，a13＝102＋a1，a15＝140＋a1，
∴S奇＝a1＋a3＋…＋a15＝8a1＋2＋10＋24＋44＋70＋102＋140＝8a1＋392＝448.
∴a1＝7.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，
当n≥2时， 由Sn＝2an－1①，递推得Sn－1＝2an－1－1②，
由①－②，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，于是有＝2，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为an＝1×2n－1＝2n－1，
所以b3＝a3＋1＝23－1＋1＝5，T4＝a5＝25－1＝16，
设等差数列的首项为b1，公差为d，则
，解得b1＝1，d＝2，
所以等差数列的通项公式为bn＝1＋2＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝2n－1，所以c1＝b1＝1，bn＋1＝2－1＝2n＋1，
由cn＋1＝cn＋bn＋1，得cn＋1－cn＝bn＋1＝2n＋1，
所以cn＝c1＋＋＋＋…＋
＝1＋3＋5＋7＋…＋＝＝n2.
2．解析：(1)因为a1＋2a2＋…＋2n－1an＝2n＋2－20，
所以当n＝1时，a1＝×21＋2－20＝12；
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝2n＋1－20，
故2n－1an＝2n＋2－20－2n＋1＋20＝2n＋1，则an＝×22＝16－4n；
经检验：a1＝12满足an＝16－4n，
所以an＝16－4n.
(2)由(1)知，令an＝16－4n≥0，得n≤4，
故当n≤4时，an≥0，
Tn＝＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an＝＝－2n2＋14n；
当n>4时，an<0，易知a1＝12，a2＝8，a3＝4，a4＝0，
所以Tn＝＋＋＋＋＋…＋＝a1＋a2＋a3＋a4－a5－…－an＝2－＝2×－＝2n2－14n＋48；
综上：Tn＝.
点点练20 等差数列及其前n项和
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：设公差为d，则由a2＋a8＋a17＝6得3＝6，
即a1＋8d＝a9＝2，故S17＝＝17＝34.
故选B.
2．答案：A
解析：由满足an＋1－an＝d得数列为等差数列，
由a6＝4得a4a7＝(4－2d)(4＋d)＝2(2－d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，
当d＝－1时，a4a7的最大值为18.故选A.
3．答案：C
解析：设每日织布增长x尺，则5＋(5＋x)＋(5＋2x)＋…＋(5＋29x)＝390，
即＝390，解得x＝.
4．答案：B
解析：由题意得＝＝＝，故选B.
5．答案：B
解析：设等比数列的公比为q，依题意有：a4＋2a7＝，
于是得，解得q＝，a1＝16，
所以S5＝＝31.
6．答案：A
解析：因为a3，a7是方程x2－8x＋m＝0的两根，
所以a3＋a7＝8，
S9＝＝＝＝36，
故选A.
7．答案：100
解析：a1＝19，a10＝1，所以前10项的和为S10＝×10＝100.
8．答案：12 －54
解析：由得解得
∴Sn＝na1＋＝－30n＋6n(n－1)＝6n2－36n＝6(n－3)2－54.
因此，当n＝3时，Sn取得最小值－54.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：因为d<0，则数列{an}为单调递减数列，
由|a2|＝|a10|可得a2＝－a10，则a2＋a10＝2a6＝0，
所以a1＋5d＝0，则a1＝－5d，
Sn＝na1＋＝－5nd＋＝d＝，
所以，当n＝5或6时，Sn取得最大值．
故选D.
2．答案：A
解析：设等差数列的公差为d，则a1>0且d>0，
由已知可得a＝a1a6，即2＝a1，可得d＝3a1，
所以，an＝a1＋d＝a1，
所以＝＝，
所以，Sn＝＝<，
∀n∈N*，Sn<，则≥，可得a1≥，
因此，a1的最小值为.
故选A.
3．答案：A
解析：等差数列，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，即S6是等差数列的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0，
当a6＝0，此时S5＝S6，S5、S6是等差数列的前n项和中的最小值，此时a6＝a1＋5d＝0，即a1＝－5d，则＝＝＝4，
当a6<0，a7>0，此时S6是等差数列的前n项和中的最小值，此时a6＝a1＋5d<0，a7＝a1＋6d>0，即－6<<－5，则＝＝＝1＋，则有>4，
综合可得：≥4.
故选A.
4．答案：D
解析：因为S9＝9a1＋d＝9a1＋36d＝0，可得a1＝－4d，且d≠0，
所以，Sk＝ka1＋＝－4kd＋＝d＝，
且数列单调递增，
根据二次函数的对称性可知S1＝S8，S2＝S7，S3＝S6，S4＝S5，
故集合中元素个数为2 023－4＝2 019.
故选D.
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：由题可知，＝，则b5＝＝＝64，故b3＝＝＝128.
2．答案：C
解析：若要使n尽可能的大，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，
则an＝n＋2，S11＝×11＝88＜100，S12＝×12＝102＞100，
所以n的最大值为11.
3．答案：D
解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.
4．答案：A
解析：方法一 设等差数列{an}的公差为d，
∵∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝na1＋d＝n2－4n.
方法二 设等差数列{an}的公差为d，
∵∴解得
选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7；选项C，S1＝2－8＝－6；选项D，S1＝－2＝－.
5．答案：2
解析：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
6．答案：4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以＝＝＝＝4.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)因为数列{an}为等差数列，设公差为d，
所以S5＝＝5a3＝25，所以a3＝5，又a2＝3，
所以，解得a1＝1，d＝2.
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝.
所以bn＝
＝(－)，
Tn＝(－＋－＋…＋－)
＝(－1).
2．解析：(1)当n＝1时，S2＝4a1＝4，
当n≥2时，由Sn＋1＝4an得Sn＋1＝4Sn－4Sn－1，
∴Sn＋1－2Sn＝2(Sn－2Sn－1)，又∵S2－2S1＝S2－2a1＝2，
∴{Sn＋1－2Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＋1－2Sn＝2×2n－1＝2n，
∴－＝1，
∵＝1，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋(n－1)＝n，
∴Sn＝n·2n－1，
∵Tn＝1×1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1，
∴2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n
∴－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1.
点点练21 等比数列及其前n项和
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即4＝4c，所以c＝1.
2．答案：A
解析：由题意得32＝9×3，即9＝9＋，所以＋＝1，又ab>0，所以a>0，b>0，所以a＋b＝＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝＋1，b＝2＋时等号成立．故a＋b的最小值为3＋2.
故选A.
3．答案：B
解析：由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，又a1＝2，∴q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去).
4．答案：D
解析：＝0⇒a5－a＝0⇒a5＝1(a5＝0舍去).又a＝a1a5，所以a1＝4.
故选D.
5．答案：B
解析：令公比为q，由log2a2＋log2a13＝log2＝1＝log22，
故a2a13＝2且a2，a13>0，所以a13＝a2q11>0，则q>0，
又a2a13＝a6a9＝2，a5a6a8a9＝16，则a5a8＝8，
所以＝＝q2＝，综上，q＝.故选B.
6．答案：C
解析：若为递增的等比数列，显然后面的项都比a1大，
即∀k≥2且k∈N*，ak>a1，充分性成立；
反过来，若∀k≥2且k∈N*，ak>a1，即a1qk－1>a1(q为公比)，
因为a1>0，所以qk－1>1，所以q>1，从而可得为递增数列，必要性成立，
所以“为递增数列”是“∀k≥2且k∈N*，ak>a1”的充要条件．
故选C.
7．答案：±2
解析：因为a2a4＋2a1a7＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝4，所以a3＋a5＝±2.
8．答案：
解析：因为＝＝＝，所以q4＝2，所以＝＝＝.
二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：正项等比数列中，q>0，由7S2＝3S3得7＝3，
整理得3a3－4a2－4a1＝0，即3q2－4q－4＝0，解得q＝2，
所以数列的公比q＝2.故选C.
2．答案：C
解析：设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又a2＝－8，a7＝，
∴q＝－，故a1＝16，
又Sn＝，即S6＝＝＝.
3．答案：A
解析：∵Sn＝pan＋1＋m，∴Sn－1＝pan＋m(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝pan＋1－pan(n≥2)，
∴pan＋1＝(p＋1)an(n≥2)，
∴＝(n≥2)，
又n＝1时，a1＝S1＝pa2＋m＝4，
∴a2＝，＝.
∵{an}为等比数列，∴＝＝，
∵p＞0，∴p＝－，
∴m＝－4p，p－＝p＋≥2＝1，
当且仅当p＝，p＝时取等号，此时等比数列的公比＝3，
∴an＝4×3n－1.
4．答案：D
解析：因为an＝f(xn)，an＝ln xn，所以xn＝ean，＝＝ean－an－1＝e，
所以数列是公比为e的等比数列，
所以x200＋n＝xne200，所以x201＋x202＋…＋x300＝e200(x1＋x2＋…＋x100)＝e201，
所以ln (x201＋x202＋…＋x300)＝ln e201＝201，故选D.
5．答案：121或
解析：设数列的公比为q，∵前三项积为27，
∴a1a2a3＝a＝27，解得a2＝a1q＝3，∵前三项和为13，
∴S3＝＋a2＋a2q＝＋3＋3q＝13，解得或，
∴S5＝＝121或S5＝＝.
6．答案：
解析：设a2＝m，若m≤0则－1＝a1≤a2≤…≤a7不成立，
所以m>0，由－1≤m≤d－1≤3m≤2d－1≤9m≤3d－1，
可得，若要使得d有解，则m＋1≤，
所以m≥，
所以得d≥，故d的最小值为.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，两式相除，得＝4，解得q＝.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.
2．答案：D
解析：方法一 设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32.
方法二 令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32.
3．答案：C
解析：令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.
4．答案：B
解析：由题知，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．
5．答案：B
解析：设公比为q，∵y＝ln x在(1，0)处的切线为y＝x－1，
∴易知当x>0时，ln x≤x－1
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)证明：由an＋1＝，可得＝＝1＋，
－2＝－1＝，又－2＝≠0，故数列为等比数列．
(2)由(1)可知－2＝×n－1＝，故＝＋2.
＋＋＋…＋＝＋2＋＋2＋＋2＋…＋＋2＝＋2n＝1－＋2n.
令f＝1－＋2n，易知f随n的增大而增大，f<101，f>101，故满足f<101的最大整数为50.
2．解析：(1)由2Sn＝an＋1－1，当n≥2时，2Sn－1＝an－1，两式相减得2an＝an＋1－an，
即an＋1＝3an，(n≥2)，又a1＝1，2S1＝a2－1得a2＝3，
即n＝1也满足上式，故{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，得an＝3n－1，(n∈N*)；
(2)由(1)得bn＋3bn－1＋32bn－2＋…＋3n－1b1＝3n－n－1对任意正整数n成立，
设Cn＝bn＋3bn－1＋32bn－2＋…＋3n－1b1＝3n－n－1，
又Cn＋1＝bn＋1＋3bn＋32bn－1＋…＋3nb1＝3n＋1－(n＋1)－1，
所以bn＋1＝Cn＋1－3Cn＝2n＋1.(n∈N*).
又a1b1＝3－1－1即b1＝1，
得bn＝2n－1，n∈N*，
所以Tn＝＝n2.
由Tn＝an，得n2＝3n－1，即＝1，
记f(n)＝，则f(1)＝1，f(2)＝，f(3)＝1，f(4)＝，
以下证明n≥4时f(n)＜1.
因f(n＋1)－f(n)＝－＝＝＜0，
即n≥4时f(n)单调递减，综上可得，等式Tn＝an的所有正整数n的取值为1和3.
点点练22 数列求和
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：∵a1＝2，an＋an＋1＋an＋2＝2，
∴S2 023＝a1＋(a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7)＋…＋(a2 021＋a2 022＋a2 023)＝a1＋674×2＝1 350，故选C.
2．答案：B
解析：当n为奇数时，an＋2－an＝2，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{a2n}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列．
则S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50＋×2＋50×2＝2 600.
3．答案：C
解析：因为an＝＝－，
所以S99＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1＝10－1＝9，故选C.
4．答案：C
解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.
5．答案：D
解析：由an＋1＝3an－4n可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，
∵a1＝3，∴a1－(2×1＋1)＝0，
则可得数列{an－(2n＋1)}为常数列0，即an－(2n＋1)＝0，
∴an＝2n＋1，
∴bn＝＝
＝1＋＝1＋－，
∴Sn＝n＋
＝n＋－＝n.
6．答案：C
解析：∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，
∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，
∴2nan＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝，故＝＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
∴S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，选C.
7．答案：3
解析：由a1＝1，anan＋1＝2n，得a2＝2.
当n≥2时，an－1an＝2n－1，所以＝＝2，即＝2，
所以{an}的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列．
则S2n＝＋＝3×2n－3＝3(2n－1).
8．答案：2 018
解析：∵等差数列{an}中，首项a1＞0，a1 009＋a1 010＞0，a1 009·a1 010＜0，
∴a1 009＞0，a1 010＜0，公差d＜0，则S2 017＝＝2 017a1 009＞0，S2 018＝＝＞0，S2 019＝＝2 019a1 010＜0，故前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是2 018.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：因为数列是递增的等差数列，所以数列的公差d>0.
由题意得即，
解得a1＝2，d＝3或a1＝5，d＝0(舍去).
所以an＝2＋3＝3n－1.
所以bn＝－＝－.
所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝－.
故选A.
2．答案：D
解析：Sn＝4n2＋n，
当n≥2时，Sn－1＝42＋n－1＝4n2－7n＋3，
an＝Sn－Sn－1＝8n－3，
当n＝1时，a1＝5，S1＝5，a1＝S1，所以an＝8n－3，
bn＝＝＝2n.
故＝＝·＝，
＋＋…＋
＝
＝＝×＝.故选D.
3．答案：A
解析：由已知得b1＝1，a1＝2，b2＝c3＝S3－c1－c2＝，等比数列的公比q＝.
令Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，则T6＝63，T7＝127，T8＝255，
所以数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项，故S200＝(b1＋b2＋…＋b193)＋(a1＋a2＋…＋a7)＝＋7×2＋×2＝.故选A.
4．答案：D
解析：由题意，得S2n＋1＝＋＋…＋－2－[－1＋2－3＋4－5＋…＋2n－(2n＋1)]
＝×＋×＋…＋[2n－(2n－1)]－(2n＋1)2－
＝1＋2＋3＋4＋…＋2n－2＋n＋1＝－2＋n＋1＝－2，
由S2n＋1≤－2 023，得－2≤－2 023，即n2＋n≥，
结合n∈N*，解得n≥32，故n的最小值为32.故选D.
5．答案：
解析：依题意＝，＝，＝3，＝＝3，
所以d＝1，所以Sn＝na1＋d＝，
所以＝＝2，
所以＋＋…＋
＝2
＝2(1－)＝.
6．答案：1 189
解析：因为a2n＝an－1，a2n＋1＝n－an，
所以a2n＋a2n＋1＝n－1，
所以(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝0＋1＋…＋48＝＝1 176，
由a2n＝an－1，a2n＋1＝n－an，可得a3＝1－a1＝0，
所以a100＝a50－1＝a25－2＝10－a12＝11－a6＝12－a3＝12，
所以S100＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＋a100
＝1＋1 176＋12＝1 189.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：∵a1＝1，an＋1＝，∴an＞0，∴S100＞a1＝1＞.由an＋1＝，得＝＋＝(＋)2－，∴<(＋)2，则<＋.由累加法可得≤1＋＝，∴an≥，∴an＋1＝≤＝an，∴≤.由累乘法可得an≤.因此，S100≤1＋＋6<1＋＋＝3，
即＜S100＜3.
2．答案：C
解析：C(1)＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a1)，
C(2)＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5a2)，
C(3)＝(a1a4＋a2a5＋a3a6＋a4a7＋a5a8)＝(a1a4＋a2a5＋a3a1＋a4a2＋a5a3)，
C(4)＝(a1a5＋a2a6＋a3a7＋a4a8＋a5a9)＝(a1a5＋a2a1＋a3a2＋a4a3＋a5a4).
对于A，C(1)＝，C(2)＝，故A不正确；对于B，C(1)＝，故B不正确；对于D，C(1)＝，故D不正确；对于C，C(1)＝，C(2)＝0，C(3)＝0，C(4)＝，∴C正确．
3．答案：A
解析：方法一 排除法
记SN为数列的前N项和，由题意得，数列的前110项为20，20，21，20，21，…，20，21，…，213，20，21，22，23，24，所以S110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D不正确．同理，S220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C不正确．同理，S330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B不正确．所以，正确的选项为A.
方法二 不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋2t)＝2m(其中m、n、t∈N，0≤t≤n).
则有N＝＋t＋1，因为N＞100，所以n≥13.
由等比数列的前n项和公式可得2n＋1－n－2＋2t＋1－1＝2m.
因为n≥13，所以2n＞n＋2，
所以2n＋1＞2n＋n＋2，即2n＋1－n－2＞2n，
因为2t＋1－1＞0，
所以2m＞2n＋1－n－2＞2n，故m≥n＋1，
因为2t＋1－1≤2n＋1－1，所以2m≤2n＋2－n－3，故m≤n＋1.
所以m＝n＋1，从而有n＝2t＋1－3，因为n≥13，
所以t≥3.
当t＝3时，N＝95，不合题意；
当t＝4时，N＝440，满足题意，故所求N的最小值为440.
4．答案：10
解析：方法一 因为an＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
方法二 因为an＝＝＋，所以Sn＝＋＝，所以S3＝＝10.
5．答案：
解析：通解 设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
优解 设等比数列{an}的公比为q，因此a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
6．答案：5 720－
解析：(1)由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：×12，5×6，10×3，20×，共4种不同规格(单位dm2)；
故对折4次可得到如下规格：×12，×6，5×3，10×，20×，共5种不同规格；
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120，第n次对折后的图形面积为120×n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种，故得猜想Sn＝，
设S＝k＝＋＋＋…＋，
则S＝＋＋…＋＋，
两式作差得：
S＝240＋120－
＝240＋－
＝360－－＝360－，
因此，S＝720－＝720－.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)当n＝1时，S2＝4a1＝4，
当n≥2时，由Sn＋1＝4an得Sn＋1＝4Sn－4Sn－1，
∴Sn＋1－2Sn＝2，又∵S2－2S1＝S2－2a1＝2，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＋1－2Sn＝2×2n－1＝2n，
∴－＝1，∵＝1，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋＝n，∴Sn＝n·2n－1.
∵Tn＝1×1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1，
∴2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n，
∴－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝·2n－1，
∴Tn＝·2n＋1.
2．解析：(1)当n＝1时，2a1＝23－22＋2＝6，则a1＝3，
当n≥2时，由2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＋2nan＝n×2n＋2－2n＋1＋2，
可得2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝×2n＋1－2n＋2，
上述两个等式作差可得2nan＝n×2n＋2－×2n＋1－2n＋1＋2n＝×2n，则an＝2n＋1，
又a1＝3也满足an＝2n＋1，所以的通项公式为an＝2n＋1.
(2)证明：由(1)可知，bn＝
＝·
＝·
＝·
＝－，
所以b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－
＝－<，
又bn>0，所以b1＋b2＋…＋bn≥b1＝，故≤b1＋b2＋…＋bn<.
单元检测(六) 数列
1．答案：B
解析：由题意得＝＝＝，故选B.
2．答案：B
解析：因为a＝a3a11＝16，且an>0，所以a7＝4.因为公比q＝2，所以a10＝a7q3＝4×23＝25，所以log2a10＝log225＝5.
3．答案：C
解析：a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，
所以5a6＝80，a6＝16，∴a7－a8＝a6＋d－(a6＋2d)＝a6＝8.
4．答案：C
解析：设该等比数列的公比为q，因为a5－a3＝12，
所以由a6－a4＝24⇒a5q－a3q＝24⇒q(a5－a3)＝24⇒12q＝24⇒q＝2，
因此＝＝，故选C.
5．答案：B
解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.经检验，a1＝3不符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝
6．答案：A
解析：a1＋a2＋…＋a2 018＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 017＋a2 018)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 017－2)－(3×2 018－2)]＝(－3)×1 009＝－3 027.
7．答案：B
解析：取an＝(－1)，则lg |an|＝lg 1＝0，故为等差数列，
但a1＝1，a2＝－1，a3＝－1，a1，a2，a3不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故an＝a1qn－1，其中a1q≠0，
故lg |an|＝lg ＝lg ＋(n－1)lg ，
故lg |an|－lg ＝lg ，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选B.
8．答案：A
解析：不妨令S3＝1，则S6＝3.因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．又S3＝1，S6＝3，S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.于是S9＝S6＋3＝6，S12＝S9＋4＝10，所以＝.
9．答案：B
解析：设等比数列的公比为q，q>0.因为a2，3a1，a3成等差数列，所以6a1＝a1q＋a1q2⇒q＝2.又因为S1＝a1＝ka1－1⇒a1＝；S2＝a1＋2a1＝2ka1－1⇒a1＝，所以k＝2，a1＝1.所以an＝2n－1，a2 022＝22 021.故选B.
10．答案：B
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，
当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，2n－1＝1≠2，
所以an＝，
所以bn＝＝，
则T10＝＋＝.
故选B.
11．答案：C
解析：由已知得＝，∴a1＋a2＋…＋an＝n(2n＋1)＝Sn.当n＝1时，a1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.验证知当n＝1时也成立，
∴an＝4n－1，∴bn＝＝n.
∴＝－，∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.
12．答案：D
解析：∵a11＝2，a13＝a61＋1，
∴2m2＝2＋m＋1，解得m＝3或－(舍负)，故选项A错误；
∴aij＝ai1·3j－1＝·3j－1＝·3j－1，即选项C错误；
∴akk＝·3k－1，
令T＝kk，则T＝a11＋a22＋…＋akk＝2·30＋5·31＋8·32＋…＋·3k－1①
3T＝2·31＋5·32＋8·33＋…＋·3k－1＋·3k②
①－②得，－2T＝2＋3·31＋3·32＋3·33＋…＋3·3k－1－·3k
＝2＋3×－·3k
＝·3k－，
∴T＝－·3k，
当k＝18时，akk＝－·318＝，即选项B错误；
S＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝·
＝·
＝n，即选项D正确．
故选D.
13．答案：－2
解析：在公差为2的等差数列{an}中，a4－2a7＝(a3＋d)－2(a5＋2d)＝a3－2a5－3d＝4－3×2＝－2.
14．答案：1
解析：设等差数列{cn}的公差为d，又c1＝1，则2c1＋3＝5，2c2＋3＝2d＋5，2c3＋3＝4d＋5，由{2cn＋3}为等比数列得(2c1＋3)(2c3＋3)＝(2c2＋3)2，则5(4d＋5)＝(2d＋5)2，解得d＝0，则c2 019＝c1＝1.
15．答案：1 632
解析：为正项等比数列，则bn＋2＝bn＋1＋2bn⇒bnq2＝bnq＋2bn⇒q2＝q＋2，解得q＝2或q＝－1(舍)，∴bn＝b12n－1＝2n；
为等差数列，则a3＝a1＋2d＝b3＋2＝23＋2，∴d＝3，∴an＝4＋·3＝3n＋1.
由bn＝am⇒2n＝3m＋1，n、m∈N*，可得当n＝2、4、6、8时，m＝1、5、21、85，
故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，
S30＝－4－16－64＝1 632.
16．答案：－835
解析：由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝，因为a1＝5，所以a2＝0，a3＝－，a4＝－5，a5＝5，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，即一个周期的和为－，所以数列{an}的前2 018项的和为－×504＋5＋0＝－835.
17．解析：(1)由题意可知：(4＋2d)2＝4·(4＋9d)，d≠0解得d＝5，
∴an＝4＋5(n－1)，∴an＝5n－1.
(2)由题意可知bn＝＝4，
∴Sn＝4
＝4.
∵Sn<，解得5n<8 088，
∴n的最大整数为1 617.
18．解析：(1)因为1，a2，a3成等比数列，所以a＝a3，
所以2＝a1＋4，即a＋3a1＝0，
解得a1＝0或a1＝－3，
所以an＝2n－2或an＝2n－5.
(2)由题意知Sn＝na1＋n，
由S2＋S6>a2a6，得2a1＋2＋6a1＋30>，
即a＋4a1－12<0，解得－6
19．解析：(1)当n＝1时，4a1＝a＋3，所以a1＝1或a1＝3，因为a1>2，故a1＝3；
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a＋4，即2＝a，
因为是单调递增的数列，所以an≥a1>2，则an－2＝an－1，即an－an－1＝2，
所以是等差数列，公差为2，首项是3，所以，an＝3＋2＝2n＋1.
由＝bn＋2得，b＝bnbn＋2，所以是等比数列，b3＝a1＋a2＝8，b2＝a3－3＝4，
则数列的公比为q＝＝2，所以bn＝b2·2n－2＝4×2n－2＝2n.
(2)当n＝1时，c1＝<，
当n≥2时，cn＝≤.
所以，c1＋c2＋…＋cn<＋＋＋…＋＝＋×
＝－×<.
综上可知，对任意的n∈N*，c1＋c2＋…＋cn<成立．
20．解析：(1)设等差数列的公差为d，
由S5＝35得5a1＋10d＝35，
因为a4是a1与a13的等比中项，
所以2＝a1.
化简得a1＝7－2d且2a1d＝3d2，
解方程组得a1＝7，d＝0或a1＝3，d＝2.
故的通项公式为an＝7或an＝2n＋1(其中n∈N*)；
因为Tn＝4n2＋5n，
所以Tn－1＝4(n－1)2＋5(n－1)，(n≥2)，
所以bn＝Tn－Tn－1＝4n2＋5n－[4(n－1)2＋5(n－1)]＝8n＋1，
因为b1＝T1＝9，满足上式，
所以bn＝8n＋1.
(2)因为a1<4，所以an＝2n＋1，
所以Sn＝n(n＋2)，
所以＝＝，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝，
易见随n的增大而增大，从而<恒成立，
所以λ≥，故λ的最小值为.
21．解析：(1)由2＝an＋1，两边平方，得4Sn＝(an＋1)2，则4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，
两式相减，得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，整理得(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.
因为an>0，所以an＋1－an－2＝0，
即an＋1－an＝2.
又因为当n＝1时，2＝a1＋1，
所以(－1)2＝0，所以a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)因为bn＝＝，所以b1＋b2＋…＋bn＝[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝(－1).
由(－1)>1，解得n>4，所以满足条件的正整数n的最小值为5.
22．解析：(1)因为S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差数列，
所以2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，
所以(S3－S1)＋(S3－S2)＋2a3＝a1＋a2，所以4a3＝a1，
因为数列{an}是等比数列，所以＝＝q2.
又q>0，所以q＝.
因为a1＝1，所以数列{an}的通项公式an＝.
(2)因为Tn≥m恒成立，所以只需(Tn)min≥m即可．
由(1)知an＝，又an＋1＝bn，
所以bn＝n·2n－1.
因为Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
所以－Tn＝1·20＋(2－1)·21＋(3－2)·22＋…＋[n－(n－1)]·2n－1－n·2n＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
故Tn＝(n－1)·2n＋1，所以Tn＋1＝n·2n＋1＋1.
故Tn＋1－Tn＝(n·2n＋1＋1)－[(n－1)·2n＋1]＝(n＋1)·2n>0，所以Tn＋1>Tn，
所以(Tn)min＝T1＝1，
故m≤1，即m的最大值为1.
第七单元 不等式
点点练23 不等式的性质及一元二次不等式
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：因为x2＋x－2<0的解集为{x|－2
解析：A：不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则c＝－1<0，故A错；
B：由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；
C：当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；
D：当b＋c＝0时，没有意义，故D错误．故选B.
3．答案：D
解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；当a－2≠0时，由题意知，，解得－2
解析：－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，
但a2－b2>0D⇒/－>0，
所以“－>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．
5．答案：B
解析：∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2
解析：通解 ∵a>b>0且ab＝1，∴a>1，0
∴
7．答案：k≤2
解析：因为A＝＝，所以∁RA＝或，
当B＝∅时，k＋1>2k，即k<1，适合题意；
当B≠∅时，则，解得1≤k≤2，
综上，实数k的取值范围是k≤2.
8．答案：
解析：根据题意，(x－a)⊗(x＋a)<1可化为x2－x－a2＋a＋1>0，不等式对任意的x∈R恒成立的条件是1＋4a2－4a－4<0，即4a2－4a－3<0，解得－
1．答案：D
解析：根据ea－b>0得a－b为任意实数，所以A错；
由ln >0＝ln 1，得>1，当a>0且b>0时，有a>b；当a<0且b<0时，有a
因为<<0，所以0>a>b，所以能推出a>b，满足题意，D正确．
故选D.
2．答案：B
解析：∵1＜＜，∴0＜b＜a＜1，∴指数函数y＝ax在R上单调递减，∴ab＞aa，即N＞M，又幂函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，∴aa＞ba，即M＞P，∴N＞M＞P.
3．答案：B
解析：对于p：由x∈，得2x－∈，
cos ∈，
所以y∈[－1，2]，即－1≤t≤2；对于q：由≤0，得－1≤t<2，
故p是q的必要不充分条件．故选B.
4．答案：D
解析：∵不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1，x2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，x1x2＝b，又|x1|＋|x2|≤2，不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，满足|x1|＋|x2|≤2，但|a＋2b|＝1<2，A选项错误；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝－1，满足|x1|＋|x2|≤2，但|a＋2b|＝4>2，B选项错误；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，满足|x1|＋|x2|≤2，但|a|＝0<1，C选项错误；|b|＝|x1x2|≤≤1，D选项正确．
5．答案：(－∞，6)
解析：由ax2－(a＋1)x<－a＋13x可得a(x2－x＋1)<14x.
而x2－x＋1＝＋>0，∴a<.
又∵x∈[2，3]，∴＝.令g(x)＝x＋－1，
则g(x)在[2，3]上单调递增，∴g(x)max＝3＋－1＝，∴≥6，∴a<6.
6．答案：1 (－3，1)
解析：(1)由f(x)<0的解集为{x|2
又f(x)＝x2＋bx＋c，所以b＝－5，c＝6.故b＋c＝1.
(2)因为f(x)＝0的两根x1，x2满足0
令z＝b＋c，则c＝－b＋z，平移直线c＝－b＋z，当直线经过点(－5，6)时，在y轴上的截距取得最大值，即a＋b取得最大值，此时b＋c＝1，且取不到．
同理，当直线经过(－3，0)时，b＋c取得最小值，此时b＋c＝－3，且取不到．所以b＋c的取值范围是(－3，1).
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，∴a
解析：由x2－5x<0可得0
解析：函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
4．答案：[－1，7]
解析：要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1，7].
5．答案：
解析：3x2＋x－2<0⇔(x＋1)(3x－2)<0，所以－1
1．解析：(1)当a＝9时，f(x)<0，即2x2－9x＋4<0，
整理，得(2x－1)(x－4)<0，解得
(2)f(x)≥0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，
即2x2－ax＋4≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
即a≤2x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立，即a≤min.
又2x＋≥2＝4(当且仅当2x＝即x＝时，取“＝”).
所以a≤4.故实数a的取值范围为.
2．解析：(1)由题意得－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两个根，则有，解得a＝3，所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0化为2x2－x－3>0，(x＋1)(2x－3)>0，解得x<－1或x>，所以不等式的解集为或x>}．
(2)由(1)可知3x2＋bx＋3≥0的解集为R，
所以Δ＝b2－4×3×3≤0，解得－6≤b≤6，所以b的取值范围为.
点点练24 基本不等式及简单的线性规划
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：a＋b≥2当且仅当a＝b时等号成立，即ab≤，故A错误；B中，若a＝，b＝，有＋＝<，即最小值不为，错误；C中，＋＝≥4，正确；D中，若a＝，b＝，有a2＋b2＝＋＝<，即最小值不为，错误．
2．答案：B
解析：因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，
所以4x＋y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时，等号成立．故选B.
3．答案：B
解析：已知a＞0，b＞0，且＋＝4，则＝1，所以，4a＋6b＝(4a＋6b)＝(2a＋3b)＝≥(8＋2 )＝＝4＋2，当且仅当a＝b时等号成立，因此，4a＋6b的最小值是4＋2.
4．答案：C
解析：由题意，可作可行域，如图所示：
联立可得，解得，即交点为A，
当动直线2x＋3y＝z过点A时，z取得最小值，即z＝2×0＋3×(－2)＝－6.
故选C.
5．答案：B
解析：a>0，b>0，若a＋b≤1，则
＋≥＋＝2＋＋＋＋≥2＋2＋2＝8，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，充分性满足，
若＋≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝时，＋≥8，但a＋b>1，必要性不满足，故选B.
6．答案：B
解析：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得x＝1，y＝1，即A，
z＝＝2·表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，
由图可知，当点位于A时，斜率最大，
所以z＝的最大值为＝1.
故选B.
7．答案：2＋2
解析：∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，等号成立当且仅当x＝y，即x＝－1，y＝1－.
8．答案：
解析：作出不等式组所表示的可行域如图所示：
z＝＝1＋，代数式的几何意义是可行域内一点M与定点P连线的斜率，
联立可得，即点A(1，2)，
联立可得，即点C，
当点M在可行域内运动时，直线PM的倾斜角为锐角，
当点M与点C重合时，直线PM的倾斜角最小，此时z取最小值，即zmin＝1＋＝；
当点M与点A重合时，直线PM的倾斜角最大，此时z取最大值，即zmax＝1＋＝.
综上所述，z＝的取值范围是.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：因为1＝2x＋2y≥2＝2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时取“＝”，所以x＋y的取值范围是(－∞，－2].
2．答案：C
解析：当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg ≥lg x(x>0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不能确定，故选项B不正确；因为x2＋1＝(|x|)2＋1≥2|x|(x∈R)，所以选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．答案：D
解析：因为a，b为正实数，则0＝ab－3(a＋b)＋8≤ab－6＋8，
即(－2)(－4)≥0，所以0<≤2或≥4，
所以0
解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b－4，
因为f(x)在x＝1处取得极值，
所以1＋2a＋b－4＝0即2a＋b＝3，
则＋＝(2a＋b)＝≥(5＋4)＝3，
当且仅当＝时取等号，此时取得最小值3.
故选C.
5．答案：1
解析：因为3x＋y＝7，所以3x－1＋y－2＝4，
即＋＝1，
因为x>，y>2，所以>0，>0，
＋＝
＝＋＋＋≥＋2＝1，
当且仅当＝，即x＝1，y＝4时取等号．
所以＋的最小值为1.
6．答案：
解析：x，y满足约束条件所表示的可行域如图所示，表示可行域中的点到原点的距离，由图可知点B到原点的距离最大，
由，解得，即B，
所以的最大值为 ＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：通解 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．
解方程组得，即点A的坐标为(1，3).从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.
优解 画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可．
易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1，3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3，1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5，3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6，10，18，所以比较可知zmin＝6.
光速解 因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12 ①.因为y≤3，所以－2y≥－6 ②.于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立．
2．答案：C
解析：通解 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分．
由z＝2x－y，得y＝2x－z.作出直线y＝2x并平移，当平移后的直线经过点A(4，0)时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，此时z取得最大值，则zmax＝2×4－0＝8.故选C.
快解 由不等式组围成的区域是封闭的三角形，三个顶点的坐标分别为(0，2)，(2，0)，(4，0).把三个顶点的坐标分别代入目标函数，那个坐标所对应的值最大即为最大值，显然点(4，0)是目标函数取得最大值的点．所以最大值为2×4－0＝8.故选C.
3．答案：1
解析：作出可行域如图，由z＝x＋7y得y＝－＋，易知当直线y＝－＋经过点A(1，0)时，z取得最大值，zmax＝1＋7×0＝1.
4．答案：7
解析：如图所示，x，y满足的可行域为△AOB及其内部．由目标函数z＝3x＋2y得y＝－x＋.当直线y＝－x＋过点A(1，2)时，z取最大值，最大值为7.
5．答案：4
解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时取等号．因此，＋＋的最小值为4.
6．答案：
解析：方法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
方法二 4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．
图1 图2
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得则点M的坐标为(6，3).
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
2．解析：(1)因为f(x)＝，
所以f(－x)＝
＝.
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＝，则a＝0.
(2)由(1)可知，f(x)＝＝x＋，x≠0，
当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．
又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).
单元检测(七) 不等式
1．答案：C
解析：∵a1，a13是方程x2－13x＋16＝0的两根，
∴a1＋a13＝13，a1·a13＝16，∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝a＝16，
又等比数列中奇数项符号相同，可得a7＝4，
∴＝＝4.故选C.
2．答案：C
解析：因为由x＋y≥8推不出x≥1且y≥7，而由x≥1且y≥7可推出x＋y≥8，
所以p：x＋y≥8是q：x≥1且y≥7的必要不充分条件．故选C.
3．答案：B
解析：A：不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错；由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；当b＋c＝0时，没有意义，故D错误．故选B.
4．答案：B
解析：因为a>b>0，所以a＝>，>＝b；
由基本不等式可得>； 所以a>>>b.故选B.
5．答案：C
解析：A：当a>b>0时，a2>b2，则<，故A错误；B：当b＝1，a＝－2时，不满足>，故B错误；C：当b
6．答案：B
解析：因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即2≤2，所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，最大值为.
7．答案：C
解析：令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1).又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值为3＋2.
8．答案：B
解析：＋≥1恒成立，即≥1.
∵0
上述两个不等式中，等号均在x＝2a－x时取到，
∴＝，∴≥1，解得－≤a≤且a≠0，又a>0，
∴实数a的取值范围是.故选B.
9．答案：A
解析：z＝10y－x＝1 115.4－≤1 115.4－2 ＝1 095.4，
当且仅当＝x⇒x＝10时，等号成立．故选A.
10．答案：A
解析：因为＋＝1，所以ab＝a＋b，即b＝＝1＋，由a，b是正数可得a－1>0.于是，＋＝＝4b＋16a－20＝4＋＋16a－20＝＋16(a－1)≥2＝16，当且仅当＝16(a－1)，即a＝时等号成立，所以＋的最小值为16.
11．答案：A
解析：满足不等式组的可行域如图所示．联立解得∴点P(1，3)，联立解得
∴点N(2，2).∵直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，∴k1＝＝2，k2＝＝5.观察图象可知，当直线y＝kx－2在y＝k1x－2和y＝k2x－2之间时，直线上才会存在M内的点，∴2≤k≤5.
12．答案：B
解析：依题意得k≥恒成立，
因为2＝，2＝2≤5x＋y，
所以2＝≤＝6，
当且仅当y＝5x时，等号成立，
所以k≥，即k的最小值为.故选B.
13．答案：
解析：设2a－b＝mf(1)＋nf(－1)＝(m－n)·a＋(m＋n)b，则解得m＝，n＝－，∴2a－b＝f(1)－f(－1)，∵0
解析：原不等式在[1，2]上有解，
它的否定是不等式x2＋mx－2>0在[1，2]上无解，
则，解得m≤－1，
因此不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解时m>－1.
15．答案：2
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)所示，由图知，若a≥3，则直线z＝ax－y经过点B(1，2)时，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，与a≥3矛盾；若0
解析：将a3＝2S2＋1与a4＝2S3＋1作差，可得a4－a3＝2a3，即a4＝3a3.
所以等比数列的公比q＝＝3.因为a1＝1，q＝3，所以an＝1×3n－1＝3n－1.
所以bn＝log3an＝log33n－1＝n－1.所以＝＝.
因为n∈N*，所以n＋≥6，当且仅当n＝3时“＝”成立．
所以＝≤.故k的最小值为.
17．解析：(1)由A＝{x|x2－2mx－4＋m2＝(x－m－2)(x－m＋2)≤0}＝{x|m－2≤x≤m＋2}，
B＝{x|2x2－5x－7＝(2x－7)(x＋1)<0}＝{x|－1
所以，则1
所以m－2≥或m＋2≤－1，可得m≥或m≤－3.
18．解析：(1)因为a2＋b2－[2(2a－b)－5]＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
所以a2＋b2≥2(2a－b)－5.
(2)证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
∴＝··≥··＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴≥8.
19．解析：(1)f(x)＝(x－3)(x－a)，
当a<3时，不等式f(x)<0的解集为(a，3)，
当a＝3时，不等式f(x)<0的解集为∅，
当a>3时，不等式f(x)<0的解集为(3，a).
(2)f(x)＝(x－3)(x－a)，
因为x∈[4，＋∞)，所以由f(x)≥－9可化为：x－a≥，a≤x＋，
因为x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝9(当且仅当x－3＝，即x＝6时等号成立)，
所以a≤9.所以a的取值范围为.
20．解析：(1)∵函数f(x)＝(k>0)，f(x)>m的解集为{x|x<－3或x>－2}，
∴f(－3)＝m，f(－2)＝m，即＝m，且＝m，解得k＝2，m＝－.
故不等式5mx2＋x＋3>0，即不等式－2x2＋x＋3>0，即2x2－x－3<0，解得－1
(2)∵存在x>3使得f(x)>1成立，∴>1在区间(3，＋∞)上有解，
即x2－kx＋3k<0在区间(3，＋∞)上有解，即k>在区间(3，＋∞)上能成立．
令g(x)＝，则只需k>g(x)min.
∵g′(x)＝，∴当x∈(3，6)时，g′(x)<0，g(x)为减函数；当x∈(6，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，故g(x)的最小值为g(6)＝12，∴k>12.
故k的取值范围为(12，＋∞).
21．解析：(1)汽车来回一次的运行成本为×1 300v2×＋×(1 300＋x)v2×＝(2 600＋x)v，
冷藏成本为10x×＝，
∴W＝100x－(2 600＋x)v－.
(2)∵(2 600＋x)v＋≥2
＝5·，
∴W≤100x－5·，当且仅当(2 600＋x)v＝，即v＝40·时取等号.
令100x－5·≥0，得2x≥，解得x≥，
∴当x＝时，v＝40·＝20∈ (0，80]，
故每次至少进货千克，才能使销售后不会亏本．
22．解析：(1)f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0，5)，
∴可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)，
可得函数f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数．
∵f(－1)＝6a，f(4)＝－4a，f(－1)>f(4)，
∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a＝12，得a＝2.
因此，函数的表达式为f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).
(2)由(1)得f(x)＝2－，函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝.
①当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
此时f(x)的最小值g(t)＝f(t＋1)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8；
②当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
此时f(x)的最小值g(t)＝f(t)＝2t2－10t；
③当
综上所述，得g(t)的表达式为：
g(t)＝
第八单元 立体几何
点点练25 空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：由题图可知原△ABC的高AO＝，BC＝B′C′＝2，∴S△ABC＝·BC·OA＝×2×＝.
2．答案：D
解析：由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选D.
3．答案：A
解析：由题知如图所示
则四边形ABDC在左侧面的投影依旧是ABDC，
AE，CF，DG在左侧面的投影分别为点A，C，D，
EF，BE，FG，BG在左侧面的投影分别为AC，BA，CD，BD，
EG在左侧面的投影为AD，且为虚线，由此只有选项A符合．故选A.
4．答案：A
解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，所以l＝2r，所以圆锥的高为＝r，所以×πr2·r＝9π，解得r＝3，故其表面积S＝πr2＋πrl＝9π＋18π＝27π.故选A.
5．答案：D
解析：由三视图可知，几何体为直三棱柱截去一个三棱锥C SAB，如图所示：
其中直三棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，
且AB＝BC＝4，SA＝4，SB＝4，AC＝4，
故几何体的表面积为：×4×4＋×4×4＋×4＋×4＋8×4＝64＋32.故选D.
6．答案：A
解析：∵BC＝BD＝1，∠CBD＝60°，∴CD＝1，又AB＝AB，∠ABC＝∠DBA＝60°，BC＝BD，∴△ABC≌△ABD，则AC＝AD，取CD中点E，连接AE，又由△ACD的面积为，可得△ACD的高AE＝，则可得AC＝AD＝，在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°，
∴3＝AB2＋1－2×AB×1×，解得AB＝2，则AC2＋BC2＝AB2，可得∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，
∴AC⊥BC，AD⊥BD，
根据球的性质可得AB为三棱锥外接球的直径，则半径为1，
故外接球的表面积为4π×12＝4π.
7.
答案：A
解析：由三视图可还原几何体为从长、宽均为，高为2的长方体中截得的四棱锥SABCD，
则四棱锥SABCD的外接球即为长方体的外接球，
∴球C的半径R＝＝，
∴球C的表面积S＝4πR2＝8π.
8．答案：2＋
解析：如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1，由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2.
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×(1＋1＋)×2＝2＋.
9．答案：2
解析：设四面体ABCD所在的长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则得所以四面体ABCD的体积V＝abc－×abc×4＝abc＝2.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：根据题意，作图如下：
如图所示，因为AB＝9 cm，EF＝GH＝3 cm，LO＝3 cm，所以∠A＝60°.
因为原水位线的直径CD＝6 cm，投入石子后，水位线的直径IJ＝5 cm，
则由圆台公式可得：V石子＝π·MN(CN2＋IM2＋CN·IM)＝ cm3；
因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，
即V＝V圆台＋V圆柱体＝π·LN(CN2＋EL2＋CN·EL)＋π·EL2·(KL－)
＝＋＝ cm3，
则需要石子的个数为＝＝≈2.7，所以至少共需要3颗石子．
故选B.
2．答案：C
解析：根据斜二测画法规则知，把直观图∠A′O′B′还原为平面图，如图所示：
所以∠AOB是钝角．
3．答案：A
解析：设三棱柱ABC A1B1C1的底面积为S，其高为h，
设三棱锥P ABC的高为h1，三棱锥P A1B1C1的高为h2，
则h＝h1＋h2，Sh＝16，所以S(h1＋h2)＝16，
即Sh1＋Sh2＝16，又VP ABC＝Sh1＝4，即Sh1＝12，
所以Sh2＝16－Sh1＝16－12＝4，
所以VP A1B1C1＝Sh2＝.
故选A.
4．答案：A
解析：由PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，得PA⊥AC.
由点D是PB的中点及PA＝AB＝PB，
求得AD＝＝，又∵CD＝，
∴AD2＋AC2＝CD2，所以AD⊥AC，
又AD∩AP＝A且AD，AP⊂平面PAB，
∴AC⊥平面PAB.
球心O到底面△PAB的距离d＝AC＝1，
由正弦定理得△PAB的外接圆半径r＝＝＝，
∴球O的半径为R＝＝ ＝ ，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×＝.
故选A.
5.
答案：2
解析：由PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，∵三棱锥外接球的表面积为36π，设外接球的半径为R，则4πR2＝36π，解得R＝3.∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB＝AC＝2，∴22＋22＋PA2＝62，∴PA＝2.
6．答案：
解析：将三视图还原成直观图，如图所示三棱锥P ABC
易得△ABC是等腰三角形，所以tan ∠CAB＝＝，
因为0<∠CAB<π，所以∠CAB＝，
由于△ABC是等腰三角形，所以△ABC的外心H在AC的中垂线BM上，
所以∠HBA＝－＝，因为HB＝AH，所以△AHB是等边三角形，
所以HB＝AH＝AB＝＝2a，
设三棱锥P ABC的外接球的球心为O，故OH⊥平面ABC，O到P，A，B，C的距离相等，
令PA＝h，则OH＝PA＝，所以外接球的半径为OA＝＝ ＝4，即h＝4(0
令f(a)＝4a4－a6，0
所以当0
当
所以当a＝时，三棱锥P ABC的体积最大，为× ＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝3×106×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3).故选C.
2.
答案：D
解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
3．答案：A
解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r＋t2＝r＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
4．答案：A
解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
5．答案：
解析：
如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.
6．答案：26 －1
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)证明：因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
CD⊂平面ABCD，CD⊥BC，
所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PB.
又PB⊥PC，PC∩CD＝C，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以PB⊥平面PCD，
又因为PD⊂平面PCD，
所以PB⊥PD.
(2)设BC的中点为O，连接PO，
因为△PBC是等腰直角三角形，PB⊥PC，所以PO⊥BC，
又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD.
由BC＝2，可得PO＝1，CD＝4，BD＝＝2，PB＝，
由(1)知PB⊥PD，
所以PD＝＝3.
所以S△BCD＝×4×2＝4，S△PBD＝×3×＝3，
所以VP BCD＝S△BCD·PO＝×4×1＝.
设点C到平面PBD的距离为h，
则VP BCD＝VC PBD＝S△PBD·h＝×3h＝h，
所以h＝，即点C到平面PBD的距离为.
2．解析：(1)证明：∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，
∵B1C1＝AA1，AA1＝BB1，∴B1C1＝BB1，∴四边形BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1，
又BC1∩AO＝O，AO⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，
∵AB⊂平面ABC1，∴B1C⊥AB.
(2)在等腰△BCB1中，BB1＝2，∠BB1C＝30°，∴OB＝1，
B1C＝2.∵AO⊥平面BB1C1C，∴∠ABO为直线AB与平面BB1C1C所成的角，
∴∠ABO＝60°，∴AO＝，
VA BB1C1＝·AO·S△BB1C1＝×××2×2sin 60°＝1.
点点练26 空间点、线、面的位置关系
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：由直线m、n和平面α、β知：
对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，
若l∥α，m∥β，α∥β，l与m不一定平行，有可能相交，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；
对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．
故选D.
2．答案：D
解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，
∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
3．答案：D
解析：若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b不可能是平行直线．否则，若c∥b，则有c∥a∥b，得出a，b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，故选D.
4．答案：D
解析：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝＝ ＝a，
作点E在平面ABCD内的射影点G，连结EG，GF，所以EF＝＝ ＝a，所以MN≠EF，故选项A，C错误；
连结DE，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝A1D，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，
又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，
所以MN与EF异面，故选项B错误．
5．答案：A
解析：因为l⊥α，α∥β，根据面面平行的性质知l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥α，则l可能在β内或与β平行，则l可能与m相交、平行或异面，故②错误；由l∥m，l⊥α可推出m⊥α，又m⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；若α，β的交线为m，则l⊥m，推不出α∥β，故④错误．
6．答案：B
解析：假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．
7．答案：②③④
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
8．答案：60°
解析：因为VPOAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB与CF成90°角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直于EF，所以BD与EF成90°角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成90°角，所以AB与EF成90°角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB与CD成60°角，故D正确．
2．答案：D
解析：如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.
分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知RF∥PQ，所以F∈平面α.
又RP∥MQ，所以M∈平面α.
又EF∥RP，所以E∈平面α.
所以六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状．故选D.
3．答案：D
解析：由AB⊥平面BCD知，AB⊥BC，AB⊥BD，则AC＝AD＝＝，
利用等面积法求得斜边上的高BE＝BF＝＝，从而有AE＝AF＝ ＝，则△AEF为等腰三角形，AE不可能与EF垂直，即AC不可能与EF垂直，故A，C错误；由上知，＝＝，设CD＝x，则EF＝x，x∈(0，4)，由余弦定理知，cos ∠FBE＝＝＝1－x2，
则由x∈(0，4)知，cos ∠FBE＝1－x2∈，故∠FBE为锐角，且sin ∠FBE∈(0，)，
△BEF的面积S＝BE·BF·sin ∠FBE＝sin ∠FBE∈(0，)，当取得右侧边界点时，B，C，D三点共线，不能构成三角形，故无最大值，故B错误，D正确．
4．答案：D
解析：由题可知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CP，故A正确；由等体积法得VCBPD＝VPBCD＝·S△BCD·AA1为定值，故B正确；设A1C1的中点为M，当P∈MC1时，如图1所示：
图1
图2
此时截面是三角形D1QC，当P∈MA1时，如图2所示：
此时截面是梯形D1QRC，故C正确；在正方体中，连接D1P，则D1P为DP在平面A1B1C1D1上的射影，则∠D1PD为DP与平面A1B1C1D1所成的角，设正方体的棱长为1，PD1＝x，则PD＝，sin ∠D1PD＝，当x取得最小值时，sin ∠D1PD的值最大，即D1P⊥A1C1时，x的值最小为，所以sin ∠D1PD的值最大为，故D不正确．
5．答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD
解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.
6．答案：②③④
解析：还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．
易知GH与EF异面，BD与MN异面．
又△GMH为等边三角形，
∴GH与MN成60°角，
易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.
因此正确的序号是②③④.
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上，∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，
设CD＝2，则EN＝＝＝2，
BE＝＝＝2，又在正方形ABCD中，BD＝＝2＝BE，∴△EBD是等腰三角形，故在等腰△EBD中，M为DE的中点，∴BM＝＝＝，∴BM＝>2＝EN，即BM≠EN.
又∵点M、N、B、E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线．
2．答案：C
解析：
因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．
设正方体的棱长为2，则BE＝.
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.
在Rt△ABE中，tan ∠BAE＝＝.
3．答案：①③④
解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，¬p2∨p3是真命题，¬p3∨¬p4是真命题．
4．答案：①③⇒②或②③⇒①
解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．
四 经典大题强化篇
1．证明：(1)如图所示．
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)∵EF∥BD且EF
则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，
得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.
∴DE，BF，CC1三线交于点M.
2．解析：(1)证明：在矩形ABGF和菱形ABCD中，AB∥FG，AB∥CD，所以AB∥GE，所以CD∥EG，所以C、D、E、G四点共面．
(2)在Rt△ADE中AE⊥AD，矩形ABGE中AE⊥AB，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，又BG∥EA，所以BG⊥平面ABCD，又S△BCD＝BC·CD·sin ∠BCD＝×2×2×＝，所以VC BDG＝VG BCD＝BG·S△BCD＝×1×＝.
点点练27 直线、平面的平行与垂直关系
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误；④显然正确．
2．答案：B
解析：由题意可知，如图所示
对于A，由图可知，AF与平面BCE不平行，故A错误；
对于B，易知BC⊥平面AFDE，AD⊂平面AFDE，所以BC⊥AD，同理EC⊥AD，
BC∩EC＝C，BC，EC⊂平面BCE，所以AD⊥平面BCE，故B正确．
对于C，在正方形BDCF中，FD⊥BC，易知四边形AFDE为平行四边形，所以AE∥FD，所以AE⊥BC，故C错误．
对于D，在正方形BDCF中，BF∥DC，所以∠DCE为异面直线BF与CE所成角，易知∠DCE＝45°，所以BF与CE不垂直，故D错误．故选B.
3．答案：D
解析：题中未涉及垂直条件，故排除A，B；连接BA1，CD1，则BA1与AB1交于点E，所以直线EF与平面CBA1D1相交，即直线EF与平面D1BC相交，故排除C；连接B1C交BC1于点F，由于平行四边形BCC1B1的对角线互相平分，故F是B1C的中点．因为E是AB1的中点，所以EF是三角形B1AC的中位线，故EF∥AC.又AC⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.故选D.
4．答案：B
解析：∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.又B1C1＝1，B1D＝，可得C1D＝，而平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D与平面ABC所成角的正弦值为＝.
5．答案：B
解析：设正方体的棱长为a，如图，取AD的中点G，连接EG，过G作GH∥DD1，与A1D1交于点H，则点F∈GH，且HG⊥平面ABCD，则∠FEG即为EF与平面ABCD所成角，当EF长度最大时，点F与点H重合，EG＝a，EH＝＝a，得cos ∠HEG＝＝.
6．答案：D
解析：取CD的中点O，连接AO、BO，如图所示：
对于A，点A、F、O和点B、E、O分别共线，
因为点E、F分别为△BCD和△ACD的中心，所以＝＝2，
所以EF∥AB，所以选项A正确；
对于B，因为AO⊥CD，BO⊥CD，且AO∩BO＝O，所以CD⊥平面ABO，即CD⊥平面ABEF，选项B正确；
对于C，因为AB⊂平面ABO，所以CD⊥AB，选项C正确；
对于D，因为EF∥AB，设AB＝1，所以EF＝，
在Rt△AEB中，BE＝BO＝××1＝，
所以AE＝＝＝，选项D错误．
7．答案：
解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：①，由直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m，故①正确；
②，若α⊥β⇒l∥m或l、m异面或l、m相交，故②错误；
③，利用面面垂直的判定，若l∥m⇒α⊥β，故③正确；
④，若l⊥m⇒α∥β或α、β相交或α、β垂直，故④错误．
所以①③正确．
2．答案：B
解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；
对于选项B，若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；
对于选项C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β不一定平行，因此不正确；
对于选项D，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．
综上，正确的命题是B.故选B.
3．答案：D
解析：因为A1N与C1A异面，所以A项错误；
因为A1N的延长线必过点B，所以B项错误；
因为AB1与AB不垂直，所以C项错误；
取BC的中点P，连接PB1，在正方形BCC1B1中，△B1BP与△BCM全等，可得BM⊥B1P，
连接AP，则AP⊥BC，又平面BCC1B1⊥底面ABC，所以AP⊥平面BCC1B1，
因为BM⊂平面BCC1B1，所以BM⊥AP，
又AP∩B1P＝P，所以BM⊥平面B1AP，
因为B1A⊂平面B1AP，所以BM⊥AB1.
故选D.
4．答案：C
解析：A选项，过A作AF⊥BC，垂足为F，
根据直三棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC，
由于AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，
由于BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
所以AF⊥平面BCC1B1，即AF⊥平面B1DE，
由于AF⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面B1DE，A选项正确．
B选项，根据三棱柱的性质可知A1A∥CC1，即A1A∥DE，
由于A1A⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，所以A1A∥平面B1DE，B选项正确．
C选项，若AB1⊥平面ADE，即AB1⊥平面AA1C1C，
由于A1A⊂平面AA1C1C，所以AB1⊥A1A，这与已知AB1，A1A不垂直矛盾，C选项错误．
D选项，VA B1DE＝VB1 ADE，由于三角形ADE的面积为定值、B1到平面AA1C1C的距离为定值，
所以VA B1DE＝VB1 ADE为定值，所以D选项正确．
故选C.
5．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
6．答案：①③④
解析：①设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h′，则VA－A1DE∶VA1－BCDE＝∶(×S梯形EBCD×h)＝S△ADE∶S梯形EBCD＝(×AE×h′)∶＝1∶3，故①正确；②A1C在平面ABCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故②错误；③取CD的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故③正确；易知∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos ∠MFB是定值，故④正确．故答案为①③④.
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.
2．答案：A
解析：A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
①
②
③
④
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴ AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴ AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴ AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴ AB∥平面MNQ.
3．答案：C
解析：
如图，∵ A1E在平面ABCD上的射影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴ B，D错；
∵ A1E在平面BCC1B1上的射影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴ A1E⊥BC1，
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴ BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴ A1E⊥BC1)，故C正确；
∵ A1E在平面DCC1D1上的射影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．
4．答案：ABD
解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．
如图(2)，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确，如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．
如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
5．答案：②③④
解析：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n∥β，则α，β可能相交或平行，所以①错误；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，所以②正确；若α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，③正确；由线面所成角的定义可得④正确．故正确命题是②③④.
6．答案：
解析：
设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE、OF、OC，
∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，
又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE，
∴AC⊥OE，
同理有BC⊥OF，∴四边形OECF为矩形，
∵PC＝PC且PE＝PF，
∴Rt△PEC≌Rt△PFC，
∴EC＝FC＝＝1，
∴四边形OECF是边长为1的正方形，
∴OC＝，
在Rt△POC中，PO＝＝.
四 经典大题强化篇
1．证明：(1)取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE.
又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，
所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE.
又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN.
又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE.
(2)因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC.
又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面ACD.
又因为BC∥DE，所以DE⊥平面ACD.
因为DE⊂平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE.
2．解析：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，CE＝CD·sin 45°＝1，DE＝CD·cos 45°＝1，
又因为AB＝1，则AB＝CE.
又CE∥AB，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．
因为AD＝3，所以BC＝AE＝AD－DE＝2，
SABCD＝(BC＋AD)·AB＝(2＋3)×1＝，
VP ABCD＝SABCD·PA＝××1＝.
于是四棱锥P ABCD的体积为.
3．解析：(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，
沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE，
∵A1E∩BE＝E，∴DE⊥平面A1BE，
∵A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B.
(2)证明：取CD中点F，连接NF，MF，
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MF∥A1D，NF∥DE，
又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE⊂平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，NF⊂平面MNF，MF⊂平面MNF.
∴平面A1DE∥平面MNF，
∴MN∥平面A1ED.
(3)取A1B的中点G，连接EG，
∵A1E＝BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，
∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，此时＝1.
单元检测(八) 立体几何
1．答案：D
解析：若α⊥β，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A不正确；若平面α，β都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项B不正确；若平面α，β都垂直于同一平面，则平面α，β可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面α内存在一条直线与平面β垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知α⊥β，若α⊥β，则由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面β，故选项D正确．
2.
答案：B
解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆．
3．答案：D
解析：由a、b为两条直线，α、β为两个平面，
在A中，若a⊥b，a⊥α，则可能存在b⊂α的情况，故A错误；
在B中，若a⊥b，b∥α，则可能存在a⊥α的情况，故B错误；
在C中，若a∥b，a∥α，则可能存在b⊂α的情况，故C错误；
在D中，若α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β，故D正确．故选D.
4．答案：B
解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥P－ABCD如图所示．
根据三视图可得，AB＝1，PD＝2，AD＝2.
根据立体图形可知，最长边为PB.
连接DB，在Rt△ADB中，根据勾股定理得
DB2＝AD2＋AB2＝22＋12＝5，
在Rt△PDB中，根据勾股定理得PB2＝PD2＋DB2＝4＋5＝9，
所以PB＝3.
故该几何体的最长棱的长度为3.
5．答案：A
解析：如图1，易知△A1BC1为正三角形，于是B，C，D都有可能，
对A，如图2，
若△EFG为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设EF⊥FG，由正方体的性质可知：GB1⊥EF，GB1∩FG＝G，所以EF⊥平面ABB1A1，而EB1⊥平面ABB1A1，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，A错误．故选A.
6．答案：A
解析：如图，
因为CC1∥BB1，所以∠CC1A即为异面直线AC1与BB1所成角，
设AD＝2，则AB＝AA1＝1，在长方体中AC1＝＝，
在Rt△ACC1中，cos ∠CC1A＝＝＝，故选A.
7．答案：A
解析：由AB∥PC，AB⊥BC，AD⊥PC，
得AD∥BC.
∵AD⊥PD，AD⊥DC，PD∩DC＝D，∴AD⊥平面PDC.
又AD∥BC，∴BC⊥平面PDC，∴B正确．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，AB⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，AB⊥平面PAD.∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∴C正确．
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，∴△PAB是直角三角形．又PB的中点为N，∴PB＝2AN，∴D正确．
8．答案：C
解析：由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.
且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得＝2r，
即＝2r，所以r＝4.
设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则(2R)2＝PM2＋(2r)2，
即(2R)2＝4＋64＝68，所以R2＝17，
所以外接球的表面积为4πR2＝68π.
9．答案：C
解析：设该四棱锥为P ABCD，则由题意可知四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2，如图，过点P作PE⊥CD交CD于点E，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD所成的角，则PE＝＝，AE＝＝2，
所以tan ∠PAE＝＝＝.故选C.
10．答案：C
解析：取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为BB1，CC1，AB的中点可得MC∥B1N，MC⊄平面AB1N，B1N⊂平面AB1N，
所以MC∥平面AB1N，同理MQ∥AB1得MQ∥平面AB1N，MC∩MQ＝M，MC，MQ⊂平面MNQ，则平面MQC∥平面AB1N，
所以动点P的轨迹为△MQC及其内部(挖去点M).
在正三棱柱ABC A1B1C1中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则CQ⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，则CQ⊥平面ABB1A1，QM⊂平面ABB1A1，所以CQ⊥QM.
因为AB＝4，所以CQ＝2，因为侧棱长是6，所以AB1＝2.
所以MQ＝，则△MQC的面积S＝×2×＝，
故动点P的轨迹面积为.故选C.
11．答案：A
解析：如图，取AC的中点E，连接DE，BE，
因为AD＝CD，所以DE⊥AC，
因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面DAC，
所以DE⊥平面ABC，
因为∠ABC＝90°，所以棱锥外接球的球心O在直线DE上，
因为AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，DA＝DC＝，
所以BE＝AE＝CE＝AC＝，DE＝＝2，
设OE＝x，则OD＝2－x，OB＝＝，
所以2－x＝，解得x＝，
所以外接球的半径为r＝2－x＝2－＝，
外接球的体积为V＝＝×()3＝.
12．答案：C
解析：对于①，连接EF，FG，GH，EH，A1B，作图如下：
在正方体ABCD A1B1C1D1中，易知EH∥A1B，在△A1B1B中，∵F，G分别为A1B1，BB1的中点，∴A1B∥FG，则FG∥EH，命题①正确；
对于②，连接EF，FG，GH，EH，A1B，DF，作图如下：
在△BCB1中，∵G，H分别为BB1，BC的中点，∴GH∥CB1，同理在△A1B1D1中，EF∥B1D1，
∵GH⊄平面CB1D1，CB1⊂平面CB1D1，∴GH∥平面CB1D1，同理可得EF∥平面CB1D1，
∵FG≠EH，∴EF与GH相交，由EF，GH⊂平面EFGH，则平面EFGH∥平面CC1B1，因为平面EFGH∩平面EFD＝EF，所以命题②错误；
对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，
因为EF∥BD，且EF＝BD，所以MF＝BF，又因为FI∥BC，且FI＝BC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；
对于④，取C1D1的中点K，连接CK，
则CK∥BF，则CK与B1C所成的角θ即为直线BF与直线B1C所成的角，连接B1K，设正方体的棱长a＝2，则B1C＝2，B1K＝，CK＝，由余弦定理得cos θ＝＝＝＝，命题④正确．
综上知，①③④正确．
故选C.
13．答案：
解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2，可得每个正四棱锥的斜高为＝，高为＝，则该正八面体的体积为×2＝.
14．答案：
解析：设AB的中点为E，连接ED1，则易知BE∥C1D1，BE＝C1D1，∴四边形EBC1D1是平行四边形，∴BC1∥ED1，∴∠AD1E为直线AD1与BC1所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴BA⊥AD，∵DD1⊥底面ABCD，∴BA⊥DD1，又AD∩DD1＝D，∴BA⊥平面AA1D1D，∴BA⊥AD1，△AED1是直角三角形．设DD1＝AB＝2A1B1＝2a，则AD1＝＝＝2a，ED1＝＝＝3a，∴cos ∠AD1E＝＝.
15．答案：π
解析：设G为△ABC外接圆圆心，O为三棱锥P ABC外接球球心，
则OG⊥平面ABC，作OM⊥PA，垂足为M，
由正弦定理可知△ABC外接圆直径：
2r＝2AG＝＝＝，
∴AG＝，
∵PA⊥平面ABC，OG⊥平面ABC，
∴AP∥OG，
又OM⊥PA，AG⊥PA，∴OM∥AG，
∴四边形OMAG为矩形，∴OG＝AM.
设OG＝x，OP＝OA＝R，
在Rt△OMP和Rt△OGA中，由勾股定理可得：，解得：
∴三棱锥P ABC外接球体积：V＝πR3＝π.
16．答案：
解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD.由题意可得AD＝BD＝CD＝2，
因为PA＝PB，所以PD⊥AB，
因为PA＝，所以PD＝3，所以PD2＋CD2＝PC2，所以∠PDC＝90°，
即PD⊥CD.因为AB∩CD＝D，所以PD⊥平面ABC，
设三棱锥P ABC外接球的球心为O，
由题意易得三棱锥P ABC外接球的球心O在线段PD上，如图，
则三棱锥P ABC外接球的半径R满足R2＝(PD－OD)2＝OD2＋AD2，
解得OD＝，所以R＝3－＝，R2＝；
若三棱锥P ABC外接球的球心O在线段PD的延长线上，如图，
则三棱锥P ABC外接球的半径R满足R2＝(PD＋OD)2＝OD2＋AD2，
(3＋OD)2＝OD2＋22，无解；
所以，三棱锥P ABC外接球的表面积S＝4πR2＝.
17．解析：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD；又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD，得证．
(2)如图所示，取PA的中点Q，PD的中点H，连接BQ、QH、HE，
所以会有QH∥AD，QH＝AD，又BE∥AD，BE＝AD，
所以QH∥BE且QH＝BE，
所以四边形BQHE为平行四边形，
所以BQ∥EH，BQ⊄面PDE，EH⊂面PDE，
所以BQ∥平面PDE，
所以Q点，即为我们要找的F点．
18．解析：(1)因为SB＝SC＝3，又D为BC的中点，
所以SD⊥BC，且SD＝＝4，
连接AD，AB＝AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，且AD⊥BC，
AD＝BC＝，由AD2＋SD2＝SA2，可知SD⊥AD，
由SD⊥AD，SD⊥BC，AD∩BC＝D，可知SD⊥平面ABC.
(2)作CH⊥DE，垂足为H，又由(1)可得SD⊥CH，所以CH⊥平面SDE.
故CH的长为点C到平面SDE的距离．
由题设可知DC＝BC＝，
CE＝AC＝，∠ACD＝45°.
所以由余弦定理得DE＝＝，
所以CH＝＝.
所以点C到平面SDE的距离为.
19．解析：(1)在平面ABCD内过点C作BD的平行线l，则直线l即为所作．
连接BD，B1D1，如图，
因为l⊂平面ABCD，l∥平面C1BD，平面C1BD∩平面ABCD＝BD，则l∥BD，
平行六面体ABCD A1B1C1D1的对角面BDD1B1是平行四边形，即B1D1∥BD，
所以l∥B1D1.
(2)连AC∩BD＝O，连接C1O，如图，
菱形ABCD中，∠DCB＝，则BD＝CD＝2，BO＝OD＝1，CO＝，
在△C1CD中，C1D＝＝，同理，在△C1CB中，C1B＝，
即△BC1D为等腰三角形，有C1O⊥BD，且C1O＝1，在△C1CO中，C1C2＝OC2＋C1O2，则C1O⊥OC，
而BD∩OC＝O，BD，OC⊂平面ABCD，于是得C1O⊥平面ABCD，
对角面ACC1A1为平行四边形，即A1C1∥AC，又AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，则A1C1∥平面ABCD，
因此点A1到平面ABCD的距离等于点C1到平面ABCD的距离C1O＝1，
因为∠A1AD＝∠B1BC＝π－∠C1CB，在△A1AD中，A1D＝＝，
同理A1B＝，等腰△A1BD底边BD上的高h＝＝，S＝BD·h＝，S△CBD＝，
设点C到平面A1BD的距离为d，由V＝V得，S·d＝S△CBD·C1O，则d＝＝＝，
所以点C到平面A1BD的距离为.
20．解析：(1)证明：因为EF∥底面ABCD，EF⊂平面ABFE，
平面ABFE∩ 底面ABCD＝AB，所以EF∥AB；
因为EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点，
所以EM⊥AD，FN⊥BC，而AB＝2AD＝2EF＝8，且MN⊥BC，
因为MN＝AB≠EF，且EF∥AB，
所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，
又AD∥BC，所以EM⊥BC，又MN⊥BC，而EM，FN⊂平面EFNM,
故BC⊥平面EFNM.
(2)由(1)知BC⊥平面EFNM，EH⊂平面EFNM，所以BC⊥EH，
因为EH⊥MN，MN∩BC＝N，MN，BC⊂平面ABCD，
所以EH⊥平面ABCD，
则∠EMH为EM与底面ABCD所成的角，则 ∠EMH＝，
因为MH＝＝2，所以EH＝2，
作HG⊥AB，垂足为G，连接EG，则HG＝AM＝2，
作HK⊥EG，垂足为K，
因为EH⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以EH⊥AB，
EH∩HG＝H，EH，HG⊂平面EHG，所以AB⊥平面EHG，
HK⊂平面EHG，所以AB⊥HK，EG∩AB＝G，EG，AB⊂平面ABFE，
所以HK⊥平面ABFE，则HK即为要求作的距离，
又EH⊥底面ABCD，HG⊂底面ABCD，所以EH⊥HG，
且EH＝2，GH＝2，∴EG＝2，
所以HK＝＝＝，
所以H到平面ABFE的距离为.
21.
解析：(1)证明：因为△ABD与△ABC共面，所以连接CD与AB相交于点O，
因为PABD和QABC是相同的正四面体，所以四边形ACBD为菱形，则O为AB的中点，连接PO，QO，因为PA＝PB，QA＝QB，所以PO⊥AB，QO⊥AB，
又因为PO∩QO＝O，所以AB⊥平面POQ，所以PQ⊥AB.
(2)在四边形DPQC中，过点P，Q分别作PP1⊥CD，QQ1⊥CD，垂足分别为P1，Q1，
如图所示，可得P1，Q1分别为等边△ABD和等边△ABC的中心，
因为AB＝2，在等边△ABD中，可得OD＝，则DP1＝，OP1＝，
在直角△DPP1中，可得PP1＝＝，
同理可得OQ1＝，所以PQ＝P1Q1＝OQ1＋OP1＝，
由(1)知，AB⊥平面POQ，可得AO⊥平面POQ，
又S△POQ＝PQ·PP1＝××＝，
所以VA PQB＝2VA POQ＝2××S△POQ×OA＝.
22．解析：(1)在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，
所以EF∥AB.
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
所以AB∥平面DEF.
(2)在题图甲中，因为CD是正△ABC的高，
所以AD⊥CD，BD⊥CD，AD＝BD＝1，
所以在题图乙中，AD⊥CD，BD⊥CD，所以∠ADB是二面角A DC B的平面角，
又二面角A DC B是直二面角，所以AD⊥BD，
由于CD∩BD＝D，CD，BD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD.
因为E是AC的中点，所以三棱锥E DFC的高为AD＝.
三角形ABC的面积是×2×2×sin ＝，
又F是BC的中点，所以S△DCF＝S△ACD＝S△ABC＝，
所以VE DCF＝··＝.
因为DE＝DF＝1，EF＝AB＝，
所以S△DEF＝··＝.
设点C到平面DEF的距离为d，则··d＝，
解得d＝，
所以点C到平面DEF的距离为.
第九单元 直线与圆的方程
点点练28 直线与方程
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以直线方程为y＋2＝－(x－)，即x＋y＋＝0.
2．答案：D
解析：由l：x＋y＋1＝0可得y＝－x－，所以直线l的斜率为k＝－，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝－，因为0°≤α<180°，所以α＝150°.
3．答案：A
解析：∵直线(2λ－3)x＋(λ＋1)y＋3＝0与直线(λ＋1)x－λy＋3＝0互相垂直，
∴(2λ－3)(λ＋1)－λ(λ＋1)＝0，∴λ＝3或－1，
而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，
∴“λ＝3”是“直线(2λ－3)x＋(λ＋1)y＋3＝0与直线(λ＋1)x－λy＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，
故选A.
4．答案：B
解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x＋y＝a，
因为直线过点M，代入可得a＝－3，即x＋y＋3＝0；
当所求直线过原点时，设直线方程为y＝kx，
因为直线过点M，代入可得k＝2，即2x－y＝0，
综上可得，所求直线的方程为2x－y＝0或x＋y＋3＝0.
故选B.
5．答案：B
解析：设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为A，则，解得，故A(－，)，同理设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为B，
则B(－，)，
设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为C，
则C(－，)，
设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为D，
则D(－，)，
由菱形的性质可知BD⊥AC，且BD，AC的斜率均存在，所以kBD·kAC＝－1，
则·＝－1，即＝－1，解得|c1－c2|＝2.
6．答案：D
解析：若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0；
若直线l不经过原点，可设直线l的方程为＋＝1，
把点P代入可得＋＝1，解得a＝4，
∴直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－8＝0，
综上可得直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－8＝0.
故选D.
7．答案：4x－3y＋9＝0
解析：方法一 由方程组解得 即交点为(－，)，
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝(x＋)，即4x－3y＋9＝0.
方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得交点为(－，)，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
方法三 由题意可设所求直线方程为
(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0 ①
又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
8．答案：2
解析：∵直线3x＋4y＋3＝0与直线6x＋my－14＝0平行，∴m＝8，6x＋8y－14＝0可化为3x＋4y－7＝0.∴它们之间的距离为＝2.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：l1⊥l2，则b＋a－1＝0，∴a＝1－b，
所以a2＋b2＝2＋b2＝4b2－2b＋1，
二次函数的抛物线的对称轴为b＝－＝，
当b＝时，a2＋b2取最小值.
故选A.
2．答案：B
解析：对于直线3x＋y＋2＝0，令x＝0得y＝－2，所以直线3x＋y＋2＝0在y轴上的截距为－2，故A错误；直线y＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；若两直线的斜率k1，k2满足k1＝k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误．
故选B.
3．答案：B
解析：设点B(x，y)，则
解得则B(0，3).
由已知可得直线m的方程为y－1＝k(x＋2)，与方程x＋y－1＝0联立，
解得x＝－，y＝，
则C.
由已知可得直线AB的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，且|AB|＝2，
则点C到直线AB的距离d＝＝，
所以S△ABC＝×2·＝2，即|1－k|＝|k＋1|(k≠－1)，解得k＝0.
4．答案：C
解析：动直线x＋my＝0，令y＝0，解得x＝0，因此此直线过定点A(0，0).
动直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)＋3－y＝0，令x－1＝0，3－y＝0，解得x＝1，y＝3，因此此直线过定点B(1，3).
当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P(0，3)，S△PAB＝×1×3＝.
当m≠0时，两条直线的斜率分别为－，m，则－·m＝－1，因此两条直线相互垂直．
设|PA|＝a，|PB|＝b，
∵|AB|＝＝，∴a2＋b2＝10.
又a2＋b2≥2ab，∴ab≤5，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
∴S△PAB＝|PA|·|PB|＝ab≤.
综上，△PAB的面积最大值是.
5．答案：2x－y－5＝0
解析：因为∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为x＝0，y＝x，所以直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．则点A(－3，1)关于直线x＝0对称的点A′(3，1)在直线BC上，点A(－3，1)关于直线y＝x对称的点A″(1，－3)也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为＝，即y＝2x－5.
6．答案：②③
解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，
∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2，1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.
①r＝1时，圆心P(1，1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；
②r＝5时，圆心P(5，5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.
2．答案：B
解析：方法一 点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离为d＝＝，注意到k2＋1≥2k，于是2(k2＋1)≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．
即|k＋1|≤·，所以d＝≤，故点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为.
方法二 由题意知，直线l：y＝k(x＋1)是过点P(－1，0)且斜率存在的直线，点Q(0，－1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝.
3．答案：C
解析：由题意可得d＝＝
＝
＝(其中cos φ＝，sin φ＝)，∵－1≤sin (θ－φ)≤1，∴≤d≤，＝1＋，∴当m＝0时，d取最大值3.
4．答案：4
解析：通解 设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
优解 由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)易知点A到直线x－2y＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.
由题意得＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，
∴λ＝2或.
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由解得交点为P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax＝|PA|＝.
2．解析：(1)由方程组
解得点A(－1，0).
又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1).
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1).
解方程组得点C的坐标为(5，－6).
(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC|＝＝4，点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝＝，所以△ABC的面积为×4×＝12.
点点练29 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝＜，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
2．答案：A
解析：圆心(3，－1)到直线x－3y＋4＝0的距离为：d＝＝，因为直线与圆相切，所以r＝，所以圆的方程是(x－3)2＋(y＋1)2＝10.
3．答案：A
解析：联立解得P(a，3a)，所以(a－1)2＋(3a－1)2＜4，所以－＜a＜1.
4．答案：D
解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为5＋1＝6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.
5．答案：D
解析：圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心(2，－1)到直线的距离为＝，所求弦长为2＝.
6．答案：C
解析：方法一 因为C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，所以圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r＝2，两圆的公共弦所在的直线的方程为4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因为C1(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，所以两圆的公共弦的长为2＝2＝2.
方法二 因为C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，所以两圆的公共弦所在的直线方程为4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝20，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径r＝2.因为C2(2，－2)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以两圆的公共弦的长为2＝2＝2.
7．答案：9
解析：圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
8．答案：x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
解析：将⊙C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2，3)，半径为4.
当切线的斜率不存在时，x＋2＝0适合；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.由＝4，
得k＝－，所以切线方程为7x＋24y＋14＝0.
综上，所求切线方程为x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：直线y＝kx－1过定点P(0，－1)，圆心C(1，0)，当直线CP与弦垂直时，弦长最短，|CP|＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.
2．答案：A
解析：由于x2＋y2－6x＋4y＋12＝0可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1的圆心为(3，－2)，半径r1＝1.
由于x2＋y2－14x－2y＋14＝0可化为(x－7)2＋(y－1)2＝36，则圆C2的圆心为(7，1)，半径r2＝6.所以圆C1，C2的圆心距|C1C2|＝＝5＝r2－r1，则两圆内切，所以它们只有1条公切线．
3．答案：D
解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为3，
设点(1，－2)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(m，n)，
则，解之得.
则圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的圆心坐标为(3，0)，
则该圆的方程为(x－3)2＋y2＝9, 故选D.
4．答案：±
解析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由圆的方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，得到圆心坐标为(1，2)，半径 r＝2，∵圆心到直线x－my－1＝0的距离 d＝.
∵|AB|＝2，∴r2＝d2＋2，∴4＝＋3，∴m＝±.
5．答案：
解析：把圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化为标准式(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心C(1，2)，半径r＝1.
则表示圆C上的点P(a，b)与圆外的点Q(－1，1)连线的斜率．
设过点Q(－1，1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.
当直线kx－y＋k＋1＝0与圆C相切时，斜率k取最值．
由＝1，解得k＝0或k＝.
∴的最大值是.
6．答案：3
解析：由题知，圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心为(0，a)，半径r＝a.
圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.故圆M的方程为x2＋(y－2)2＝4.过点A(3，0)作圆M的切线，所以切线长为
＝＝3.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：设该圆的圆心为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，∵该圆过点(3，4)，∴(3－a)2＋(4－b)2＝1，此式子表示点(a，b)在以(3，4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a，b)到原点的最小值为－1＝4.
2．答案：B
解析：由x2＋y2－6x＝0得圆心为(3，0)，设此点为C，点(1，2)为A，当过点A的弦与AC垂直时，弦长最小，易知|AC|＝＝2，因为半径，半弦长，弦心距构成直角三角形，所以弦的长度的最小值为2＝2.
3．答案：D
解析：方法一(直接计算法) 由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l上，又在曲线y＝上，∴
∴kx0＋m＝，即k·＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝相切，
∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去).∵y＝的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.
方法二(选项分析法) 由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝的切点为P(x0，y0)，则x0－＝2.解得x0＝，则y0＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝内，不符合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意．
4．答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝]
解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2).(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝ ＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋＝.(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组解得则半径r＝ ＝，所以圆的方程为＋(y－1)2＝.
5．答案：－2
解析：设直线2x－y＋3＝0为l，则AC⊥l，又kl＝2，
∴kAC＝＝－，解得m＝－2，
∴C(0，－2)，
∴r＝|AC|＝＝.
6．答案：[，]
解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)因为圆C：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，则C，r＝＝，
又因为＝，所以(x－2)2＋(y－1)2－2＝x2＋y2，
即4x＋2y－3＝0.
(2)当切线过原点时，设切线为y＝kx，则＝，
解得k＝，因而y＝x.
当切线不过原点时，设切线为x＋y－a＝0，
则＝，解得a＝1或5.
从而x＋y－1＝0或x＋y－5＝0，
所以切线方程为y＝x，x＋y－1＝0，x＋y－5＝0.
2．解析： (1)设P(x，y)，因为A(－4，0)，B(2，0)，|PA|＝2|PB|，所以＝2，整理得x2＋y2－8x＝0，所以曲线C的方程为x2＋y2－8x＝0.
(2)设所求方程为x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－8x)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－8λx－4＝0，将M(2，－2)代入上式得(1＋λ)·22＋(1＋λ)·(－2)2－8λ·2－4＝0，解得λ＝，
所以所求圆的方程为x2＋y2－x－＝0.
单元检测(九) 直线与圆的方程
1．答案：B
解析：根据题意，设点M的坐标为(a，b)，由点M在直线y＝x＋1上，可得b＝a＋1 ①，由直线MN的斜率为2，可得＝2 ②，联立①②，解得即点M的坐标为(4，5).
2．答案：A
解析：由直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，知a(a－1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a＝3或a＝－2.所以“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的充分不必要条件．
3．答案：C
解析：由，消去参数k得(x－1)2＋(y－1)2＝2，
所以A在以C(1，1)为圆心，为半径的圆上，
又点B是圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，此圆圆心为D(－2，－3)，半径为，
＝＝5，
∴的最大值为＋＋＝5＋2.
故选C.
4．答案：A
解析：若圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切，
当两圆外切时，＝2＋1，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，＝2－1，所以a＝1或a＝－1.
当a＝3时，圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切，
所以“a＝3”是“圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切”的充分条件．
当圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切时，a＝3不一定成立，
所以“a＝3”是“圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆x2＋y2＝1与圆2＋y2＝4相切”的充分不必要条件．
故选A.
5．答案：B
解析：由已知得圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a，2)，半径r1＝1.圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心C2(b，2)，半径r2＝2.
∵圆C1与圆C2相外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2＝＝3，即a＋b＝3.由基本不等式，得ab≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立．
6．答案：D
解析：圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝10，则圆心C的坐标为(3，－1)，半径为.过点E的最短弦满足E恰好为弦的中点，则|CE|＝＝，所以|AB|＝2＝2.
7．答案：C
解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
8．答案：B
解析：化圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0为(x－2)2＋2＝9，
可得圆心坐标为M，半径为3.
由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故|AC|＝6.
因为O，所以|MO|＝.
弦最短时，弦BD与MO垂直，且经过点O，此时|BD|＝2＝4.
故四边形ABCD的面积为|AC|×|BD|＝×6×4＝12.
故选B.
9．答案：A
解析：设圆C1关于x轴的对称圆的圆心为A(2，－3)，半径为1.圆C2的圆心坐标为(3，4)，半径为3.则|PM|＋|PN|的最小值即为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径，
即 －1－3＝5－4.
10．答案：C
解析：
如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋.整理为一般式，即x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，分别对应题中的A，B，D选项．
11．答案：C
解析：因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
对A，若圆C2与x轴相切，则圆心到x轴的距离等于半径，所以|m|＝2，故A正确；
对B，当m＝－3时，＝＝2>6>2＋，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；
对D，直线kx－y－2k＋1＝0变形为y－1＝k(x－2)，过定点，
因为(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，
所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选C.
12．答案：B
解析：根据题意，圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，设圆心到直线x＋y－k＝0的距离为d.若直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，则d＝＝<2，则k<2.设与的夹角∠AOB＝θ，若·≥－2，即||×||×cos θ≥－2，变形可得cos θ≥－，则0<θ≤，当θ＝时，d＝1，若θ≤，则d＝≥1，解得k≥，则k的取值范围为[，2).
13．答案：
解析：因为B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)，所以直线BC的方程为＋＝1，过A(2，2)，所以＋＝1，即＋＝.
14．答案：－3
解析：抛物线y2＝6x的准线为x＝－，
圆C：x2＋y2－ax－(a＋1)y＝0，则圆心坐标为，
所以－＝，解得a＝－3.
15．答案：或(二选一即可)
解析：若∠AO1B＝，设圆心O1到直线AB的距离为d，则d＝＝.两圆方程相减得直线AB的方程：2x＋2y＋6－r2＝0，故圆心O1(1，1)到直线AB的距离为d＝＝＝，解得r＝或r＝.
16．答案：2
解析：
由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所以PQ⊥C2Q，由勾股定理，得|PQ|＝，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小．
显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，
此时，|PC2|＝|C1C2|－1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，
|C1C2|＝＝≥2，
当k＝2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小．
17．解析：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，(0，8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，又设该直线与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有
①②
由①解得xA＝，
由②解得xB＝.
因为点M平分线段AB，
所以xA＋xB＝2xM，
即＋＝0，解得k＝－.
故所求的直线方程为y＝－x＋1，
即x＋4y－4＝0.
18．解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴－D＋－3＝0 ①.
又点A(5，2)，点B(3，2)在圆上，
∴25＋4＋5D＋2E＋F＝0 ②，
9＋4＋3D＋2E＋F＝0 ③.
由①②③得，D＝－8，E＝－10，F＝31，
此时D2＋E2－4F>0，
∴圆的方程为x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
∴a＋2b＝0 ④.
∵点C(2，3)在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2 ⑤.
又直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，圆心(a，b)到直线x－y＋1＝0的距离d＝，
∴()2＋()2＝r2 ⑥.
由④⑤⑥得，a＝6，b＝－3，r2＝52或a＝14，b＝－7，r2＝244，
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
19．解析：(1)证明：直线l：mx－y＋2－m＝0可化为m(x－1)－y＋2＝0，
可知恒过点D(1，2).
将D(1，2)代入圆的方程可得x2＋(y－1)2＝12＋(2－1)2＝2<5，
即D(1，2)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，
故对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.
(2)因为∠ACB＝120°，圆C的半径长为，
所以圆心C(0，1)到直线mx－y＋2－m＝0的距离为，
故＝，解得m＝－4±.
(3)由(1)可得kCD＝＝1，当弦|AB|最短时，直线l的斜率为－1，即m＝－1，故此时直线l的方程为－x－y＋3＝0，即x＋y－3＝0.
20．解析：(1)设直线l与圆C交于A，B两点．
∵直线l：y＝x＋2被圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝r2(r>0)截得的弦长等于该圆的半径，
∴△CAB为边长为r的正三角形，
∴△CAB的高为r，
∴圆心C到直线l的距离为r.
∵直线l的方程为x－y＋2＝0，圆心C的坐标为(3，2)，
∴圆心C到直线l的距离d＝＝＝r，∴r＝，
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝6.
(2)
设圆心C到直线m的距离为h(h>0)，H为DE的中点，连接CH.
在△CDE中，∵|DE|＝2＝2，
∴△CDE的面积为S△CDE＝|DE|·|CH|＝·2·h＝h·.
∴S△CDE＝≤＝3，
当且仅当h2＝6－h2，即h＝时等号成立，△CDE的面积取得最大值．
∵CH＝＝·|n＋1|＝h＝，
∴|n＋1|＝，∴n＝±－1.
故存在n＝±－1，使得△CDE的面积最大，最大值为3，此时直线m的方程为y＝x±－1.
21．解析：(1)由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆心C在直线y＝x上，∴a＝b，
故圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心(a，a)，半径r＝2.
设圆心到直线x＋y＝2的距离为d，则d＝＝，
即d＝＝，解得：a＝0或a＝2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4或(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由a≤0，可知圆C的方程为x2＋y2＝4.
当直线l斜率不存在时，此时|MN|＝4，|PQ|＝2＝2，
此时SPMQN＝|PQ|·|MN|＝×4×2＝4，
当直线l斜率存在，设为k，则直线l方程为y＝kx＋1，圆心到直线l的距离设为d，
则d＝，则|MN|＝2＝2，
同理可得|PQ|＝2＝2，
则SPMQN＝|PQ|·|MN|＝2≤4－＋4－＝7，
当且仅当4－＝4－，即k2＝1时等号成立，
综上可知四边形PMQN面积的最大值为7.
22．解析：(1)圆心C到直线l的距离d＝＝2，因为直线与圆相切，
所以半径r＝2，圆C的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝20.
(2)
设MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AB，·＝0，且＋＝2，∴·＝2·＝2·＝2·，
AC的斜率为k＝＝－2，所以AC与直线l垂直，
A到直线l的距离为＝，所以在方向上的投影为－，
又因为＝＝，
所以·＝2·＝2××＝－10，
即·为定值－10.
第十单元 圆锥曲线
点点练30 椭圆
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
2．答案：B
解析：当m>0时方程＋＝1不一定表示椭圆，如m＝4时方程＋＝1，即x2＋y2＝4就表示一个圆，所以“m>0”不是“方程＋＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程＋＝1表示椭圆时，应有m>0，所以“m>0”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要条件，故选B.
3．答案：A
解析：如图所示
设点Q所在椭圆的另一焦点为F，则
＋＝＋4－≤＋4＝4－＋4＝5.
故选A.
4．答案：B
解析：椭圆的离心率e＝＝，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2，故选B.
5．答案：B
解析：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，则r1＋r2＝2a＝2，
由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos ，
即4c2＝r＋r＋r1r2＝(r1＋r2)2－r1r2＝4－r1r2，
所以r1r2＝4－4c2，
因为S△F1MF2＝S△F1MA＋S△AMF2，
所以r1r2sin π＝r1·|MA|·sin ＋r2·|MA|·sin ，
整理得r1r2＝(r1＋r2)·|MA|，即4－4c2＝2×，整理得c2＝，
所以c＝，a＝1，e＝＝.
故选B.
6．答案：C
解析：易知M的轨迹为椭圆，其方程为＋x2＝1，设M(x，y)，则x2＝1－，
∴·＝(－x，－y)·(－x，－－y)＝x2＋y2－3＝y2＋(1－)－3＝－2，
因为y∈[－2，2]，所以y2∈[0，3]，即－2∈[－2，1]，
∴(·)max＝1.
7．答案：2
解析：设椭圆方程为＋＝1，由离心率为可得＝，由a2＝b2＋c2可得＝，又＋＝1，解得a2＝9，b2＝8，c＝1，焦距为2.
8．答案：5
解析：由题得c＝，由题得PF2⊥x轴，当x＝时，＋＝1，所以y＝±1，∴|PF2|＝1，
所以|PF1|＝2×3－|PF2|＝6－1＝5，
所以|PF1|是|PF2|的5倍．
二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：在椭圆C：＋＝1(a>)中，由椭圆的定义可得＋＝2a，因为＝5，所以＝，＝，在△PF1F2中，＝2c，由余弦定理得2＝2＋2－2cos ∠F1PF2，即4c2＝＋－＝，所以＝，又b2＝15.所以a2＝36，所以椭圆C的方程为＋＝1.
故选C.
2．答案：D
解析：因为2
当且仅当m＝4时，等号成立，
故e1·e2的最大值为，e1·e2无最小值．故选D.
3．答案：C
解析：不妨设点P在x轴上方，如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，所以＝.因为OE∥PF，所以＝，从而有＝.又M是线段PF的中点，所以e＝＝＝＝.
4．答案：D
解析：如图所示：设椭圆的左焦点F′，由椭圆的对称性可知，
四边形AFBF′为平行四边形，又·＝0，即FA⊥FB，
所以平行四边形AFBF′为矩形，所以＝＝2c，
设＝|BF|＝n，＝m, 在直角△ABF中，m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
得mn＝2b2，所以＋＝，
令＝t，得t＋＝，又由≤≤2，得＝t∈[1，2]，
所以t＋＝∈，所以∈，即＝∈，
所以e＝＝∈，所以离心率最大值为.
故选D.
5．答案：2
解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F1，F2在y轴上，且|F1F2|＝2＝2，由题意可知，当点P为椭圆C左右顶点时，△PF1F2的面积最大，且|F1F2|＝，解得m＝2，所以椭圆C的短轴长为2＝2.
6．答案：
解析：抛物线C1：y2＝4x的焦点F(1，0)，根据题意2c＝＝2，c＝.
设椭圆和抛物线的交点为Q，Q到抛物线准线x＝－1的距离为d，
离心率最大，即a最小，a＝＝≥＝2，
当PQ与准线垂直时等号成立，此时e＝＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6，
所以·≤2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立).
2．答案：C
解析：由题意可知c＝2，b2＝4，
∴a2＝b2＋c2＝4＋22＝8，则a＝2，
∴e＝＝＝.
3．答案：B
解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以BA1·BA2＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＋＝1.故选B.
4．答案：A
解析：A，设P，则Q，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝·＝＝，
又＋＝1，则y＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A.
5．答案：(3，)
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，
则得所以M的坐标为(3，).
6．答案：8
解析：根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，
∴＝，
解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，
又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得kMN＝＝－·＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
2．解析：(1)由题意得
得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.Δ＝24k2＋16>0恒成立．
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝.
又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝，由＝，得k＝±1.
所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
点点练31 双曲线
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为－＝0，即4x±3y＝0，由对称性不妨考虑点(2，0)到直线4x＋3y＝0的距离：d＝＝.
故选B.
2．答案：B
解析：∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.
3．答案：A
解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
4．答案：D
解析：因为A，B分别是C的左、右顶点，故|AB|＝2a，|FA|＝c－a，|FA|＝|AB|，所以2a＝c－a，得e＝＝3.
5．答案：D
解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y(x>y)，∵F1，F2为双曲线的两个焦点，
设焦距为2c，∴c＝，点P在双曲线上，∴x－y＝4，∵∠F1PF2＝90°，
∴x2＋y2＝20，∴2xy＝x2＋y2－(x－y)2＝4，
∴xy＝2，∴△F1PF2的面积为xy＝1，
利用等面积法，设△F1PF2的高为h，则h为点P到x轴的距离，
则·h·2c＝h＝1，∴h＝.
故选D.
6．答案：C
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
则c＝，则F1、F2，
不妨设点A为第二象限内的点，联立，
可得，即点A，
因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A＝，则△F1F2A为等腰直角三角形，
且|AF1|＝|F1F2|，即＝2c，可得＝2，又由c＝，c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝2，因此，双曲线的标准方程为x2－＝1.
故选C.
7．答案：y＝±2x
解析：因为＝2，所以＝＝，
所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，又∠PF1O＋∠OPF1＋∠PF2O＋∠OPF2＝180°，
所以∠OPF1＋∠OPF2＝90°，所以PF1⊥PF2，
所以PF＋PF＝F1F，
又＝2，－＝2a，
所以＝4a，＝2a，
所以2＋2＝4c2，所以c2＝5a2，
因为c2＝a2＋b2，所以b2＝4a2，
所以＝2，
所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±2x.
8．答案：2
解析：如图，
由F1A＝，得F1A＝AB.又OF1＝OF2，得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，BF2＝2OA.由F1B·F2B＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，则OB＝OF1有∠AOB＝∠AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，所以该双曲线的离心率为e＝＝ ＝ ＝2.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：e＝＝＝＝2.
2．答案：B
解析：如图，令双曲线E的左焦点为F′，连接PF′，QF′，RF′，
由对称性可知，点O是线段PQ中点，则四边形PFQF′是平行四边形，而QF⊥FR，于是有▱PFQF′是矩形，
设|FR|＝m，则|PF′|＝|FQ|＝2m，|PF|＝2m－2a，|RF′|＝m＋2a，|PR|＝3m－2a，
在Rt△F′PR中，(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝或m＝0(舍去)，
从而有|PF′|＝，|PF|＝，Rt△F′PF中，＋＝4c2，整理得＝，e＝＝，
所以双曲线E的离心率为.
故选B.
3．答案：B
解析：设圆O1与△MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图，
令MA＝MC＝m，AF1＝BF1＝n，BF2＝CF2＝t，
根据双曲线的定义可得，化简得n＝a＋c，
由此可知，在△F1F2M中，O1B⊥x轴于B，同理O2B⊥x轴于B，
∴O1O2⊥x轴，过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D，易知直线l的倾斜角θ与∠O2O1D大小相等，不妨设圆O1的半径R1＝3，设圆O2的半径R2＝2，则O2O1＝5，O1D＝1，所以根据勾股定理，O2D＝2，所以，tan θ＝2.
4．答案：D
解析：由题意可知|AF2|＝|F1F2|＝2c，
由双曲线的定义可得|AF1|＝2a＋2c，
设∠AF1F2＝θ(0<θ<90°)，则tan θ＝，进而有cos θ＝，
由余弦定理可得，
|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos θ，
则有4c2＝(2a＋2c)2＋4c2－2(2a＋2c)·2c·，
化简得3a2＋2ac－c2＝0即(3a－c)(a＋c)＝0，
因为a＋c≠0，所以3a－c＝0，
所以e＝＝3，故选D.
5．答案：6
解析：∵双曲线C：x2－＝1，∴|A1A2|＝2a＝2，|B1B2|＝2b＝4.又∵|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，∴|A1A2|·|PF1|＝|B1B2|2，∴|PF1|＝8，∴|PF2|＝8－2a＝6.
6．答案：6
解析：已知P是双曲线x2－＝1右支上的一点，记双曲线左、右焦点分别为F1，F2，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，双曲线的两个焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，这两点刚好是(x＋4)2＋y2＝9和(x－4)2＋y2＝1的圆心．
因为两个圆的半径分别为r1＝3，r2＝1，所以由几何性质可知
|PM|max＝|PF1|＋r1＝|PF1|＋3.
同理|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为|PM|max－|PN|min＝(|PF1|＋3)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋4＝2＋4＝6，所以|PM|－|PN|的最大值为6.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)可知渐近线方程为y＝±x，
由题意知－＝tan 130°，又tan 130°＝－tan 50°，
∴＝tan 50°，
∴双曲线的离心率e＝＝ ＝＝＝＝.
2．答案：B
解析：直线x＝a与双曲线C的两条渐近线y＝±x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c的最小值为8.
3．答案：B
解析：方法一 由题易知a＝1，b＝，∴c＝2，
又∵|OP|＝2，∴△PF1F2为直角三角形，
易知||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝＝6，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝3.
方法二 不妨设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则解得y0＝，又|F1F2|＝4，
∴S△PF1F2＝×4×＝3.
4．答案：A
解析：如图，连接OP，
∵|PQ|＝|OF|＝c，∴PQ过圆心.
易得P.
又∵|OP|＝a，∴a2＝＋＝，
∴＝2，∴e＝＝.
5．答案：y＝±x
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝ ＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
6．答案：4
解析：双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝± x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0).
直线AB的方程为y＝(x－3).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得
5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
∴＝
＝ ＝.
(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
2．解析：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴为双曲线－＝1的实轴，
所以a2＝8，
因为椭圆C过点P，
所以＋＝1，＋＝1，得b2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1，
(2)①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4t2－8＝0，
Δ＝64k2t2－4(4k2＋1)(4t2－8)＝8k2－t2＋2>0，
所以，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，
y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝，
因为k1k2＝－，
所以·＝＝－，
所以2y1y2－2(y1＋y2)＋2＝－x1x2＋2(x1＋x2)－4，
所以2·－2·＋2＝－＋2·－4，
所以2t2－16k2－4t＋8k2＋2＝－4t2＋8－16kt－16k2－4，
化简得4k2＋3t2＋8kt－2t－1＝0，
即(2k＋t－1)(2k＋3t＋1)＝0，
所以t＝1－2k或t＝－，
当t＝1－2k时，直线AB的方程为y＝kx＋1－2k＝k(x－2)＋1，
则直线过定点(2，1)(舍去)，
当t＝－时，直线AB的方程为y＝kx－＝k－，
所以直线过定点.
②当直线AB的斜率不存在时，设直线为x＝m(m≠2)，
由，得y2＝2，
所以y＝± ，
所以k1k2＝＝＝－，
解得m＝2(舍去)，或m＝，
所以直线也过定点，
综上，直线AB恒过定点.
点点练32 抛物线
一 基础小题练透篇
1．答案：B
解析：由题意，点P到点F(0，1)的距离等于它到直线y＝－1的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，y＝－1为准线的抛物线，则点P的轨迹方程为x2＝4y.
2．答案：C
解析：抛物线方程C：x2＝16y，准线方程为：y＝－4，因为|AF|＝5，所以点A到准线的距离为5，且yA＞0，直线l：y＝－1与准线方程的距离为d＝3，所以|AP|＝5－3＝2 .
3．答案：B
解析：令抛物线y2＝8x的焦点为F，则F(2，0)，连接PF，如图，
因为l是抛物线y2＝8x的准线，点P是抛物线上的动点，且PM⊥l于M，于是得|PM|＝|PF|，点F(2，0)到直线l1：2x－y＋3＝0的距离d＝＝，又PN⊥l1于N，显然点P在点F与N之间，于是有|PM|＋|PN|＝|PF|＋|PN|≥d，当且仅当F，P，N三点共线时取“＝”，所以|PM|＋|PN|的最小值为d＝.
4．答案：A
解析：抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知，x1＋4＝12，x1＝8，y＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y1＝8，设直线AB的方程为x＝my＋2，由得y2－16my－32＝0，y1y2＝－32，∴y2＝－2，四边形OAFB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝×4×10＝20.
5．答案：A
解析：设T(x0，y0)，则＝(x0，y0－1)，又由F(，0)，所以＝(，－1)，
因为MF⊥MT，所以·＝0，可得x0－y0＋1＝0，
由y＝2px0，联立方程组，消去x0，可得y－4y0＋4＝0，所以y0＝2，x0＝，故T(，2)，
又由|FT|＝x0＋＝，所以－＝，即p2－5p＋4＝0，解得p＝1或p＝4，
所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.
6．答案：C
解析：直线l：y＝k(x－2)(k＞0)过(2，0)，即直线l过抛物线的焦点F(2，0)，画出图象如图所示，过A作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D；过B作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C，过B作BE⊥AD，交AD于E.
依题意＝2，设|AF|＝2|BF|＝2t(t＞0)，
则|AE|＝|AD|－|BC|＝t，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3t，|BE|＝＝2t，
所以直线l的斜率k＝＝2.
7．答案：4
解析：由抛物线的定义可知：＝xp＋2＝8，所以xp＝6，代入y2＝8x中，得y＝48，
所以＝4，故点P到x轴的距离为4.
8．答案：2
解析：由题意可知，当B在焦点F的右侧时，|AF|＝3＋，|FD|＝3－，
又|FD|＝，所以＝3－，解得p＝2；
当B在焦点F的左侧时，同理可得p＝18，此时点B在x轴的负半轴，不合题意．
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：由y2＝8x得p＝4，所以F到直线l的距离为p＝4.
2．答案：B
解析：过P作准线的垂线，垂足为Q，由∠PAF＝30°，可得∠APQ＝30°，由题意如图所示：
在Rt△AQP中，cos ∠APQ＝＝，
由抛物线的性质可得|PQ|＝|PF|，所以＝，
在△PAF中，由正弦定理可得：＝，
所以sin ∠PFA＝·sin ∠PAF＝·＝.
故选B.
3．答案：B
解析：由题知圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4，
∴C2，r＝2
F(0，1)为抛物线焦点，y＝－1为抛物线准线，
则过点P向y＝－1作垂线垂足为D，如图所示：
则d＝1＋，
根据抛物线定义可知＝，
∴d＝1＋，
∴d＋|PM|＝1＋＋，
若求d＋|PM|的最小值，只需求＋的最小值即可，
连接FC2与抛物线交于点P1，与圆交于点M1，如图所示，
此时＋最小，为－r，
min＝1＋－r，
∵F(0，1)，C2，∴＝5，
∴min＝1＋－r＝5－1.
故选B.
4．答案：B
解析：设抛物线y2＝4x的焦点为F，则F(1，0).
根据题意可知，点M(2，0)为△ABC的重心，若直线AB的斜率不存在，
则不妨取A(1，2)，B(1，－2)，则结合重心可得C为(4，0)，不合题意；
故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，则有y＝4x1，y＝4x2，n2＝4m，
联立方程得ky2－4y－4k＝0，Δ＝16(1＋k2)>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－4，因为点M(2，0)为△ABC的重心，所以＝0，
即n＝－，所以＝2，∴m＋x1＋x2＝＝＝6，
即＋8＝24，解得k2＝2，
则＝x1＋x2＋p＝＋2＝＋4＝6，故线段AB的长为6，
故选B.
5．答案：16
解析：易知焦点F的坐标为(4，0)，准线l方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x轴交点为A，作MB⊥l于B，NC⊥l于C，
AF∥MB∥NC，则＝，
由3＝2，得＝，又＝4，＝4，
所以＝，＝，＝＝，＝，
所以＝16.
6．答案：[2，4)
解析：如图，连接CP，CQ，CM，依题意，CP⊥MP，CQ⊥MQ，而|CP|＝|CQ|＝2，
而|MP|＝|MQ|，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为Rt△CPM面积的2倍，
从而得|PQ|·|CM|＝2·|CP|·|MP|，即
|PQ|＝＝＝4，
设点M(t，s)，而C(3，0)，s2＝4t(t≥0)，则|CM|2＝(t－3)2＋s2＝t2－2t＋9＝(t－1)2＋8≥8，
当且仅当t＝1时取“＝”，∀t≥0，|CM|2∈[8，＋∞)，
因此得0<≤，即≤1－<1，得2≤|PQ|<4，
所以|PQ|的取值范围为[2，4).
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：由题意得，F(1，0)，则＝＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1，2)，
所以＝＝2.故选B.
2．答案：C
解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|＝x0＋，
∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，
∴9＋＝12，
∴p＝6.
3．答案：B
解析：由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由得D(2，2)，E(2，－2)，∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为.
4．答案：B
解析：不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，P(x0，y0)(x0>0)，则Q，F，直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，又线段FQ的中点为，所以线段FQ的垂直平分线的方程为y－＝(x－0)，即2px－2y0y＋y＝0，将点P的横坐标代入，得2px0－2y0y＋y＝0，又2px0＝y，所以y＝y0，所以点P在线段FQ的垂直平分线上．
5．答案：5
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，则有|FM|＝x0＋1＝6，解得x0＝5.
6．答案：x＝－
解析：不妨设P，∴Q，
＝(6，－p)，
因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，∵p>0，
∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
记∠AMF＝α，∠BMF＝β，则tan α＝＝，
tan β＝－＝－，
则tan ∠AMB＝tan ＝
＝.
由题设得抛物线方程为y2＝4x，
联立消去x得y2－4my－4＝0，∴，y1－y2＝4，
∴tan ∠AMB＝，令t＝，则t≥1，∴tan ∠AMB＝＝.
由单调性得当t＝1时，tan ∠AMB最大为，此时m＝0，直线AB的倾斜角为90°.
(2)设T，＝λ则由AB∥MN得＝λ，
∴，∴yM＋yN－2y0＝λ.
又∵kAB＝，∴＝＝⇒yA＋yB＝8，同理yM＋yN＝8，
∴8－2y0＝λ，又∵λ≠1，∴8－2y0＝0，∴y0＝4，
∴点T在定直线y＝4上．
2．解析：(1)将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px得4＝2p，即p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x；
(2)设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，
Δ>0＝16m2＋16t>0⇒m2＋t>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
kPA＝＝＝，
同理：kPB＝，
由题意：＋＝2，4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
解得y1y2＝4，有－4t＝4，即t＝－1，
故直线AB：x＝my－1恒过定点(－1，0).
点点练33 直线与圆锥曲线
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：直线y＝kx－k－1恒过定点(1，－1).因为直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m，所以m≥3，选A.
2．答案：C
解析：由题意可知，左顶点A(－1，0).又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×＝－，得b＝2，故e＝＝.
3．答案：A
解析：设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.
4．答案：C
解析：由题意知k≠0，F，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2.不妨设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)，因为＝2，所以y1＝－2y2.又y1y2＝－p2，所以y2＝－p，x2＝，所以k＝＝2.根据对称性可得直线AB的斜率为±2.
5．答案：B
解析：因为PQ⊥PF1，|PQ|＝，
由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝|PQ|－|PF2|＝|QF2|＝2a，
|QF1|－|QF2|＝2a，则|QF1|＝4a，
易得∠F1QF2＝45°，|F1F2|＝2c，
在△QF1F2中，由余弦定理可得16a2＋4a2－2×4a×2a×＝4c2，
化简得(5－2)a2＝c2，
所以双曲线的离心率e＝ ＝.
故选B.
6．答案：D
解析：如图，设椭圆的右焦点为F′，则F′(2，0)，连接PF′，
因为|OP|＝|OF|＝，所以PF⊥PF′，
所以＝＝ ＝8，
由椭圆的定义可得2a＝|PF|＋＝12，则a＝6，
又因为c＝|OF|＝2，所以b2＝a2－c2＝62－(2)2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
故选D.
7．答案：＋＝1
解析：由左焦点为F1(－2，0)，可得a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x＋2)，圆心(0，0)到直线的距离d＝＝1.由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，可得2＝b，解得b＝2，a＝2，则椭圆方程为＋＝1.
8．答案：90
解析：∵a＝6，b＝3，c＝＝3，易知C1(－3，0)、C2(3，0)为椭圆的两个焦点，
|PM|2＋2|PN|2＝|PC1|2－4＋2(|PC2|2－1)＝|PC1|2＋2|PC2|2－6，
根据椭圆定义|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，
设|PC2|＝t，则a－c≤t≤a＋c，即3≤t≤9，
则|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t2－8t＋46)＝3(t－4)2＋90，
当t＝4时，|PM|2＋2|PN|2取到最小值90.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以l的斜率满足|k|>，
即k∈∪.
2．答案：A
解析：方法一 设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，由消去x得y2－4ty－4＝0，
∴由yM＝＝2t＝2，得t＝1，∴S△AOB＝|OF||y1－y2|＝ ＝2.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得kAB＝＝＝1，
从而直线AB的方程为y＝x－1，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋y2＋4＝8，
而点O到直线AB的距离d＝＝，
从而S△AOB＝|AB|d＝2.
3．答案：B
解析：由题意知抛物线的焦点F的坐标为(2，0)，
设过焦点F(2，0)的直线为y＝k(x－2)(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝k(x－2)代入抛物线方程消去y得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
∵k2≠0，∴x1＋x2＝＝4＋，x1x2＝4.
∵|AB|＝·＝10，
∴k2＝4，∴x1＋x2＝6，
∴△OAB的重心的横坐标为＝2.
4．答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，n)，则＋＝1，
＋＝1，作差可得＋＝0，
把x1＋x2＝2m，y1＋y2＝2n，＝2代入，可得＝－＝－，解得b＝.
5．答案：2
解析：由题意可设A(x1，y1)，F，B，
∵ ＝，＝，＝
∴ －x1＝0－，
∴x1＝p，
∴y＝2px1＝2p2.
∵A 为抛物线上第一象限内一点，
∴y1＝p,
∴直线AF的斜率为k＝＝＝2，
∴直线AB的斜率为2 .
6．答案：－14
解析：设l的方程为y＝－x＋b，代入y2＝4x，
得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，
即[－(2b＋4)]2－4b2＝0，
解得b＝－1，∴l：y＝－x－1.
由题意知MN所在直线方程为y＝－x＋1.
联立得x2－6x＋1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1.设P(m，－m－1)，
则＝(x1－m，y1＋m＋1)，＝(x2－m，y2＋m＋1).
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋(y1＋m＋1)(y2＋m＋1)
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2＋(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，则y1y2＝－4，y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝＝－4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14.
当且仅当m＝2时，即点P的坐标为(2，－3)时，·取最小值，为－14.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：如图，由题知直线AP的方程为y＝(x＋a)，直线F2P的方程为y＝(x－c)，过点P作PB⊥x轴，交x轴于点B.
联立解得xP＝，∴|F2B|＝－c＝.
∵∠PF2B＝180°－120°＝60°，∴|F2P|＝.
又∵△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，∴|F2P|＝|F1F2|，即2c＝，∴e＝＝.
2．答案：D
解析：方法一 由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.
方法二 由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B，C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，l过点(1，0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1.
3．答案：D
解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或不妨设M为(1，2)，N为(4，4).
又∵抛物线焦点为F(1，0)，∴＝(0，2)，＝(3，4).
∴·＝0×3＋2×4＝8.
4．答案：
解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立方程，得得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝.
5．答案：
解析：如图，设圆＋y2＝c2的圆心为A，则A，所以|F1A|＝c＋c＝c.设过点F1且斜率为正的直线与圆A切于点B，连接AB，则|AB|＝c，所以在Rt△F1AB中，|F1B|＝＝c.
所以直线F1B的斜率k＝tan ∠BF1A＝＝＝.
方法一 设P(c，y1)(y1>0).由点P在椭圆上，得＋＝1，所以y1＝(负值已舍去)，所以|PF2|＝.易得△F1AB∽△F1PF2，所以＝，即＝，所以4ac＝b2，即4ac＝(a2－c2)，所以e2＋4e－＝0，解得e＝(负值已舍去).
方法二 设P(c，y1)(y1>0).由点P在椭圆上，得＋＝1，所以y1＝(负值已舍去)，所以|PF2|＝.所以tan ∠PF1F2＝＝＝，则4ac＝b2，即4ac＝(a2－c2)，所以e2＋4e－＝0，解得e＝(负值已舍去).
方法三 设P(c，y1)(y1>0).由点P在椭圆上，得＋＝1，所以y1＝(负值已舍去)，所以|PF2|＝.由|PF1|＋|PF2|＝2a，得|PF1|＝2a－，所以sin ∠PF1F2＝＝，即＝，可得b2＝a2.所以c＝＝a，则e＝＝.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1) 因为直线y＝kx交双曲线C于M，N两点，
所以M，N两点关于原点对称，
从而四边形MF1NF2是平行四边形．
设双曲线C的焦距为2c，
则四边形MF1NF2的面积S＝2××2c×3＝12，解得c＝2，
从而F1(－2，0)，F2(2，0)，所以|MF2|＝3，|MF1|＝5
于是2a＝|MF1|－|MF2|＝2，解得a＝1，b＝
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)，
由，得－x2＝x2＝1，
因为MF1·NF1＝(－x1－c，－kx1)(x1－c，kx1)＝c2－(k2＋1)x＝0
所以c2－(k2＋1)＝0，化简得k2＝.
因为≤k2≤3，所以≤≤3.
由≤3，得e4－8e2＋4≤0，
解得1
解得e≥.
因此，e的取值范围为[，＋1].
2．解析：(1)依题意，a＝2b，椭圆E的方程为：＋＝1，又椭圆E过，于是有＋＝1，解得b2＝1，a2＝4，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0，－1)，依题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线AP的方程为y＝x－1，令y＝0，得点M的横坐标为xM＝，同理得点N的横坐标为xN＝，
由消去y并整理得，(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，即m2<4k2＋1，x1＋x2＝，x1x2＝，
因此，xMxN＝＝＝
＝＝2，即＝2，解得m＝3，
直线l的方程为y＝kx＋3，l过定点(0，3)，
所以直线l过定点(0，3).
单元检测(十) 圆锥曲线
1．答案：C
解析：∵－1≤sin θ≤1，∴2≤2sin θ＋4≤6，－4≤sin θ－3≤－2，∴方程＋＝1(θ∈R)所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线．
2．答案：B
解析：由题意可得a2＝4，b2＝3, c2＝a2－b2＝1，
所以a＝2，c＝1.
①若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射，
则所经过的路程为2＝2.
②若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射，
则所经过的路程为2＝6.
③若光线从椭圆一个焦点沿非x轴方向出发，
则所经过的路程为4a＝8.
故选B.
3．答案：C
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B中点横坐标为x0，则x0＝＝2，解得：x1＋x2＝4，
∴＝x1＋x2＋2＝6.
故选C.
4．答案：D
解析：因为双曲线x2－＝1的一个焦点为，
所以c＝3，所以m＋1＝32，解得m＝8.
故选D.
5．答案：D
解析：当|MO|＝|MF|，即M在直线x＝上时，解得M，即|MF|＝|MO|＝ ＝，所以△OFM的周长为2×＋1＝4.当|MO|＝|OF|时，设M，所以＋y＝1，解得M(－2，±2)，所以|MF|＝－1，所以△OFM的周长为－1＋1＋1＝＋1.
6．答案：D
解析：AF2⊥x轴，直线l在y轴上的截距为1，则A(c，2).|AF1|＝3|F1B|，则B，＋＝1，＋＝1，＋＝1，b2＝6.∵＝2，a＝＝3，2a＝6，故选D.
7．答案：D
解析：由题意可知＝4，＝＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以＝＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
8．答案：C
解析：方法一 ∵F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a.∵PF1·PF2＝0，
∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又△PF1F2的面积为9，∴|PF1||PF2|＝9，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，∴36＝4(a2－c2)＝4b2，解得b＝3.
方法二 利用椭圆性质可得，S△PF1F2＝b2tan ＝b2tan ＝9，∴b＝3.
9．答案：A
解析：由离心率e＝，得＝，即c＝a.
因为△F1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为r，所以πr2＝π，解得r＝1，
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
∴3|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝3a2，可得|PF1|·|PF2|＝a2，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ＝a2，
而S△F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝(2a＋2c)·r＝a＋c＝a，
所以可得a2＝a，解得a＝2，c＝，
由a2＝b2＋c2，得b＝3，
所以该椭圆的方程为＋＝1.
故选A.
10．答案：B
解析：∵M，N是双曲线的两个顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2.
11．答案：D
解析：因为F1，F2分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到＝，
又因为＝3得＝3，
又∵＝2a，
∴＝a，＝3a，
在△OPF1中，＝c，＝a，＝b，
∴∠OPF1＝90°，cos ∠PF1O＝＝，
在△PF1F2中，cos ∠PF1O＝＝，
所以＝，
化简得e＝＝.
故选D.
12．答案：C
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋2，代入抛物线C：y2＝4x，整理得y2－y－8＝0，所以y1y3＝－8，即y3＝－，从而x3＝，故P，同理可得Q.
因为M，E，N三点共线，所以＝，
即＝，所以y1y－16y1＝yy2－16y2，从而解得y1y2＝－16.
所以k2＝＝，k1＝＝＝.所以＝2.
13．答案：
解析：椭圆＋y2＝1的上顶点是 (0，1)，抛物线y＝ax2(a>0)的焦点是.因为抛物线y＝ax2(a>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，所以＝1，所以a＝.
14．答案：或
解析：若渐近线的方程为y＝x，则点P的坐标为.因为|PA2|＝|A1A2|，所以＋a2＝5a2，则＝4，所以＝3，从而离心率e＝＝.若渐近线的方程为y＝－x，则点P的坐标为，同理可得离心率e＝.故双曲线C的离心率为或.
15．答案：(1，0)
解析：由抛物线C：y2＝4x可得p＝2，故焦点F的坐标为(1，0).设A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋＝x0＋1＝4，故x0＝3.根据抛物线的对称性，不妨令点A在第一象限，则y0＝2，则A(3，2)，则kAB＝＝，故直线AB的方程为y＝(x－1).由可得3x2－10x＋3＝0，故或，
则B(，－)，所以S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.
16．答案：(0，)
解析：延长PF2，F1M交于N点，连接OM，如图．因为点Q是△F1PF2内切圆的圆心，所以直线PQ平分∠F1PF2.因为F1M⊥PQ，所以|PN|＝|PF1|，
则M为F1N的中点．又因为O为F1F2的中点，所以|OM|＝|F2N|＝(|PN|－|PF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＜|F1F2|＝c＝.所以|OM|的取值范围是(0，).
17．解析：(1)因为BC过椭圆M的中心，所以BC＝2OC＝2OB.
又AC⊥BC，BC＝2AC，所以△OAC是以∠C为直角的等腰直角三角形，
则A(a，0)，C，所以＋＝1，整理得a2＝3b2，所以c2＝a2－b2＝2b2，所以e＝＝＝.
(2)由(1)可知A(a，0)，B，AB＝a，则△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，半径为AB＝a，所以△ABC的外接圆的方程为＋＝a2.
令x＝0，解得y＝a或y＝－，所以a－＝9，解得a＝6(也可由垂径定理得 ＝，解得a＝6)，
所以b2＝12，故椭圆M的方程为＋＝1.
18．解析：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
19．解析：(1)将点A(2，1)代入方程－＝1，解得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)联立，整理得x2＋4k2x－2k2－2＝0，由题意，
得k2<1且k2≠，设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，
直线AE的方程为y－1＝(x－2)，令x＝3，得y＝＋1，即M，同理可得N，
|x1－x2|＝＝，
|MN|＝＝
＝
＝|k－1|＝|k－1|
＝，
所以△AMN的面积S＝×|MN|×1＝×＝，即2＝|1－k|，
解得k＝1或k＝－，又k2<1且k2≠，所以k的值为－.
20．解析：(1)由题意，＝，可设a＝2t，c＝t，则b＝＝＝t，
由a－b＝1，可得2t－t＝1，解得a＝2，b＝1，c＝，
故椭圆E：＋y2＝1.
(2)证明：设过点P的直线方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得，消去y可得：(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－4＝0，
由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋1)(64k2－4)>0，解得k2<，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
依题意，可设Q(m，k(m－4))，由Q在线段AB上，则(m－x1)(m－x2)<0，
所以＝＝－，因为＝，
所以由＝，可得－＝，则(4－x1)(m－x2)＝－(4－x2)(m－x1)，去括号可得2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
将x1＋x2＝，x1·x2＝代入上式并整理可得8m－8＝0，解得m＝1，则Q(1，－3k)，
故·＝4×1＋0×(－3k)＝4.
21．解析：(1)当直线MN垂直于x轴时，直线MN的方程为x＝1，
代入y2＝2px，得y＝±，
因为△OMN的面积为2，
所以×1×2＝2，
解得p＝2，
故C的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知，直线MN的斜率一定存在，
设直线MN：y＝k(x－1)＋3(k≠0)，
则x＝＋1，代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＋12＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则Δ1＝16>0，y1＋y2＝，y1y2＝，
·＝ ×
＝
＝＝5.
设直线ST：y＝k(x－1)(k≠0)，则x＝＋1，代入y2＝4x，
得ky2－4y－4k＝0，
设S(x3，y3)，T(x4，y4)，则Δ2＝16＋16k2>0，y3＋y4＝，y3y4＝－4，
|ST|＝＝＝4，
故存在常数Ω＝，使得·＝Ω|ST|恒成立．
22．解析：(1)依题意，
解得a2＝4，b2＝3，故C的方程为＋＝1.
(2)是定值．
理由如下：
依题意，M(－2，0)，N(0，)，设A(x0，y0)，则3x＋4y＝12，
所以直线AM：＝，
令x＝0，yP＝，
则|NP|＝－yP＝－
＝；
直线AN：＝，
令y＝0，xQ＝.
则|MQ|＝2＋xQ＝2＋＝，
又易知NP⊥MQ，所以四边形MNQP的面积为
S＝|NP|·|MQ|
＝··
＝
＝＝2，
所以四边形MNQP的面积为2.
第十一单元 概率与统计
点点练34 随机事件的概率、古典概型与几何概型
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：因为从盒子中摸出1个球，摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是1－(0.45＋0.25)＝0.3.又从盒子中摸出的1个球为黑球和摸出的1个球为红球是互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率P＝0.3＋0.45＝0.75.
2．答案：A
解析：采用间接法，从某班5名学生中任选3人共有10种选法，3名学生全为男生的有1种选法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，即全为男生，所以所求概率P＝1－＝.
3．答案：B
解析：圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为＝，
所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为12××12×sin ＝3，
因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.故选B.
4．答案：D
解析：因为从这五张卡片中任取两张共有10种取法，两张卡片颜色不同且标号之和小于4的取法有2＋1＝3种，因此所求概率是.
5．答案：C
解析：设3种不同的颜色分别用A，B，C表示，所有的基本事件为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两个小球颜色不同的事件有6个，则两个小球颜色不同的概率P＝＝.
6．答案：
解析：如图，正五边形ABCDE的边长为1，任取两个顶点，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情况两顶点间距离均大于1，所以任取两顶点，两顶点间距离大于1的概率P＝＝.
二 能力小题提升篇
1．答案：2.16
解析：由题意可知，长方形面积为2×3＝6 cm2，
设图中蝴蝶面积为S，则P＝＝，即＝2.16 cm2.
2．答案：B
解析：由题知可能的结果有eak，aek，eka，ake，共4种，其中正确的只有一种eak，所以拼写正确的概率是.
3．答案：B
解析：由·≥0，知∠BMC为锐角或直角，则点M所在的区域如图中阴影部分所示，则所求概率P＝1－＝1－＝.
4．答案：D
解析：三辆车的出发顺序共有6种可能(以车上的车号分别代表三辆车)：(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3号”车的可能情况有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，共3种，所以其坐到“3号”车的概率P1＝＝；若该嘉宾按方案二乘车，坐到“3号”车的可能情况有(3，1，2)，(3，2，1)，共2种，所以其坐到“3号”车的概率P2＝＝.所以P1＋P2＝.
5．答案：
解析：从数字1，2，3中任取两个不同的数字，构成的两位数的所有可能为12，13，21，23，31，32，其中满足大于30的有31，32，故这个两位数大于30的概率为＝.
6．答案：
解析：小明输入密码后两位的所有情况为(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12种，
而能成功登录的密码只有一种，
故小明输入一次密码能够成功登录的概率是.
三 高考小题重现篇
1．答案：B
解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
2．答案：B
解析：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝＝.
3．解析：方法一 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
答案：D
4．答案：A
解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.
5．答案：
解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则所求概率为＝.
6．答案：
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)因为55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝85.1，所以这100名学生对该节目打分的平均值为85.1.
(2)由题意知，从打分为[60，70)的学生中抽取了2人，分别记为a，b；从打分为[70，80)的学生中抽取了4人，分别记为A，B，C，D.
从这6人中随机抽取2名学生进行详细调查的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个．事件M包括的基本事件有ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共7个．因此事件M发生的概率P(M)＝.
2．解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400．
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，
所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
其中事件E包括的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求的概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有6个．
所以P(D)＝＝，即所求的概率为.
点点练35 统计与统计案例
一 基础小题练透篇
1．答案：D
解析：设袋子中球的个数为n，所以＝，所以n＝150.所以袋子中有150个球．
2．答案：D
解析：由系统抽样的定义知这种抽样方法为系统抽样法．
3．答案：D
解析：根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为1－0.4－0.25－0.10＝0.25，所以9时到11时的销售额为：42×＝30(万元).
4．答案：A
解析：对于A，甲班同学身高的极差为182－157＝25，乙班同学身高的极差为182－159＝23，
∴甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；
对于B，甲班数据靠上的相对少，乙班数据靠上的相对多，
∴估计甲班同学身高的平均值较小，故B错误；
对于C，甲班同学身高的中位数为＝168，
乙班同学身高的中位数为＝171.5，
∴甲班同学身高的中位数较小，故C错误；
对于D，甲班同学身高在175 cm以上的有3人，乙班同学身高在175 cm以上的有4人，
∴甲班同学身高在175 cm以上的人数较少，故D错误．
故选A.
5．答案：A
解析：由频率分布直方图知中位数在[70，80]上，设其为x，则＝，
解得x≈71.67，A错；
要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y，则＝，y＝44，B正确；
由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为1 000×0.1＝100，C正确；
由频率分布直方图得平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，考试数学成绩的平均分约为70，D正确．故选A.
6．答案：B
解析：由散点图可知，y与x成线性相关，设回归方程为y＝m＋kx，由题意z＝，所以z＝＋k，对应B最适合．
7．答案：8 9
解析：i＝3i＋2＝8，bi的方差为32×1＝9.
8．答案：360
解析：第一个小矩形的面积S1＝0.3，第二个小矩形的面积S2＝0.4，
故n＝2 000＋＝3 000.
由图中数据计算可得a＝0.000 09，
而m＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m－n＝360.
二 能力小题提升篇
1．答案：D
解析：因为K2＝2.974>2.706，且 2.974<3.841，所以依据表中给出的 独立性检验知：变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%，故选D.
2．答案：A
解析：根据茎叶图可得甲成绩的中位数为32，故A正确；乙同学的成绩最高为52，最低为10，所以极差为52－10＝42，故B错误；由茎叶图可知甲同学成绩的众数为32，乙同学的成绩的众数为42，不相等，故C错误；因为甲成绩的平均数为
甲＝＝30，
乙成绩的平均数为
乙＝＝35，甲<乙，故D错误．
3．答案：D
解析：设产业结构调整前经济收入为a，则产业结构调整后经济收入为4a.由饼图知产业结构调整前纺织服装的收入为0.45a，节能环保的收入为0.15a，食品加工的收入为0.18a，科技研发的收入为0.22a.产业结构调整后纺织服装的收入为4a×0.15＝0.6a，节能环保的收入为4a×0.25＝a，食品加工的收入为4a×0.15＝0.6a，科技研发的收入为4a×0.45＝1.8a.由以上数据易得产业结构调整后节能环保的收入与产业结构调整前的总收入一样多，故①正确；产业结构调整后科技研发的收入增幅最大，故②正确；产业结构调整后纺织服装的收入相比调整前有所提高，故③错误；产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入，故④正确．故选D.
4．答案：C
解析：由题意，先分析物理课是否与性别有关：
根据表格数据，n＝800，a＝340，b＝110，c＝140，d＝210
∴K2＝＝103.7>7.879，
因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关．
再分析生物课是否与性别有关：
根据表格数据，n＝800，a＝150，b＝300，c＝150，d＝200
∴K2＝＝7.619<7.879，
因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关，故选C.
5．答案：②③
解析：不能确定甲、乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲、乙两校男生成绩的优秀率均大于女生成绩的优秀率，所以甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲、乙两校的男女比例，所以不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确．
6．答案：①②③
解析：由最小二乘法建立回归方程的方法可知回归直线＝0.85x－85.71一定过样本点的中心(，)，因此②正确．由x的系数0.85＞0可知两个变量具有正的线性相关关系，因此①正确．由x的系数为0.85可知若身高增加1 cm，则增加的体重约为0.85 kg，因此③正确．将x＝160代入回归方程计算得其体重约为50.29 kg，不是一定为50.29 kg，因此④不正确．
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.
2．答案：B
解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
3．答案：C
解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误．
综上，给出结论中不正确的是C.
4．答案：D
解析：观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象．
5．答案：A
解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
新农村
建设前
新农村建设后
新农村建设
后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C对
养殖收入＋
第三产业
收入
(30%＋6%)a＝36%a
(30%＋28%)×2a＝116%a
超过经济收
入2a的一半
D对
6.答案：2
解析：由平均数公式可得＝4，
解得a＝2.
四 经典大题强化篇
1．解析：(1)根据表中数据，万科物业共有500人次评价，获得好评有480人次，
设万科物业获得好评事件为M，则P(M)＝＝；
绿地物业共有500人次评价，获得好评有360人次，
设绿地物业获得好评事件为N，则P(N)＝＝.
故：万科物业在上海获得好评的概率为；绿地物业在上海获得好评的概率为.
(2)列联表
获得好评
未获得好评
万科物业
480
20
500
绿地物业
360
140
500
合计
840
160
1000
K2＝≈107.143>10.828，
根据临界值表可知，有99.9%的把握认为这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关．
2．解析：(1)由已知得＝＝8，＝＝13，
(xi－)2＝10，(yi－)2＝64，(xi－)(yi－)＝20，
所以r＝＝＝≈0.791，
因为|r|≈0.791∈[0.75，1]，
说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，
设线性回归方程为＝x＋，
∴＝＝2，＝－＝13－16＝－3，
则y关于x的线性回归方程为＝2x－3；
(2)由题可得2×2列联表，
喜欢
不喜欢
总计
男
70
30
100
女
40
60
100
总计
110
90
200
K2＝≈18.182>10.828，
∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．
单元检测(十一) 概率与统计
1．答案：D
解析：由分层抽样原则可知：高三年级应抽取60×＝24人．
故选D.
2．答案：C
解析：设从这批水果中随机拿取一个，该水果为红苹果为事件A，该水果为红桃为事件B，则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
故从这批水果中随机拿取一个，则该水果为红苹果或红桃的概率是＋＝. 故选C.
3．答案：D
解析：从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；
2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为＝5.9，故②正确；
从这12个增速中随机抽取1个，超过10的概率为，故③正确．故选D.
4．答案：B
解析：这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，
由表格数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.1，
所以，6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1，故x＝300.
5．答案：B
解析：根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y与年份序号x呈正相关关系，①正确；
∵相关系数0.936>0.75，靠近1，销售额y与年份序号x线性相关显著，②错误；
根据三次函数回归曲线的相关指数0.999>0.936，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，③正确；
由三次函数y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，当x＝10时，y＝2 698.719亿元，④错误．
6．答案：C
解析：由题意，得K2＝＝10>6.635
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
7．答案：C
解析：由P(A)＝0.5，得P()＝0.5，
由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
即0.4＝0.5×0.3＋0.5P(B|)，
所以P(B|)＝0.5.故选C.
8．答案：B
解析：因为x1，x2，…，x100的方差为16，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为22×16＝64.故选B.
9．答案：D
解析：由题可知m＝2×2＋5＝9，假设甲输入的(x1，y1)为(7，3)，(x2，y2)为(4，－6)，所以7＋4＋x3＋…＋x8＝2×8＝16，3－6＋y3＋…＋y8＝9×8＝72，所以x3＋…＋x8＝5，y3＋…＋y8＝9×8＝75，改为正确数据时得3＋4＋x3＋…＋x8＝12，7＋6＋y3＋…＋y8＝9×8＝88，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程＝kx＋，得k＝.故选D.
10．答案：B
解析：对于①，样本相关系数r的取值范围是[－1，1]，故①错误；
对于②，由y＝cekx，两边取对数，可得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，
令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx，
∵z＝0.3x＋4，
∴ln c＝4，k＝0.3，∴c＝e4，故②正确；
对于③，回归直线方程＝＋x中，＝2，＝1，＝3，
则＝－＝3－2×1＝1，故③正确；
对于④，若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，x与y负相关，又变量y与z正相关，则x与z负相关，故④错误．故选B.
11．答案：D
解析：
以AB为底边，要使面积不小于2，
由于S△ABP＝AB×h＝2h，
则三角形的高h≥1，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是(3－1)＝，
∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：＝.故选D.
12．答案：B
解析：由题设，f′(x)＝3x2，当f′(x)＝3，得x＝±1，若x＝1，则f(1)＝1，即切点为(1，1)的切线为l2：y＝3x－2；若x＝－1，则f(－1)＝－1，即切点为(－1，－1)的切线为l3：y＝3x＋2，当f′(x)＝1，得x＝±，若x＝，则切点为，切线方程为：y＝x－，若x＝－，则切点为，切线方程为：y＝x＋，故直线y＝x与f(x)＝x3的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有(l1，l2)，(l3，l2)，(l1，l3)三种情况，与f(x)＝x3的图象相切只有(l3，l2)，故概率为.
故选B.
13．答案：174
解析：由平均数公式可得＝176，解得x＝174.
14．答案：2 400
解析：设该小区60岁以上老年人的人数为x人，
则由题意得＝，解得x＝2 400，
所以该小区60岁以上老年人的人数为2 400人．
15．答案：0.35
解析：由已知条件可得＝＝3，＝＝2，
将点(3，2)的坐标代入回归直线方程可得2＝0.55×3＋，解得＝0.35.
16．答案：
解析：由题意，∠DFE＝，∴∠AFC＝π－＝，
DF＝3AF，∴CF＝4AF，由余弦定理可得AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF cos ，
∴AC2＝21AF2，∴＝＝＝，∴芝麻落在阴影部分的概率为 P＝.
17．解析：(1)由题意知，生产KN90口罩的合格率为P1＝＝，
生产KN95口罩的合格率为P2＝＝.
(2)设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，
利润和不少于8元只有一种可能性，是KN90和KN95均合格，
则X＝3＋8＝11，其他情况利润和是小于8元的，
∴P(X≥8)＝P(X＝11)＝×＝，
故生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于8元的概率为.
18．解析：(1)由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，
因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取7×＝3件、7×＝2件、7×＝2件．
(2)(ⅰ)从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：AB、AC、AD、AE、AF、AG、BC、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DE、DF、DG、EF、EG、FG；
(ⅱ)不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A、B、C，来自乙地区的是D、E，来自丙地区的是F、G，
则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：AD、AE、AF、AG、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DF、DG、EF、EG，共16种，所有的基本事件共21种，故P(M)＝.
19．解析：(1)由频率分布直方图知：甲工艺生产的产品，耐热等级达到C级的频率为(0.06＋0.02)×10＝0.8，
∴10月份采用甲工艺生产的产品，耐热等级达到C级的产品数为65×0.8＝52(万件).
(2)由频率分布直方图知：甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50×0.8＝40件，则未达到C级的件数为10件；
乙工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50×(0.02＋0.04)×10＝30件，则未达到C级的件数为20件；
由此可得表格如下：
合格
不合格
甲
40
10
乙
30
20
∴K2＝≈4.762>3.841＝x0.05，
∴有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关．
20．解析：(1)由频率分布直方图得2(a＋0.1＋5a＋0.12＋a)＝1，解得a＝0.04.
(2)设平均数为，则＝5×2×0.04＋7×2×0.1＋9×2×5×0.04＋11×2×0.12＋13×2×0.04＝9.08.
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．
(3)日均运动步数在[4，10]的频率为0.68，
日均运动步数在[4，12]的频率为0.92，
则80%位数在[10，12]内，为10＋2×＝11，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步．
21．解析：(1)我觉得该同学的测试成绩不低(或不太低).
理由如下：中位数为70＋＝74≈74.17，
显然74.17<75，故该同学的测试成绩不低(或不太低)；
考生的理由如下亦可：
平均成绩＝45×0.04＋55×0.16＋65×0.2＋75×0.24＋85×0.2＋95×0.16＝73.8，
显然73.8<75，故该同学的测试成绩不低(或不太低).
(2)由题知，不合格学生有50×(0.004＋0.016)×10＝10人，
所以合格学生有50－10＝40人，
所以填表如下：
合格
不合格
合计
男生
26
4
30
女生
14
6
20
合计
40
10
50
K2＝≈2.08<2.76＝x0.100，
故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．
(3)从50人随机抽取5人的比例为＝，
从合格的40名学生中抽取40×＝4(人)，记为a、b、c、d；
从不合格的10名学生中抽取10×＝1(人)，记为x，
则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：
ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，
其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，
故恰好2人都合格的概率P＝＝.
22．解析：(1)由题意进行数据分析：
r1＝＝＝＝＝0.86，
r2＝＝＝＝≈0.91，
则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝e2x＋1的拟合程度更好．
(2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程．
由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
由于λ＝＝≈0.001 8，
t＝－λ＝4.20－0.018×20＝3.84，
所以v关于x的线性回归方程为＝0.02x＋3.84，
所以ln ＝0.02x＋3.84，则＝e0.02x＋3.84.
(ⅱ)下一年销售额y需达到80亿元，即y＝80，代入＝e0.02x＋3.84得，80＝e0.02x＋3.84，
又e4.382≈80，
所以0.02x＋3.84＝4.382，解得x＝27.1，
所以预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元．
第十二单元 算法、复数、推理与证明
点点练36 算法初步与框图
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：由框图得，A＝1，B＝1，满足A≤6，B＝2×1＋1＝3，A＝2；满足A≤6，B＝2×3＋1＝7，A＝3；满足A≤6，B＝2×7＋1＝15，A＝4；满足A≤6，B＝2×15＋1＝31，A＝5；满足A≤6，B＝2×31＋1＝63，A＝6；满足A≤6，B＝2×63＋1＝127，A＝7；不满足A≤6，所以输出的B＝127.
2．答案：B
解析：第一次执行循环体，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环体，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环体，得到S＝720，k＝7，此时满足条件．
3．答案：C
解析：模拟执行程序，可得a＝0.7，S＝0，n＝1，S＝1.7；
不满足条件S≥9，执行循环体，n＝2，a＝1.4，S＝3.4；
不满足条件S≥9，执行循环体，n＝3，a＝2.1，S＝5.1；
不满足条件S≥9，执行循环体，n＝4，a＝2.8，S＝6.8；
不满足条件S≥9，执行循环体，n＝5，a＝3.5，S＝8.5；
不满足条件S≥9，执行循环体，n＝6，a＝4.2，S＝10.2.
退出循环，输出n的值为6.
4．答案：B
解析：本程序框图的功能是计算m，n中的最大公约数，所以1995＝228×8＋171，
228＝171×1＋57，171＝3×57＋0，故当输入m＝1995，n＝228，则计算机输出的数是57.故选B.
5．答案：C
解析：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值，又因为f(x)＝sin x为奇函数，f(x)＝ex恒大于零，f(x)＝x2恒非负，f(x)＝ln x＋x＋2满足函数为非奇函数且有小于零的函数值，所以选C.
6．答案：B
解析：运行程序，n＝1，S＝0，
S＝0＋cos ＝，判断是，n＝2，
S＝＋cos ＝，判断是，n＝3，
S＝＋cos ＝0，判断是，n＝4，
S＝0＋cos ＝－1，判断是，n＝5，
S＝－1＋cos ＝－1－，判断是，n＝6，
S＝－1－＋cos ＝－1－，判断是，n＝7，
S＝－1－＋cos ＝－1，判断是，n＝8，
S＝－1＋cos ＝0，判断是，n＝9，
S＝0＋cos ＝，判断是，n＝10，
S＝＋cos ＝，判断否，输出S＝.
故选B.
7．答案：30
解析：第一次，i＝1，满足条件i<6，i＝1＋2＝3，S＝6；第二次，i＝3，满足条件i<6，i＝3＋2＝5，S＝6＋10＝16；第三次，i＝5，满足条件i<6，i＝5＋2＝7，S＝16＋14＝30；第四次，i＝7，不满足条件i<6，循环终止，输出S＝30.
8．答案：70
解析：i＝1，S＝－2；i＝3，S＝3×3－2＝7；i＝5，S＝3×5＋7＝22；i＝7，S＝3×7＋22＝43；i＝9，S＝3×9＋43＝70，结束循环，输出的结果为70.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：由题可得输出x＝0，第一次循环：x＝2x－1，i＝2，
第二次循环：x＝2(2x－1)－1＝4x－3，i＝3，
第三次循环：x＝2(4x－3)－1＝8x－7，i＝4，
退出循环，故8x－7＝0，则输入的x的值为，故选B.
2．答案：B
解析：当k＝2，S＝1·log2(3)＝log2(3)，
当k＝3，S＝log2(3)·log3(4)，
当k＝4，S＝log2(3)·log3(4)log4(5)，
当k＝5，S＝log2(3)·log3(4)log4(5)log5(6)，
当k＝6，S＝log2(3)·log3(4)log4(5)log5(6)log6(7)，
当k＝7，S＝log2(3)·log3(4)log4(5)log5(6)log6(7)log7(8)＝log2(8)＝3，
故可知判断框内应填入的条件是：k≤7?
故选B.
3．答案：B
解析：第一次执行循环体后，k＝1，S＝，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，k＝2，S＝，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，k＝3，S＝，不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，k＝4，S＝，不满足退出循环的条件；
第五次执行循环体后，k＝5，S＝，不满足退出循环的条件，此时S≤t；
第六次执行循环体后，k＝6，S＝，满足退出循环的条件，此时S>t；
所以≤t<，故选B.
4．答案：C
解析：第一次循环，s＝∈Z不成立，s＝3×5＋1＝16，i＝0＋1＝1，s＝1不成立；
第二次循环，s＝8∈Z成立，s＝×16＝8，i＝1＋1＝2，s＝1不成立；
第三次循环，s＝4∈Z成立，则s＝×8＝4，i＝2＋1＝3，s＝1不成立；
第四次循环，s＝2∈Z成立，则s＝×4＝2，i＝3＋1＝4，s＝1不成立；
第五次循环，s＝1∈Z成立，则s＝×2＝1，i＝4＋1＝5，s＝1成立．
跳出循环体，输出i＝5，故选C.
5．答案：23
解析：执行程序框图，k＝1，a＝9，9－3·＝0≠2；k＝2，a＝16，16－3·＝1≠2；k＝3，a＝23，23－3·＝2，23－5·＝3，满足条件，退出循环．则输出的a＝23.
6．答案：
解析：第1次，因为k＝0<3，所以k＝0＋1＝1，s＝1＋1＝2，
第2次，因为k＝1<3，所以k＝1＋1＝2，s＝1＋＝，
第3次，因为k＝2<3，所以k＝2＋1＝3，s＝1＋＝，
因为k＝3<3不成立，所以输出s＝.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：输入k＝0，a＝0，第一次循环，a＝1，k＝1，a<10；第二次循环，a＝3，k＝2，a<10；第三次循环，a＝7，k＝3，a<10；第四次循环，a＝15，k＝4，a>10，结束循环，输出k＝4.
2．答案：A
解析：A＝，k＝1，1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2，2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3，3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.
3．答案：C
解析：执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不满足x<ε＝0.01＝；
所以s＝1＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋…＋＝2－，x＝，满足x<ε＝；
输出s＝2－.
4．答案：B
解析：执行程序框图，k＝1，s＝＝2；k＝2，s＝＝2；k＝3，s＝＝2，跳出循环．输出的s＝2.
5．答案：B
解析：执行程序框图，S＝1，i＝2，j＝1，S＝1＋4＝5，i＝3，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出的S＝8.
6．答案：B
解析：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a＝1，b＝1，n＝1，
计算b＝1＋2＝3，a＝3－1＝2，n＝2，判断＝＝0.25≥0.01，
计算b＝3＋4＝7，a＝7－2＝5，n＝3，判断＝＝0.04≥0.01；
计算b＝7＋10＝17，a＝17－5＝12，n＝4，判断＝<0.01；
输出n＝4.故选B.
点点练37 复数
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：因为z＝＝＝－i，所以复数z＝的虚部为－.
故选A.
2．答案：A
解析：由题意，复数z＝1＋i，根据复数的运算法则，可得w＝＝＝＝＝－1－i，所以复数w的虚部是－1.故选A.
3．答案：C
解析：对于A，若z为纯虚数，可设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z2＝－b2<0，A选项错误；对于B，取z＝0，则z为实数，B选项错误；对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝2bi＝0，则b＝0，∴z＝a∈R，C选项正确；对于D，取z＝0，则z＋＝0，但z＝0∈R，D选项错误．
4．答案：A
解析：∵复数z是关于x的方程x2＋x＋1＝0的根，
又Δ＝12－4＝－3<0，∴该方程的根为x＝＝－±i，
即z＝－＋i或z＝－－i，
则|z|＝ ＝1，故选A.
5．答案：B
解析：z＝＝＝i(1＋i)＝－1＋i，
因此，复数z在复平面内对应点的坐标为(－1，1).
故选B.
6．答案：D
解析：如题图，由＝＋，而＝(2，1)，＝(－1，3)
∴＝(1，4)，故B对应的复数为1＋4i.
7．答案：
解析：因为(1＋2i)z＝3－4i，所以z＝＝＝－1－2i，所以|z|＝.
8．答案：－1＋3i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－i)·＝2i·z＋2为(1－i)(a－bi)＝2i(a＋bi)＋2，即a－b－(a＋b)i＝2－2b＋2ai，所以解得所以z＝－1＋3i.
二 能力小题提升篇
1．答案：B
解析：根据公式得＝cos ＋isin ＝i.
2．答案：C
解析：由已知得z＝＝＝1－i，所以|z|＝，
所以||z|－i|＝|－i|＝.
故选C.
3．答案：C
解析：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，由z2＝1＋i，得z1－z2＝(a－1)－i，
又因为|z1－z2|＝，所以(a－1)2＋(－1)2＝2，解得a＝0或a＝2，所以z1＝0或2.
4．答案：D
解析：对于选项A，若z＝－1＋i，则|z|＝，故错误；
对于选项B，若为z的共轭复数，则·z＝a2＋b2，z2＝a2－b2＋2abi，故错误；
对于选项C，复数z＝1＋2i的虚部为2，故错误；
对于选项D，若z＝，则z＝＝＝＋i，故正确．故选D.
5．答案：－2－2i
解析：设Z3对应的复数为z3，可得|z3|＝|z1|＝2，
复平面上点Z1与x轴正半轴的夹角为，则点Z3与x轴正半轴的夹角为，
所以z3＝2(cos ＋i·sin )＝－＋i，
所以z3z1＝(－＋i)(1＋i)＝－2－2i.
6．答案：2
解析：法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝
＝
＝＝2.
法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则即所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2.
法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z1－z2|＝2.
法四：设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2.
三 高考小题重现篇
1．答案：D
解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，
∴|z2－2z|＝|－2|＝2.
2．答案：D
解析：利用复数除法法则得＝＝，所以虚部为，选D.
3．答案：D
解析：由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝＋＝2，故选D.
4．答案：C
解析：∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋42，又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，
∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，∴a·b＝1，故选C.
5．答案：C
解析：＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4.
＝＝－＋i.故选C.
6．答案：3＋4i
解析：z1＋z2＝(1＋2)＋(1＋3)i＝3＋4i.
点点练38 推理与证明
一 基础小题练透篇
1．答案：A
解析：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，可知从第三项开始，后一项等于前两项的和，所以a6＋b6＝7＋11＝18，a7＋b7＝11＋18＝29，则a8＋b8＝18＋29＝47.
2．答案：C
解析：由题中的表格易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数间的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2.所以有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数为12＋8－2＝18.
3．答案：C
解析：依题意得1＋＝x(x＞0)，解得x＝，
所以1＋＝.
4．答案：D
解析：由题意可知P(0)＝0，P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，…，以此类推得，P(5k)＝k(k为正整数)，因此P(2 003)＝403，P(2 006)＝402，P(2 007)＝403，故P(2 003)＞P(2 006)，P(2 007)＞P(2 006)，故A，B，C正确，D错误．
5．答案：B
解析：方法一 一条直线将平面分成2个部分，两条符合要求的直线将平面分成4个部分，三条符合要求的直线将平面分成7个部分，注意到直线将平面分成的部分数满足4＝2＋2，7＝4＋3，归纳可知：四条符合要求的直线将平面分成7＋4＝11(个)部分，
五条符合要求的直线将平面分成11＋5＝16(个)部分．
方法二 如图，画出符合题意的五条直线，易知将平面分成16个部分．
6．答案：A
解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四．
7．答案：9
解析：由图形变化规律可得c1＝3，c2＝4，c3＝，…，cn＝3×n－1，c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＝9>81，则有n>10⇒lg n>lg 10⇒n>＝8.006，所以最小正整数n的值为9.
8．答案：－
解析：设正四面体ABCD棱长为a，O为其中心，如图所示，则OA，OB，OC，OD两两成等角；设O在底面的射影为O1，则O1为△BCD的中心，OA＝OD＝R，
∴O1D＝× ＝a，AO1＝ ＝a，
则R2＝2＋a2，解得：R＝a，
∴cos θ＝＝－.
二 能力小题提升篇
1．答案：A
解析：由题意知，千位9为横式，百位1为纵式|，十位1为横式—，个位7为纵式．
2．答案：A
解析：第一次为＝，则该值为π的一个不足近似分数值，即＜π＜；第二次为＝，该值为π的一个过剩近似分数值，即＜π＜；第三次为＝，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．
3．答案：C
解析：若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾；若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾；若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意；此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，所以小明选择的是体操．故选C.
4．答案：C
解析：根据题意，第1行第1列的数为1，即a11＝＋1＝1；第2行第1列的数为2，即a21＝＋1＝2；第3行第1列的数为4，即a31＝＋1＝4；…；据此分析可得，第64行第1列的数为a(64)1＝＋1＝2 017，则a(64)4＝2 020.
5．答案：120
解析：根据3×3的蛇形数阵可知，当n为奇数时，“n×n蛇形数阵”的正中间数为n2，故11×11的蛇形数阵正中间数为112＝121，且为第6行第6列，又观察3×3的蛇形数阵可得11×11的蛇形数阵第6行第5列的数比第6行第6列小1，为120.
6．答案：＋＋
解析：∵＝1，故＝＋＝＋，
又因为＝4，所以＝＋＝＋，故＝＋＋.
三 高考小题重现篇
1．答案：A
解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意．
2．答案：B
解析：26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178 (cm)，故其身高可能是175 cm.
3．答案：A
解析：连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为＝，底角均为＝90°－，所以等腰三角形的底边长均为2cos ＝2sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为＝，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈＝6n×sin ＋6n×tan ，所以π≈3n×sin ＋3n×tan ＝3n(sin ＋tan ).
4．答案：D
解析：(方法一)因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<≤1，所以α1<α1＋，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋.设＝t1，所以α2＋>α2＋，则α1＋<α1＋，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋.设＝t2，所以α1＋>α1＋，所以b2
由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b5＝，b6＝，b7＝，b8＝.对比四个选项，可知选D.
单元检测(十二) 算法、复数、推理与证明
1．答案：D
解析：z＝＝＝1－i，复数z对应的点为(1，－1)，
则复数z对应的点位于第四象限．
故选D.
2．答案：B
解析：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数”．
3．答案：D
解析：由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8＋6个火柴棒组成，第三个图中有8＋2×6个火柴棒组成，以此类推：组成n个系列正方形的火柴棒的根数是8＋6(n－1)，∴第n个图中的火柴棒有6n＋2.故选D.
4．答案：A
解析：易知z＝2＋i，则＝＝＝i，其共轭复数为－i.
5．答案：C
解析：由程序框图可知x＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.
6．答案：B
解析：由题得z＝(1＋2i)(a－i)＝a＋2＋(2a－1)i，在复平面内所对应的点在第四象限，所以，解得－2
解析：依题意，甲：a＝2；乙：b＝1；丙：＝；丁：＝4；∵·＝a，此时易知c＝1，b＝≠1，∴甲、丙、丁是真命题，故乙为假命题．故选B.
8．答案：D
解析：分母n，n＋1，n＋2，…，n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列，项数为n2－n＋1.当n＝2时代入得，f(2)＝＋＋.
9．答案：C
解析：由a1>1，a2 016a2 017>1得q>0，由<0，a1>1得a2 016>1，a2 017<1，0
解析：13＝12，13＋23＝32＝2，13＋23＋33＝62＝2，
13＋23＋33＋43＝102＝2，
根据上述规律，得13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝2
＝2＝.故选B.
11．答案：C
解析：执行程序：x＝86，y＝90，S＝＋≠27；x＝90，y＝86，S＝＋≠27；x＝94，y＝82，S＝＋≠27；x＝98，y＝78，S＝＋＝27，故输出的x，y分别为98，78.
12．答案：D
解析：当甲听音乐，则乙在看书，如图所示：
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
√
乙
√
×
×
丙
×
×
√
丁
√
当甲玩游戏，则乙在看书，如图所示：
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
√
乙
√
×
×
丙
×
×
√
丁
√
13．答案：－7
解析：＝＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.
14．答案：1＋＋＋…＋<
解析：由题意，不等式可化简为：1＋<＝，1＋＋<＝，
1＋＋＋<＝，…
照此规律，第n个不等式为1＋＋＋…＋<.
15．答案：S＝S＋xn
解析：由题意知，该程序的功能是求样本x1，x2，…，x10的平均数，因为“输出”的前一步是“＝”，所以循环体的功能是累加各样本的值，故应为S＝S＋xn.
16．答案：19 15
解析：由题意可知，第一层1个，第二层有3个，第三层7个，第四层12个，第五层19个，得到一数列：1，3，7，12，19，27，37，48，61，75，91，108，127，147，169，192….
(可分奇数项规律和偶数项规律分别考虑)
由1＋3＋7＋12＋19＋27＋37＋48＋61＋75＋91＋108＋127＋147＋169＝932可得：一共15层．
17．解析：(1)由m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2.
∴m＝－1或－2时，z是实数．
(2)由，解得m＝3，
∴m＝3时，z是纯虚数．
(3)由，解得－1
所以t＝sin 2x－cos 2x.
又t＝0，所以sin 2x－cos 2x＝0，得tan 2x＝.
因为0
(2)由(1)知，t＝f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin .
因为当x＝α时，t＝，
所以2sin ＝，
即sin ＝－cos ＝，
所以cos ＝－，
所以cos ＝cos 2
＝2cos2－1＝2×－1＝－.
19．解析：(1)由a1＝0得an＝(n－1)d，Sn＝，
因为a2＋2，S3，S4成等比数列，所以S＝(a2＋2)S4，
即(3d)2＝(d＋2)·6d，
整理得3d2－12d＝0，即d2－4d＝0，
因为d≠0，所以d＝4.
所以an＝(n－1)d＝4(n－1)＝4n－4.
(2)证明：由(1)可得Sn＋1＝2n(n＋1)，
所以bn＝＝＝2＋＝2＋，
所以Tn＝2n＋(1－＋－＋…＋－)＝2n＋<2n＋，
所以Tn－2n<.
20．解析：(1)由f1(x)＝sin，
得f2(x)＝cos ，
f3(x)＝－sin .
(2)猜想：fn(x)＝sin (n∈N*).
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f1(x)＝sin ，结论成立；
②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，
即fk(x)＝sin .
当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝[fk(x)]′＝×cos ＝sin ＝sin .
所以当n＝k＋1时，结论成立．
所以由①②可知，对任意的n∈N*结论成立．
21．证明：(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴PD⊥平面PAB，又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.
∵F，G分别为PB和PC的中点，
∴FG∥BC，且FG＝BC.
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE＝BC，
∴ED∥FG，且ED＝FG，
∴四边形EFGD为平行四边形，
∴EF∥GD.
又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
22．解析：(1)f(x)＝＋1∉M.理由如下：
假设f(x)＝＋1∈M，
则在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，
即＋1＝＋1＋3，
整理得3x＋3x0＋2＝0，
∵方程3x＋3x0＋2＝0无实数解，
∴假设不成立，
∴函数f(x)＝＋1∉M.
(2)由题意得，f(x)＝ln ∈M，
∴ln ＝ln ＋ln 在定义域内有解，
即(2－a)x2－2ax－2a＋2＝0在实数集R内有解，
当a＝2时，x＝－，满足题意；
当a≠2时，由Δ≥0，得a2－6a＋4≤0，
解得3－≤a≤3＋且a≠2，
综上3－≤a≤3＋，
∴实数a的取值范围为[3－，3＋].
(3)证明：∵f(x)＝3x＋x2，
∴f(x0＋1)－f(x0)－f(1)＝3x0＋1＋(x0＋1)2－3x0－x－4＝2
又函数y＝3x的图象与函数y＝－x＋的图象有交点，
设交点横坐标为a，则3a＋a－＝0，所以3x0＋x0－＝0，其中x0＝a，
∴f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，即f(x)∈M.
点点练39 选修4系列
一 选修4－4：坐标系与参数方程
1．解析：(1)C1的参数方程为
消去参数t，得C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0).
(2)曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，
两边同乘ρ，得2ρcos θ－ρsin θ＝0，
则C3的直角坐标方程为y＝2x.
联立得方程组
解得或
将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0).
联立得方程组
解得或
所以C3与C1交点的直角坐标为和，C3与C2交点的直角坐标为和(－1，－2).
2．解析：(1)由ρsin (θ＋)＋m＝0，
得ρsin θ＋ρcos θ＋m＝0.
∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
∴l的直角坐标方程为x＋y＋m＝0.
(2)(方法一)把x＝cos 2t，y＝2sin t代入x＋y＋m＝0，得m＝－cos 2t－sin t＝－＋3sin2t－sint＝3(sin t－)2－.
∵sin t∈[－1，1]，
∴当sin t＝时，m取得最小值－；
当sin t＝－1时，m取得最大值.
∴m的取值范围是[－，].
(方法二)x＝cos 2t＝(1－2sin2t)＝[1－2()2]＝－y2.
∵y＝2sint，sin t∈[－1，1]，∴y∈[－2，2].
联立得方程组
消去x并整理，得3y2－2y－4m－6＝0，
即4m＝3y2－2y－6＝3(y－)2－(－2≤y≤2).
∴－≤4m≤10，∴－≤m≤.
∴m的取值范围是[－，].
3．解析：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，
所以直线l的普通方程为y＝x－；
因为ρ＝4cos ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，
所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，得x2＋y2＝2x＋2y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
(2)因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为(0，－)，所以点P在直线l上，
将直线l的参数方程(t为参数)，代入x2＋y2－2x－2y＝0，化简得t2－7t＋9＝0，
设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝7，t1t2＝9，故t1>0，t2>0，
所以|PA|＝|t1|＝t1，|PB|＝|t2|＝t2，
所以＋＝＋＝＝.
4．解析：(1)依题意：圆C1的半径r＝＝2，
所以圆C1的标准方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝8，得x2＋y2－4x－4y＝0，
由x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋4cos θ，
由θ＝(ρ≥0)，得C2的普通方程为x－y＝0(x≥0)；
(2)由(1)知C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋4cos θ，
C2的普通方程为x－y＝0(x≥0)，
将θ＝(ρ≥0)代入ρ＝4sin θ＋4cos θ得ρ＝2＋2，
∴|OP|＝ρ＝2＋2.
设M(2cos α，sin α)，
则M到C2的距离d＝
＝(其中tan φ＝－)，
∴d≤，当sin (α＋φ)＝±1时，等号成立，
∴(S△OPM)max＝×|OP|·dmax＝×2(＋1)×＝.
二 选修4－5：不等式选讲
1．证明：(1)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，(a2＋b2＋4c2)(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)2，
即(a＋b＋2c)2≤9，且a，b，c均为正数，
所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立．
所以a＋b＋2c≤3.
(2)(方法一)3＝3＝3.
由b＝2c，a＋b＋2c≤3得
3＝3≥(a＋b＋2c)≥(·＋·＋·)2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以＋≥3.
(方法二)因为b＝2c，由(1)知a＋b＋2c≤3，
所以×3≥(a＋4c)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立．所以＋≥3.
2．证明：(1)因为a，b，c都是正数，
所以a＋b＋c≥3＝3，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
因为a＋b＋c＝1，所以≤，即abc≤.
(2)(方法一)因为a，b，c都是正数，
所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2，当且仅当a＝b＝c＝时同时取等号．
所以2(＋＋)≤2(＋＋)＝a＋b＋c＝1，
所以＋＋≤.
(方法二)要证＋＋≤成立，只需证＋＋≤成立即可．
因为a，b，c都是正数，
所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2，当且仅当a＝b＝c＝时同时取等号．
所以＋＋≤＋＋＝＝，得证．
3．解析：(1)由题意可得：f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|＝，
当x≥1时，则f(x)＝3x－1<8，解得1≤x<3；
当－1
(2)∵g(x)＝f(x)－|x－1|＝|x＋1|＋|x－1|≥2，当且仅当x∈[－1，1]时等号成立，
∴函数g(x)的最小值为m＝2，则a＋b＋c＝2，
又∵b＋≥2＝2a，当且仅当b＝，即a＝b时等号成立；
c＋≥2＝2b，当且仅当c＝，即b＝c时等号成立；
a＋≥2＝2c，当且仅当a＝，即a＝c时等号成立；
上式相加可得：＋＋≥2a＋2b＋2c，当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴＋＋≥a＋b＋c＝2.
4．解析：(1)f(x)＝|2x＋1|－|x＋1|－1<0.
①当x<－1时，不等式可化为－(2x＋1)＋x＋1－1<0，解得x>－1，则x∈∅；
②当－1≤x≤－时，不等式可化为－(2x＋1)－(x＋1)－1<0，解得x>－1，则－1
所以要证|2a＋1|－|1－2b|<|2ab＋2|，只需证|2a＋2b|<|2ab＋2|，
即证|a＋b|<|ab＋1|，即证|a＋b|2<|ab＋1|2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，
即证(a2－1)(b2－1)>0.
由(1)可知，M＝{x|－1
综上所述，|2a＋1|－|1－2b|<|2ab＋2|.
第二部分 学科核心素养专项练
素养训练(一) 数学抽象
1．答案：A
解析：由题意，可知x满足解得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A.
2．答案：C
解析：∵f(x)是幂函数，∴m2－2m＋1＝1，即m＝0或2.又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴2m－1>0，即m>.∴m＝2.故选C.
3．答案：C
解析：对于函数y＝loga(x＋4)＋2(a>0且a≠1)，令x＋4＝1，求得x＝－3，则y＝2，
∴函数的图象恒过点A(－3，2)，
∵点A在角θ的终边上，
∴tan θ＝＝－，则sin 2θ＝＝＝－.故选C.
4．答案：C
解析：函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}，当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.
5．答案：D
解析：∵f(x)＝x3＋2x2f′(1)＋2，
∴f′(x)＝3x2＋4xf′(1)，
∴f′(1)＝3＋4f′(1)，
解得f′(1)＝－1，
∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(2)＝3×22－4×2＝4，
图象在点x＝2处的切线的斜率k＝tan α＝4，则
sin cos ＝－cos αsin α＝－＝－＝－，故选D.
6．答案：D
解析：∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，
且a4＋λa10＋a16＝15，∴1＋3d＋λ(1＋9d)＋1＋15d＝15，
解得λ＝，∵d∈[1，2]，λ＝－2＋是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值，λ＝＝－.故选D.
7．答案：B
解析：由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知：f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝，故选B.
8．答案：D
解析：因为a＝33.1>30＝1，0
9．答案：B
解析：∵f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，
∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得
综上，所求不等式的解集为.
10．答案：B
解析：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an，则第n＋1次“H扩展”后得到的数列的项数为an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2.又a1－1＝3－1＝2，∴{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an－1＝2·2n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋1＝1 025.故选B.
11．答案：D
解析：f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1，∴0<<1，
则0<<2，∴1<1＋<3，
即1
12．答案：B
解析：由f(x)是偶函数且满足f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)的图象关于y轴对称且关于直线x＝1对称，函数g(x)＝e－|x－1|(－1
解析：因为a与b共线且方向相反，由共线向量定理可设a＝λb(λ<0)，即解得m＝±1，由于λ<0，所以m＝－1.
14．答案：x＋2y－z－2＝0
解析：由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.
15．答案：(1，2)
解析：椭圆＋＝1的右焦点F为(2，0)，
不妨取双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，
则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝<，
即有2b< c，∴4b2<3c2，
∴4(c2－a2)<3c2，∴e<2，
∵e>1，∴1
解析：设f(x)上任意一点为(x，y)，则(x，y)关于直线y＝－x对称的点为(－y，－x)，把(－y，－x)代入y＝，得－x＝，∴f(x)＝log3(－x)＋a，x<0，∵f(－3)＋f＝4，∴1＋a－1＋a＝4，解得a＝2.
素养训练(二) 逻辑推理
1．答案：A
解析：解法一(集合法) <⇔－<θ－<⇔0<θ<；sin θ<⇔－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z.
由，k∈Z，
可得“<”是“sin θ<”的充分不必要条件．
解法二(定义法) <⇔0<θ<⇒sin θ<，当θ＝0时，sin θ<，但不满足<，所以是充分不必要条件，故选A.
2．答案：B
解析：因为sin θtan θ<0，所以角θ的终边落在第二或第三象限，又sin θ＋cos θ∈(0，1)，因而角θ的终边落在第二象限，故选B.
3．答案：C
解析：因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．答案：B
解析：∵对任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2.
∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.
∴S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选B.
5．答案：B
解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，∴由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4.不妨令a＝2x，b＝3x，c＝4x(x≠0)，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得cos C＝＝＝－，∵0
解析：因为y＝xn(n∈N*)在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以∀x∈N*，≥成立，p为真命题；
因为2x>0，21－x>0，所以2x＋21－x≥2＝2，当且仅当2x＝21－x，即x＝时等号成立，所以q为真命题，则p∧q为真命题，故选A.
7．答案：D
解析：因为－＝－＝≥0，
所以≥，又≥(a>0，b>0)，所以≥ab，易得函数f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(ab)≤f≤f，
即r≤q≤p.
8．答案：D
解析：若甲预测正确，则乙预测正确，丙预测错误，丁预测正确，与题意不符，故甲预测错误；若乙预测错误，则依题意丙、丁均预测正确，但若丙、丁预测正确，则获奖作品可能是“A，C”“B，C”“C，D”，这几种情况都与乙预测错误相矛盾，故乙预测正确．所以丙、丁中恰有一人预测正确．若丙预测正确，丁预测错误，两者互相矛盾，排除；若丙预测错误，丁预测正确，则获奖作品只能是“A，D”，经验证符合题意．故选D.
9．答案：D
解析：a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
α∥β，a⊂α，则a∥β，故D正确，故选D.
10．答案：A
解析：∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，
∴y－z＝a(ea－eb)，
又a>b>0，e>1，∴ea>eb，∴y>z，
z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，
又a>b>0，eb>1，∴z>x.
综上，x
解析：由cos β＝tan α(1＋sin β)，可得cos β＝(1＋sin β)，cos βcos α－sin αsin β＝sin α＝cos ，即cos (α＋β)＝cos ，又α∈，β∈，则α＋β∈(0，π)，－α∈.
故α＋β＝－α，即2α＋β＝.故选D.
12．答案：C
解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面 PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．
13．答案：相交
解析：由点P(1，m)在椭圆＋y2＝1的外部，
得m2>.
则圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线2mx－y＋＝0的距离d＝<<1，
∴直线y＝2mx＋与圆x2＋y2＝1相交．
14．答案：
解析：由已知得f(x)＝sin ，
令2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
由ω>0，得≤x≤，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的单调递增区间为，
所以(－ω，ω)⊆，
所以
解得0<ω≤，
又y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，
所以ω2＋＝kπ＋，k∈Z，
解得ω2＝kπ＋，k∈Z，
又0<ω≤，所以ω＝.
15．答案：2 018
解析：由题归纳得第n行的第1个数是2n－1，故第11行的第1个数是1 024，第995个数是1 024＋994＝2 018.
16．答案：甲丙乙丁
解析：由题意可列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲说
丁>乙
乙说
甲>丙
丙说
丙>丁
丁说
丙>乙
若甲说的是真实的，则甲读书本数最少，可得四人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁；若乙说的是真实的，则乙读书本数最少，与丁<乙，丙<乙矛盾，不符合题意；若丙说的是真实的，则丙读书本数最少，与丙>丁，甲<丙矛盾，不符合题意，若丁说的是真实的，则丁读书本数最少，与丙<丁矛盾，不符合题意．综上，只有甲说的是真实的，甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁．
素养训练(三) 数学运算
1．答案：B
解析：由log2x<1＝log22，解得0
2．答案：B
解析：由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的区间长度是7，[1，4]长度是3，所以所求概率P＝.故选B.
3．答案：C
解析：设向量a与b的夹角为θ，因为c＝a＋b，c⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，所以|a|2＝－|a||b|cos θ，所以cos θ＝－＝－＝－，所以θ＝120°.
4．答案：B
解析：由题意得，x＝－和x＝2是方程mx2＋nx－＝0的两根，所以－＋2＝－且×2＝(m<0)，解得m＝－1，n＝，所以m－n＝－.故选B.
5．答案：A
解析：由题意知，
解得或∴xy＝42.
6．答案：B
解析：解法一 设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则由a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，得
解得故选B.
解法二 设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，
因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.
因为a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，
所以4a1＝－2，所以a1＝－，故选B.
7．答案：B
解析：由题意得tan ＝＝，解得tan α＝－，则sin2＝＝＋＝＋＝，故选B.
8．答案：C
解析：在△ABC中，∵sin C＝2sin B，
∴由正弦定理可得c＝2b，
又∵a＝3，A＝，∴由余弦定理可得9＝b2＋c2－bc＝b2＋(2b)2－b·2b，解得b＝，
∴c＝2，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋＋2＝3＋3.
故选C.
9．答案：D
解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0，1]上有f(x)＝x2，所以f＝＝，故f＝－，故选D.
10．答案：B
解析：圆C的方程为(x－3)2＋y2＝1，圆心为C(3，0)，半径r＝1.圆M的方程为(x－3－3cos θ)2＋(y－3sin θ)2＝1，圆心为M(3＋3cos θ，3sin θ)，半径R＝1.由于cos2θ＋sin2θ＝1，|CM|＝＝3>R＋r＝2，所以两圆相离，则要求∠APB的最大值，只需求|PC|的最小值，此时|PC|＝3－1＝2，|AC|＝1，得∠APC＝，所以∠APB＝，即∠APB的最大值为.
11．答案：D
解析：依题意O是正三角形ABC的中心，设AB＝a，分析计算易得0
解析：解法一 设F(－c，0)关于直线x＋y＝0的对称点A的坐标为(m，n)，则
∴m＝，n＝c，即A，
∵点A在椭圆C上，
∴＋＝1，把b2＝a2－c2代入，
化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，又0
解法二 设右焦点为F′，AF交直线x＋y＝0于点M，则AF⊥OM且M为AF的中点，连接AF′.∵O为FF′中点，∴OM∥AF′，
∵直线x＋y＝0的倾斜角为120°，
∴∠MOF＝60°，
∴∠AF′F＝60°.
在Rt△AFF′中，不妨设|AF′|＝1，则|FF′|＝2，
|AF|＝，
∴e＝＝＝＝－1.故选D.
13．答案：{x|0
解析：由已知，得f′(x)＝＋x－＝(x>0)，
由f′(x)＝0解得x＝或x＝2，
由f′(x)>0，得0
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝ln 2－3.
15．答案：正相关 1.7
解析：由题意知，n＝10，＝xi＝8，＝yi＝2，
∴＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4.
∴＝0.3x－0.4，∵0.3>0，∴变量x与y正相关，
当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
16．答案：an＝
解析：依题意得，(an＋1＋an)(an＋1－3an－1)＝0，因为an>0，所以an＋1＝3an＋1，所以an＋1＋＝3，又a1＋＝≠0，所以数列是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋＝×3n－1＝，所以an＝.
素养训练(四) 直观想象
1．答案：A
解析：由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(∁UA)∩B＝{2，4}．故选A.
2．答案：A
解析：设图形Ω的面积为S，由题意得＝≈，
∴S≈.故选A.
3．答案：C
解析：由函数f(x)的图象可知，－1
4．答案：B
解析：不等式组表示的可行域如图：
由图可知|AB|的最小值为点A到直线x－y＝0的距离，为＝.故选B.
5．答案：D
解析：由函数y＝log2(－x)，得到－x>0，解得x<0.
根据y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象，且log2(－x)
则满足条件的x∈(－1，0).如图所示：
6．答案：D
解析：∵·＝||·||·cos ∠ABC＝||2，
∴||·cos ∠ABC＝||＝6，
∴⊥，即∠BAC＝，
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B(6，0)，C(0，3)，设P(x，y)，
则2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2
＝3x2－12x＋3y2－6y＋45
＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，
∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，
此时·＝(2，1)·(－6，3)＝－9，故选D.
7．答案：C
解析：根据几何体的三视图知几何体为半个以3为半径的圆柱截取一个半径为1的半圆柱．故S＝×2＋2×3×2＋2π×3××3＋2π×1××3＝20π＋12.故选C.
8．答案：B
解析：因为mn<0，所以m、n异号，根据题意可得m<0，n>0，又P(π，0)，所以T>π且<π，即π
解析：因为y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y＝f(|x－1|)的图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B.
10．答案：C
解析：如图所示，设准线l与x轴交于点N.
则|FN|＝2.
∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝60°.
∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.
由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，
∴△AMF是边长为4的等边三角形．
∴S△AMF＝×42＝4.
故选C.
11．答案：C
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示．
由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，
故解得－2≤m<－1.故选C.
12．答案：C
解析：记g(x)＝－x2＋2ax＋1＝－(x－a)2＋1＋a2，x≤1.
当a<1时，g(x)图象的对称轴x＝a<1，则函数g(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，1)上单调递减，
又因为t(x)＝ln x＋2a在区间(1，＋∞)上单调递增(如图1)，
所以①错误．
当a>1时，g(x)图象的对称轴x＝a>1，
则函数g(x)在(－∞，1)上单调递增，又t(x)＝ln x＋2a在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增(如图2)，
所以②错误．对于③，当a<0时，
g(x)图象的对称轴x＝a<0，
所以g(x)在(－∞，a)上单调递增；在(a，1)上单调递减，
又t(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
且有g(a)＝1＋a2>0，
所以函数f(x)的图象与x轴有3个交点(如图3)，
所以③正确．
综上，选C.
13．答案：{x|－2≤x<－1或2
利用数轴(如图)可知，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2
14．答案：∪∪(π，2π)
解析：在同一坐标系中分别作出y＝|x|－与y＝sin x的图象：
根据图象可得不等式的解集为∪∪(π，2π).
15．答案：
解析：如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－与半圆y＝.
由题意知，直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k(x＋2)－过点(1，2)，则k＝.
16．答案：
解析：如图所示，S四边形ABCD＝(PA·PD－PB·PC)，
取AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，OP，则S四边形ABCD＝[(PE＋AE)·(PF＋DF)－(PE－AE)·(PF－DF)]＝PE·DF＋AE·PF，由题意知四边形OEPF为矩形，则OE＝PF，OF＝PE，结合柯西不等式有S四边形ABCD＝OF·DF＋AE·OE≤，其中OF2＋OE2＝OP2，DF2＋AE2＝4－OF2＋4－OE2＝8－OP2，
据此可得S四边形ABCD≤＝＝，
综上，四边形ABCD面积的最大值为.
素养训练(五) 数据分析
1．答案：B
解析：样本间隔为24÷6＝4，年龄不超过55岁的有8人，则需要抽取8÷4＝2人，故选B.
2．答案：A
解析：根据选择D方式的有18人，占15%，得总人数为＝120，
故选择A方式的人数为120－42－30－18＝30.
故选A.
3．答案：A
解析：∵＝8，＝3.4，
∴3.4＝0.65×8＋，解得＝－1.8，则＝0.65x－1.8，样本点中落在回归直线下方的有(6，2)，(8，3)，共2个，所求概率P＝，故选A.
4．答案：D
解析：4 100×0.126－4 000×0.125＝516.6－500＝16.6，故选D.
5．答案：D
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
6．答案：A
解析：由题意可知，成绩在[90，100)内的频率为0.005×10＝0.05.频数为5，成绩在[100，110)内的频率为0.018×10＝0.18，频数为18，成绩在[110，120)内的频率为0.030×10＝0.3，频数为30，成绩在[120，130)内的频率为0.022×10＝0.22，频数为22，成绩在[130，140)内的频率为0.015×10＝0.15，频数为15，成绩在[140，150]内的频率为0.010×10＝0.1，频数为10，而优秀的人数为25，成绩在[140，150]内的有10人，成绩在[130，140)内的有15人，所以成绩在[130，150]内的共25人，所以分数不低于130为优秀，故选A.
7．答案：C
解析：观察题图中数据知A，B，D正确，对选项C，2018年2月CPI同比上涨2.9%，环比上涨1.2%，故C错误，故选C.
8．答案：D
解析：由程序框图知：
S初始值为0，不满足S≥，故S＝＝，n＝3；
S＝，不满足S≥，故S＝＋＝，n＝5；
S＝，不满足S≥，故S＝＋＋＝，n＝7；
S＝，不满足S≥，故S＝＋＋＋＝，n＝9，
此时，满足S≥，退出循环，输出n＝9，故选D.
9．答案：C
解析：由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都高于乙同学，可知甲>乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，故σ甲<σ乙，故选C.
10．答案：B
解析：由题意知y＝
即y＝
当日销量不少于20个时，日利润不少于96元．
当日销量为20个时，日利润为96元，
当日销量为21个时，日利润为97元，
日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)，1种情况，故所求概率为，故选B.
11．答案：D
解析：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，
即＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝，故选D.
12．答案：D
解析：因为数列{xn}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，所以xn＋1＝f(xn)，所以由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，所以数列{xn}是周期为4的周期数列，所以x1＋x2＋…＋x2 022＝505(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＋x2＝505×15＋1＋3＝7 579.故选D.
13．答案：85
解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x，依题意可得＝，解得x＝85.
14．答案：丙
解析：乙、丙的平均成绩最高，且丙的方差小于乙的方差，丙的发挥较稳定．
15．答案：(22，20)
解析：由题意可得第一组的各数对的和为3，第二组各数对的和为4，第三组各数对的和为5，第四组各数对的和为6，……第n组各数对的和为n＋2，且各个数对无重复数字，
可得第40组各数对的和为42，
则第40组的第21个数对为(22，20).
16．答案：1
解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
素养训练(六) 数学建模
1．答案：A
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
2．答案：B
解析：由题意得，三乡总人数为8 758＋7 236＋8 356＝24 350.
∵共征集378人，∴需从西乡征集的人数是×378≈112，故选B.
3．答案：B
解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B.
4．答案：A
解析：根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a：a＝3k＋2，a＝5n＋3，a＝7m＋2，k，n，m∈Z.根据程序框图可知，数a已经满足a＝5n＋3，n∈Z，所以还要满足a＝3k＋2，k∈Z和a＝7m＋2，m∈Z，并且还要用一个条件给出，即a－2既能被3整除又能被7整除，所以a－2能被21整除，故在“◇”处应填入∈Z，故选A.
5．答案：A
解析：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a6＝192×＝6，最后一天走了6里，故选A.
6．答案：B
解析：设该扇形的半径为r m，
连接CO.
由题意，得CD＝150 (m)，OD＝100 (m)，∠CDO＝60°，△CDO中，根据余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50 m．
7．答案：B
解析：由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数故为6个小时，故选B.
8．答案：B
解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱相交，故①错；如图，α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，l⊂β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.故选B.
9．答案：D
解析：建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为x2＝－2py，p>0，
∵抛物线过点(6，－5)，∴36＝10p，可得p＝，
则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．故选D.
10．答案：C
解析：将数字从左往右只有以0为分界进行分组，
第一组为10，数字之和为1；
第二组为1 110，数字之和为3；
第三组为111 110，数字之和为5；以此类推，
故第n组的数字之和是以1为首项，2为公差的等差数列，即第n组数字之和为2n－1.
由题知共2 019个数字，则前44组共有44×2＋×2＝1 980个数字，
则前1 980个数字之和为44×1＋×2＝1 936，
剩余数字个数为2 019－1 980＝39，
则所有数字之和为1 936＋39＝1 975，故选C.
11．答案：C
解析：设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，相应的利润为z元，
于是有
作出可行域，如图中阴影部分所示．
由图可知，当z＝300x＋400y经过点A时，z取得最大值．
解方程组得A点坐标为(4，4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2 800.
故每天生产甲种产品4桶、乙种产品4桶时，公司可获得最大利润，为2 800元．
12．答案：C
解析：设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当0
令f′(x)＝0，∴x＝80.
当20
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.故选C.
13．答案：
解析：从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝.
14．答案：85
解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．
由题意知解得2c＝85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米．
15．答案：37.5
解析：由题意知t＝－1(1
解析：设神针原来的长度为a cm，t秒时神针的体积为V(t)cm3，则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8，所以V′(t)＝[－2(12－t)(a＋20t)＋(12－t)2·20]π.
因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此时V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，当t∈(0，2)时，V′(t)>0，当t∈(2，8)时，V′(t)<0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)＝8 640π，V(8)＝3 520π，所以当t＝8时，V(t)有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.
第三部分 仿真模拟冲刺卷
仿真模拟冲刺卷(一)
1．答案：C
解析：∵A＝＝{x|x≥0}，
B＝＝{y|y>0}，
A∩B＝(0，＋∞).故选C.
2．答案：C
解析：因为z·i＝1＋2i，
所以z＝＝＝－(i＋2i2)＝2－i，
∴|z|＝＝，
故选C.
3．答案：A
解析：如图，建立平面直角坐标系，
每一个小正方形的边长均为1，
故＝(1，0)，＝(0，2)，＝(2，1)，
则(－)·＝(1，－2)·(2，1)＝2－2＝0.
故选A.
4．答案：B
解析：由已知中茎叶图可得，甲商场的销售额分别为：5，7，11，12，14，17，23，24.
故甲的中位数为m甲＝×(12＋14)＝13.
平均数为x甲＝×(5＋7＋11＋12＋14＋17＋23＋24)＝.
乙商场的销售额分别为：4，9，12，13，13，19，25，28.
故乙的中位数是m乙＝×(13＋13)＝13.
平均数为x乙＝×(4＋9＋12＋13＋13＋19＋25＋28)＝.
∴m甲＝m乙，x甲
5．答案：D
解析：由题画出可行域如图所示，
当直线l：x＋y－1＝0平移到过点A时，z取得最大值，
由，得A(0，3)，
所以zmax＝0＋3－1＝2，
故选D.
6．答案：A
解析：抛物线y＝6x2的标准方程为：x2＝y，令x2＝y＝2py，得p＝，于是该抛物线的准线为：y＝－.故选A.
7．答案：C
解析：由a＝35，b＝28，a>b，
则a变为35－28＝7，
由a
故选C.
8．答案：B
解析：f(x)＝定义域为{x|x≠0}，排除CD，又f(π)＝＝<0，排除A.故选B.
9．答案：C
解析：因为正四棱锥S ABCD的所有边长都相等，E为SC的中点，
设AC∩BD＝O，连接OE，则OE是△SAC的中位线，
故EO∥SA，
所以∠BEO为异面直线BE与SA所成的角或其补角，
设SA＝AB＝2a，则OE＝SA＝a，BE＝SA＝a，OB＝AB＝a，
所以OE2＋OB2＝BE2，即OE⊥OB，
所以cos ∠BEO＝＝＝，
即异面直线BE与SA所成角的余弦值为.
故选C.
10．答案：B
解析：根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝1，a13＝2，所以q12＝＝2，即q＝2，
所以新插入的第4个数为a5＝a1q4＝(2)4＝2.
故选B.
11．答案：D
解析：由题意f(x)＝2m，cos 2x＋2≠0有解可得m＝＝有解，
因为x≠，k∈Z，所以cosx≠0，tan x≠0，
所以m＝＝＝，
当tan x>0时，＋tan x≥2，当且仅当tan x＝，即x＝kπ＋，k∈Z时取等号，
则0<≤2，即0
则－2≤<0，即－2≤m<0，
综上，m∈[－2，0)∪(0，2].
故选D.
12．答案：B
解析：如图，补全正四面体，则正四面体的棱长为3a，
由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O，O在底面的投影为O1，则MO1⊥平面QPN，
正四面体的内切球半径R＝OO1，外接球半径r＝OM＝OP，正四面体M QPN底面上的高h＝MO1，由相似性易得正四面体M ABC底面上的高为h，
由正三角形的性质，易得△QPN的高h1＝＝a，则PO1＝h1＝a，
则在Rt△MPO1中，h＝MO1＝＝＝a，
PO2＝OO＋PO⇒(a－R)2＝R2＋(a)2，解得R＝a，
平面ABC到平面QPN的距离为h－h＝a，所以O到平面ABC的距离为a－R＝a>R，
故截角八面体的内切球半径亦为R，则截角八面体的内切球的表面积为S＝4πR2＝.
故选B.
13．答案：108
解析：方法1：∵{an}为等差数列，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝39，a3＋a6＋a9＝3a6＝33，
∴a4＝13，a6＝11，
∴S9＝＝＝＝108.
方法2：∵{an}为等差数列，设公差为d，
∴ ，解得： ，
∴S9＝9a1＋d＝9×16＋×(－1)＝108.
14．答案：
解析：把一箱中能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为A、B，不能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为a、b、c、d，
从一箱中随机抽取2罐，所有基本事件有：AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd、ab、ac、ad、bc、bd、cd，共15种，
其中，事件“随机抽取的2罐能中奖”所包含的基本事件有：AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd，共9种，
故所求概率为P＝＝.
15．答案：(x－2)2＋(y－3)2＝4(答案不唯一)
解析：因圆心在直线y＝x＋1上，则在直线y＝x＋1取点(2，3)作圆心，又该圆与y轴相切，则圆半径为2，
所以满足条件的圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－3)2＝4.
16．答案：－4
解析：由F(x)＝f(x2－m)＋f(3－2x)＝0，可得f(x2－m)＝－f(3－2x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x2－m)＝－f(3－2x)＝f(2x－3)，
因为对于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，
所以x2－m＝2x－3，即x2－2x－m＋3＝0，
因为函数F(x)＝f(x2－m)＋f(3－2x)只有一个零点，
所以方程x2－2x－m＋3＝0只有一个根，
所以Δ＝4－4(－m＋3)＝0，解得m＝2，
所以g(x)＝，x∈(－∞，2)，
令t＝2－x(t>0)，则x＝2－t，
所以y＝＝＝＝2t＋－8≥2－8＝－4，
当且仅当2t＝，即t＝1，x＝1时等号成立，
所以函数g(x)＝(x<2)的最小值为－4.
17．解析：(1)由条件2cos (π＋A)＋sin (＋2A)＋＝0，得－2cos A＋cos 2A＋＝0，
即2cos2A－2cosA＋＝0，亦即(cos A－)2＝0，
故cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)证明：由正弦定理及c－b＝a得sin C－sin B＝sin A，
由(1)知A＝，故B＋C＝，于是sin (－B)－sin B＝sin ，
则cos B－sin B＝，即cos (B＋)＝，
因0
从而B＋＝，
所以B＝，则C＝，
因此△ABC是直角三角形．
18．解析：(1)把40户按编号顺序分成10组，每组4户，第一段抽取的是4号，由此可得所抽取的10户的各编号，从而得样本数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
(2)＝＝83，
s2＝[(92－83)2＋(84－83)2＋…＋(89－83)2]＝33；
(3)由(2)s＝≈5.74，满意度等级为“A级”在(77.26，88.74)上，共有5个：84，86，78，83，78，
任取两个，共有事件(84，86)，(84，78)，(84，83)，(84，78)，(86，78)，(86，83)，(86，78)，(78，83)，(78，78)，(83，78)共10个，
其中都超过80的有(84，86)，(84，83)，(86，83)三个，所求概率为P＝.
19．解析：(1)证明：如图，在棱BC上取一点G，使BG＝2GC，连接AG，FG.
∵BF＝2FE，BG＝2GC，∴＝＝2，
∴FG∥CE且FG＝CE，
又AD＝CE，AD∥CE，∴FG＝AD，且AD∥FG.
∴四边形ADFG是平行四边形，∴DF∥AG.
又DF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)设点F到平面ABC的距离为h，三棱锥B ADF的体积是4，△ABC的面积是2，
因为VB ADF＝VB AGF＝VF ABG，所以4＝S△ABGh，S△ABG＝S△ABC，
即4＝·S△ABCh，4＝h，
解得h＝.
20．解析：(1)圆心为M(－4，0)，半径为1，F(，0)，所以＋4－1＝4，p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x；
(2)设直线AB方程为y＝k1(x－1)＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得kx2－(2k－2k1＋4)x＋(k1－1)2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
|TA||TB|＝|x1－1|·|x2－1|＝(1＋k)|x1x2－(x1＋x2)＋1|
＝(1＋k)|－＋1|＝，
设直线PQ方程为y＝k2(x－1)＋1(k2≠k1)，
同理可得|TP||TQ|＝，
由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，得＝，又k2≠k1，所以k2＝－k1，
所以k1＋k2＝0.
21．解析：(1)f(x)＝x(ax－a ln x＋1)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2ax－a ln x＋1－a.
因为x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.
当a＝－1时，f(x)＝x(－x＋ln x＋1)，f′(x)＝－2x＋ln x＋2.
令h(x)＝－2x＋ln x＋2，则h′(x)＝－2＋，
所以当0
因为h(1)＝－2＋ln 1＋2＝0，
所以当
当x>1时，h(x)<0，即f′(x)<0，此时f(x)单调递减，
所以当x＝1时，f(x)取得极大值，符合题意．
故a＝－1为所求．
(2)因为x>0，所以要证f(x)≤ex，只需证a(x－ln x)＋1≤，
即证a ln ＋1≤.
令t＝，x>0，则t′＝，
所以当0
当x趋近于＋∞时，t趋近于＋∞，x趋近于0＋时，t趋近于＋∞，
所以当x>0时，t＝的值域为[e，＋∞).
令φ(t)＝a ln t＋1－t，t≥e，
则φ′(t)＝－1＝.
因为a≤e－1，t≥e，所以φ′(t)<0，即φ(t)在区间[e，＋∞)上单调递减，
所以φ(t)≤φ(e)＝a＋1－e≤0，
即a ln ＋1≤.
综上，当a≤e－1时，f(x)≤ex.
22．解析：(1)变形为，平方后相加得到
曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1；
结合图象可求出B(2，1)，C(1，0)，D(2，－1).
(2)设P(x，y).
原式＝(x－3)2＋y2＋(x－2)2＋(y－1)2＋(x－1)2＋y2＋(x－2)2＋(y＋1)2＝(4x2－16x)＋4y2＋20＝4(x－2)2－16＋4y2＋20＝4(x－2)2＋4y2＋4，当x＝2，y＝0即P(2，0)时取等号，其最小值为4.
23．解析：(1)函数f(x)＝2|x|＋|2x－1|＝，
当x≥时，f(x)＝4x－1<3，解得x<1，故x∈[，1)；
当0
综上所述：－
所以(1－)2－(t－)2＝1＋－t2－＝(1－t2)(s2－1)<0，
所以(1－)2<(t－)2，故|1－|<|t－|.
仿真模拟冲刺卷(二)
1．答案：A
解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，|z－i|＝|a＋bi－i|＝，
|＋3i|＝|a＋(3－b)i|＝，∴|z－i|＝|＋3i|，
＝，∴b＝2，故选A.
2．答案：D
解析：乙销售数据的极差是112－88＝24，故A正确；甲销售数据的众数为93，故B正确；甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，故C正确；甲销售数据的中位数为93，故D错误．故选D.
3．答案：A
解析：∵X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，
∴X－Y＝{1，2}，Y－X＝{5}，
∴(X－Y)∪(Y－X)＝{1，2，5}，∴|(X－Y)∪(Y－X)|＝3，故选A.
4．答案：C
解析：
由三视图知：如图所示，几何体为三棱锥A ECD，而AB⊥平面BCDE，AB＝BC＝2CD＝4，
所以VA ECD＝AB·S△ECD＝×4××4×2＝.故选C.
5．答案：A
解析：函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，排除C、D；又函数f(1)＝0－2＋1＝－1<0，排除B.故选A.
6．答案：D
解析：对于A，当m∥α，m∥n时，n∥α或n在平面α内，所以A错误；
对于B，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误；
对于C，当m⊥α，n⊥m时，n∥α或n在平面α内，所以C错误；
对于D，当m⊥α，n⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得m∥n，所以D正确．故选D.
7．答案：D
解析：令g(x)＝f(x＋1)－1，因为g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋1)－1＝－f(x＋1)＋1即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝2.
即f(x)＝2－f(2－x)，当x∈(，)时，2－x∈(－，)，
故f(2－x)＝ln [1－2(2－x)]＝ln (2x－3)，
故x∈(，)时，f(x)＝2－ln (2x－3)，
此时f′(x)＝－，故f′(2)＝－2，而f(2)＝2.
故切线方程为y＝－2x＋6.故选D.
8．答案：B
解析：因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P＝＝，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－＝.故选B.
9．答案：B
解析：设AC＝x，则BC＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋1002－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝15°＋30°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理得：
＝，即＝，
解得CH＝140.故选B.
10．答案：B
解析：因为f(1)＝e－4<0，f＝e＋ln －4＝＋ln －4>＋ln －4>0，
所以b∈，因为＝log2
令g′(x)＝0，得x＝.
因为g(x)在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减，
所以c＝，又因为<1，所以c
故选B.
11．答案：B
解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
设△AF1F2的面积为S1，△BF1F2的面积为S2，因为＝3，
所以＝＝⇒＝－＝3，即yA＝－3yB，
设直线l：x＝2y－c，则联立椭圆方程与直线l，可得
⇒(a2＋4b2)y2－4b2cy－b4＝0，
所以yA＋yB＝，yA·yB＝.
令＝－＝λ>1，则2－(λ＋)＝＝＝＝，
当＝λ＝3时，有2－(3＋)＝－＝⇒e2＝⇒e＝.故选B.
12．答案：B
解析：已知3sin2B＋2sin2C＝sin2A＋sinA·(2sin B sin C)
由正弦定理可知：3b2＋2c2＝a2＋2bc sin A，
∴3b2＋2c2－a2＝2bc sin A，
整理得：(b2＋c2－a2)＋2b2＋c2＝2bc sin A，
两边同除以2bc得：＋＝sin A，
根据余弦定理得：cos A＋＋＝sin A，即＋＝sin A－cos A＝sin (A－)，
∵b>0，c>0，∴＋≥2＝，当且仅当＝，即c＝b时等号成立．
又∵＋＝sin A－cos A＝sin (A－)≤，当且仅当A＝时，等号成立．
综上所述：＋≥且＋≤，
故得：＋＝，此时c＝b且A＝，
∴S＝bc sin ＝bc，∴＝·＝·＝·＝．
故选B.
13．答案：
解析：因为以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以＝2，
所以e＝＝＝＝.
14．答案：
解析：由|2a＋3b|＝|2a－3b|，平方得到a·b＝0，所以a，b夹角为.
15．答案：31
解析：等比数列{an}的公比q>1，由a1＝1，a2＋a3＝6，得q＋q2－6＝0，解得q＝2，
所以S5＝＝31.
16．答案：
解析：∵r2＋(R－h)2＝R2，又S＝2πRh，
∴r2＝R2－＝
－＝.
∵2πr＝C，∴r＝，∴＝，即R2C2＝4πR2S－S2，
∴R2＝，∴＝＝＝＝.
17．解析：(1)证明：由A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则AA1⊥CM，
由AC＝CB，M是AB的中点，则AB⊥CM，又A1A∩AB＝A，则CM⊥平面ABB1A1，
又CM⊂平面A1CM，∴平面A1CM⊥平面ABB1A1；
(2)如图，取A1B1的中点N，连结MN，设点M到平面A1CB1的距离为h，
由题意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2，A1M＝，MN＝2，
∴S△A1CB1＝×2×2×sin 60°＝2，S△A1MB1＝×2×2＝2，
又VCA1MB1＝MC·S△A1MB1＝VMA1CB1＝h·S△A1CB1，∴点M到平面A1CB1的距离为h＝＝.
18．解析：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∵a＝c·cos B＋b·sin C，
∴由正弦定理＝＝得：
sin A＝sin C·cos B＋sin B·sin C，
∴sin (B＋C)＝sin C·cos B＋sin B·sin C，
∴sin B·cos C＋cos B·sin C＝sin C·cos B＋sin B·sin C，
即sin B·cos C＝sin B·sin C，又sin B≠0，sin C≠0，∴tan C＝，又C∈(0，π)，∴C＝；
(2)由(1)与∠APB＋∠ACB＝π得∠APB＝，
由余弦定理AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos ∠APB＝1＋4－2×1×2×cos ＝7，
又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝(AC＋BC)2－3AC·BC≥(AC＋BC)2－3＝，
∴≤7，AC＋BC≤2(当且仅当AC＝BC时取等号)，
∴AC＋BC的最大值为2.
19．解析：(1)由A餐厅分数的频率分布直方图，得对A餐厅评分低于30分的频率为：(0.003＋0.005＋0.012)×10＝0.2，
∴对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20人．
(2)对B餐厅评分在[0，10)范围内的有2人，设为m，n，
对B餐厅评分在[10，20)范围内的有3人，设为a，b，c，
从这5人中随机选出2人的选法为：
mn，ma，mb，mc，na，nb，nc，ab，ac，bc，共10种，
其中恰有1人评分在[0，10)范围内的选法包括：
ma，mb，mc，na，nb，nc，共6种，
故2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率为P＝＝.
(3)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的100人中，
A餐厅评分低于30的人数为20，
∴A餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B餐厅评分低于30分的人数为2＋3＋5＝10，
∴B餐厅评分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B餐厅用餐．
20．解析：(1)由已知得x2＝4y，即抛物线的准线方程为y＝－1.
(2)由题意得F(0，1)，且l斜率一定存在，设l：y＝kx＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得，消去y可得x2－4kx－4＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
AB中点为M，设∠ACM＝α，∠BCM＝β，则∠ACB＝α＋β，
即tan ∠ACB＝tan (α＋β)＝＝＝.
若存在满足题意的直线，则tan (α＋β)＝，即4CM2－3AB·CM－AB2＝0，
所以(4CM＋AB)(CM－AB)＝0，又因为CM>0，AB>0，即CM＝AB，
当k＝0时，易知CM＝2，|AB|＝|x1－x2|＝＝4，故不符合题意；
当k≠0时，设C(x3，y3)，M(x4，y4)，因为CM垂直平分AB，所以CM的斜率为－，
易知|CM|＝|y3－y4|，因此有|y3－y4|＝|x1－x2|，
因为M为AB的中点，所以y4＝＝＝2k2＋1，由题意，y3＝－1，
即|x1－x2|＝|2k2＋2|，＝2k2＋2，两边平方整理可得：k4－2k2－3＝0，解得k＝±，
故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
21．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－，
当a<0时，f′(x)<0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
当a>0时，
令f′(x)＝－＝，
当0
综上，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知，a>0，f(x)min＝f()＝1－ln a，
依题意可知1－ln a<0，解得a>e，
由a＝e2得：f(x)＝－2ln x(x>0)，
x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞)，
由f(2e)＝2－2ln 2>0及f(x2)＝0得x2<2e，即x2∈(e，2e)，
欲证x1＋x2>2e，只要x1>2e－x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)＝0，
只要证明f(2e－x2)>0即可，由f(x2)＝－2ln x2＝0得x＝2e2ln x2，
∴f(2e－x2)＝2－2ln (2e－x2)＝－2ln (2e－x2)
＝－2ln (2e－x2)
＝4－＋2ln x2－2ln (2e－x2)，x2∈(e，2e)，
令g(t)＝4－＋2ln t－2ln (2e－t)，t∈(e，2e)，
则g′(t)＝－＋＋＝>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，
于是g(t)>g(e)＝0，即f(2e－x2)>0，综上x1＋x2>2e.
22．解析：(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)
则曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
则曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
曲线C2的极坐标方程为ρ＝，
则曲线C2的直角坐标方程为y－2＝0.
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的极坐标方程是ρ＝，
射线l1：θ＝β(－<β<)，射线l2：θ＝β＋(－<β<)，
则|OA|＝4cos β，|OB|＝||，
则＝2|cos βsin (β＋)|＝|＋sin (2β＋)|，
由－<β<，可得－<2β＋<，
－1≤sin (2β＋)≤1，|＋sin (2β＋)|≤，
(当且仅当β＝时等号成立)
故的最大值为＋1.
23．解析：(1)①当x≤－3时，原不等式化为－x＋2－x－3≥9，即2x≤－10，解得x≤－5；
∴x≤－5时，不等式成立；
②当－3
∴x≥4时，不等式成立；
综上，不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞).
(2)∵f(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时“＝”成立)
∴m＝5即a＋b＋c＝5，
由柯西不等式可得：
[(a＋1)2＋(b＋2)2＋(c＋3)2](12＋12＋12)≥(a＋1＋b＋2＋c＋3)2＝121，
当且仅当a＋1＝b＋2＝c＋3，即a＝，b＝，c＝时“＝”成立，
所以(a＋1)2＋(b＋2)2＋(c＋3)2≥，
因此z＝≥，
即z的最小值是.
仿真模拟冲刺卷(三)
1．答案：D
解析：＝{(0，1)}≠M，故A错误；{(x，y)|y＝＋}＝{(1，0)}≠M，故B错误；＝{－1，0}≠M，故C错误；＝{1，0}＝M，故D正确. 故选D.
2．答案：B
解析：设z＝x＋yi，则＝x－yi，由z·＝1得x2＋y2＝1，即z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹为圆．故选B.
3．答案：C
解析：输入的a，b分别为3，1时，依次执行程序框图可得：
第一次：a＝3＋×3＝，b＝2×1＝2，a
4．答案：B
解析：由直线m，n满足m⊂α，n⊄α，则n⊥m时，n与α可垂直，可不垂直，
当n⊥α，且m⊂α，根据线面垂直的性质定理，可以得到n⊥m，
所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件．故选B.
5．答案：A
解析：由题意可得：
，
即，解得：，
所以f(x)＝23＋5cos ，
所以该市8月份的平均气温为
f(8)＝23＋5cos [(8－6)]＝23＋5cos ＝25.5 ℃，故选A.
6．答案：B
解析：对于A，根据扇形图易知2020和2021这两年发电量中火力发电的占比都是最高，故A正确；对于C，根据扇形图易知2020和2021这两年发电量中水力发电都排名第二，故C正确；对于D，根据扇形图易知2020年的风力、太阳能、核能发电量占比为：1.92%＋4.94%＋5.59%＝12.45%，2021年的风力、太阳能、核能发电量占比为：2.26%＋5.02%＋6.99%＝14.27%，故D正确；对于B，由题意得2020年全国发电量累计值为81 121.8－6 951.4＝74 170.4亿千瓦时，2020年火力发电量为74 170.4×71.18%≈52 794.5亿千瓦时，2021年火力发电量为81 121.8×71.13%≈57 701.9亿千瓦时，故B错误．
故选B.
7．答案：D
解析：双曲线－＝1的焦点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝c，解得b＝c，所以b2＝c2.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2.
因为点(2，)在双曲线上，所以－＝1，所以a2＝3，b2＝9，
所以双曲线的方程为－＝1.故选D.
8．答案：C
解析：由图可得，tan α＝，tan β＝3，
∴tan (β－α)＝＝＝1，
因为0<β<，0<α<，所以－<β－α<，
∴β－α＝.故选C.
9．答案：B
解析：由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，
其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，
所以所求概率为÷＝，故选B.
10．答案：A
解析：当x>0时，f(x)＝－x＋ln |x|＝－x＋ln x，则f′(x)＝－1＋＝，
故当0
故f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以B，C错误；
当x<0时，f(x)＝－x＋ln |x|＝－x＋ln (－x)，
f′(x)＝－1＋<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
令g(x)＝f′(x)＝－1＋，则g′(x)＝－<0，
所以f′(x)＝－1＋单调递减，函数图象为上凸，故D错误，A正确．故选A.
11．答案：A
解析：圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，
根据题意，圆C3与圆C2有交点，又圆C3与圆C2的圆心距为d＝，
要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，解得r∈[－1，＋1]，故选A.
12．答案：D
解析：如图所示，设AB＝c，AC＝b，∠BAO＝θ，∠CAO＝α，
由·＋·＝2m()2
得·c·AO cos θ＋·b·AO cos α＝2m·AO2，
化简得b cos θ＋c cos α＝2mAO，
由O是三角形ABC的外心可知，O是三边中垂线交点，得cos θ＝，cos α＝，
代入上式得bc＝2mAO2，∴m＝.
根据题意知，AO是三角形ABC外接圆的半径，可得sin B＝，sin C＝，
代入sin B＋sin C＝得b＋c＝2AO，
∴m＝≤＝＝，当且仅当“b＝c”时，等号成立．故选D.
13．答案：4.56
解析：由题意得＝(7＋8＋9＋10＋11＋12×3＋13＋14)＝10.8，
根据方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝[x＋x＋…＋x－n2]，
可得s2＝(1 212－10×10.82)＝4.56.
14．答案：60°
解析：∵b＝a cos C＋c
∴由正弦定理可得：sin B＝sin A cos C＋sin C，
即sin A cos C＋sin C cos A＝sin A cos C＋sin C，
即sin C cos A＝sin C，
∵sin C≠0，
∴cos A＝，
∵A∈(0°，180°)，
∴A＝60°.
15．答案：
解析：如图所示，将等腰四面体A BCD补成一个长方体，
设AF＝x，AE＝y，AH＝z，则，解得，
故四面体A BCD的体积为V＝2×2×1－4×××2×2×1＝，
设该四面体的内切球的半径为r，则V＝×4×S△ABC×r，
而S△ABC＝×4×＝2，
故＝×4×2×r，r＝，则该四面体的内切球表面积为4πr2＝.
16．答案：3
解析：设直线l1的方程为x＝t1y＋a，设直线l2的方程为x＝t2y＋a，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立，可得y2－4t1y－4a＝0，所以，y1＋y2＝4t1，y1y2＝－4a，
同理可得y3＋y4＝4t2，y3y4＝－4a，
易知点F(1，0)，设直线AD的方程为x＝ty＋1，
联立，可得y2－4ty－4＝0，
所以，y1＋y4＝4t，y1y4＝－4，
k1＝＝＝，k2＝＝＝－＝，
因为k1＝3k2，则＝，解得a＝3.
17．解析：(1)由an＋1＝2an＋2n＋1变形得：＝＋1，
又a1＝2，故＝1，
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列．
(2)由(1)知：bn＝＝n，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1，
∴＋＋…＋<1.
18．解析：(1)证明：连接DE.依题意，可知DE＝AE＝，∴AD2＝DE2＋AE2，
即AE⊥DE，∵D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴D1D⊥AE.
又D1D∩DE＝D，D1D⊂平面D1DE，DE⊂平面D1DE，∴AE⊥平面D1DE.
∵DF⊂平面D1DE，∴AE⊥DF，
同理，可知D1E＝＝，则EF＝，
∴＝，即△DEF∽△D1ED，∴∠DFE＝∠D1DE＝90°.∴DF⊥D1E.
∵AE⊂平面AD1E，D1E⊂平面AD1E，且AE∩D1E＝E，∴DF⊥平面AD1E.
(2)由题可知VD AD1F＝VF ADD1＝VE ADD1＝××(×2×2)×1＝.
19．解析：(1)设被污损的数字为a，则a的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10种等可能结果，
令88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，解得a<8，
则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”a的取值有0，1，2，3，4，5，6，7共8个，
所以其概率为P＝＝.
(2)由表中数据得xiyi＝525，＝35，＝3.5，x＝5 400，
∴＝，＝.
线性回归方程为＝x＋.
可预测年龄为60观众周均学习成语知识时间为5.25小时．
20．解析：(1)设点P(x，y)，G(a，0)，H(0，b)，
由|GH|＝3得，a2＋b2＝9.
由＝2得，
所以代入a2＋b2＝9，得＋y2＝1，
即所求曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l1的斜率k存在且不为0时，可设l1：y＝kx＋1，l2：y＝－x＋1，
联立方程组整理得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
解得x1＝0，x2＝－，所以|CD|＝|x1－x2|＝，
而圆心O(0，0)到直线l2的距离d＝＝，|AB|＝2＝，
所以S△ABD＝|CD|·|AB|＝＝≤＝5，
当且仅当4|k|＝，即k＝±时取等号．
当直线l1的斜率不存在时，|CD|＝2，|AB|＝4，可得S△ABD＝4<5；
当直线l1的斜率为0时，C，D重合，与题意不符．
综上所述，△ABD的最大面积为5.
21．解析：(1)由题意，f′(x)＝＋－a，
因为x＝0是函数f(x)的一个极值点，
所以f′(0)＝－a＝0，解得a＝±1.
又因为a＋0>0，所以a＝1.
经检验a＝1符合题意，所以实数a的值为1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝ln (x＋1)＋－x的定义域为(－1，＋∞)，
则f′(x)＝＋－1＝，
令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥0；当x∈(－1，0)时，g′(x)<0，
故g(x)在(－1，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
从而对于∀x∈(－1，＋∞)，g(x)≥g(0)＝0，
所以当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－1，0)上单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故对于∀x∈(－1，＋∞)，f(x)≥f(0)＝1.
22．解析：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π).
设P(ρ，θ)为曲线C2上的任意一点，
∴ρ＝2cos .
∴曲线C2极坐标方程为ρ＝2sin θ(0≤θ≤π).
(2)∵直线θ＝α(0<α<π，ρ∈R)与曲线C1，C2分别交于点A，B(异于极点)，
∴设B(ρB，α)，A(ρA，α).
由题意得ρB＝2sin α，ρA＝2，
∴AB＝ρA－ρB＝2－2sin α.
∵点M到直线AB的距离d＝OM×sin α＝2sin α，
∴S△AOM＝|AB|·d＝(2－2sin α)×2sin α
＝2(1－sin α)×sin α≤2×＝(当且仅当sin α＝时，等号成立)
∴△ABM的面积的最大值为.
23．解析：(1)由题意得f(x)＝|x＋m|－|x－2m|≤|(x＋m)－(x－2m)|＝|3m|，
因为函数f(x)的最大值为6，所以|3m|＝6，
即m＝±2.
因为m>0，所以m＝2；
(2)证明：由(1)知，x＋y＋z＝2，
因为x>0，y>0，z>0，
所以2＝x＋y＋z＝＋≥2＋2，
当且仅当＝y＝z时，即x＝1，y＝z＝等号成立，
即×＋×≤2，所以＋≤，当且仅当x＝1，y＝z＝时，等号成立．
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