安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

阜阳三中2023～2024学年度高一年级第一学期一调考试

数        学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第三章3.2.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可.

【详解】因为命题“，”，所以其否定为：，.

故选：A.

2. 已知，，则的非空子集的个数为（    ）.

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】先求出补集，再根据元素个数求子集数.

【详解】根据题意可得，则非空子集有个．

故选：B．

3. 下列各组函数相等的是（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】函数相等要求定义域，解析式，值域都相等.

【详解】A、B、C选项中的定义域为R，而A选项的定义域为，

B、C选项中的定义域为，

所以A、B、C选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、B、C选项都错误；

对于 D选项，定义域都为，解析式，值域都相同，D正确.

故选：D

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得到，根据范围的大小关系得到答案.

【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.

故选：C.

5. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.

【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，

所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．

故选：C．

6. 已知函数，则函数的解析式是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】利用配凑法求解析式即可.

【详解】，且，所以，.

故选：B.

7. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解.

【详解】解：因为函数为偶函数，

所以，，

因为当时，是增函数，又，

所以，即，

故选：A.

8. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.

【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，

则，解得.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应

B. 函数的定义域和值域一定是无限集合

C. 对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同

D. 表示当时，函数的值，这是一个常量

【答案】AD

【解析】

【分析】结合函数的定义，对各选项逐项分析作答即可.

【详解】函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；

函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数定义域为，值域为，B错误；

当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；

表示当时，函数的值是一个常量，D正确.

故选：AD

10. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确.

【详解】由题知，，所以，故A正确﹔

取，，则，，故B不正确﹔

因为，，所以，故C正确；

因为，故，故D正确，

故选：ACD.

11. 设集合，，且，则正实数a的取值可以为（    ）

A. 4 B. 1 C. 2 D.

【答案】BD

【解析】

【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒

【详解】∵，

∴．

将点代入，得，解得(舍去)或．

又当时，可变形为，

当直线与平行时，

有，解得或(舍去)

当或时，符合题意.

故选：BD

12. 已知函的定义域为，对任意实数x，y满足：，且，当时，.则下列选项正确的是（    ）

A.  B.  C. 为奇函数 D. 为上的减函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】取代入计算得到A正确，计算，B错误，变换得到，C正确，根据函数单调性的定义得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：取，则，故，正确；

对选项B：，，错误﹔

对选项C：，，

为奇函数，正确；

对选项D：当时，，是上的减函数，正确，

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 集合用列举法表示为______.

【答案】##

【解析】

【分析】解方程，求出.

【详解】.

故答案为：

14. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.

【详解】要使函数有意义，则，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

15. 某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项．得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中__________；__________；__________．

【答案】    ①. 9    ②. 8    ③. 10

【解析】

【分析】结合图形和交集的定义可得答案.

【详解】由题意得，解得.

故答案为：①9；②8；③10.

16. 若定义在R上的函数，则称为Dirichlet函数.对于Dirichlet函数，下列结论中正确的是______（填序号即可）.

①函数为奇函数；

②对于任意，都有；

③对于任意两数，都有；

④对于任意，都有.

【答案】②④

【解析】

【分析】根据Dirichlet函数的定义，分为有理数和无理数，以及函数的奇偶性的定义，进行化简、运算，可判定①不正确，②正确；④正确，令，，分别求得和的值，可判定③不正确.

【详解】对于①中，若是有理数，则是有理数，于是；

若是无理数，则是无理数，于是，所以函数为偶函数，

所以①不正确﹔

对于②中，若是有理数，则，可得；

若是无理数，则，可得，

因此对于任意，都有，所以②正确；

对于③中，取，，可得，

，此时，所以③错误；

对于④中，若是无理数，则是无理数，可得；

若有理数，则是有理数，可得，

所以对于任意，都有，所以④正确.

故答案：②④.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知全集，，.

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据补集交集的概念运算即可；

（2）先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可.

【小问1详解】

，

若，，

所以；

【小问2详解】

因为“”是“”的充分条件，所以，

所以

即实数m的取值范围是.

18. （1）已知，求的最小值﹔

（2）已知，，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.

（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1），

当且仅当，即时等号成立

（2），

当且仅当，即，时等号成立.

19. 已知函数，且.

（1）证明：在区间上单调递减；

（2）若对恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入数据计算，任取，计算得到证明.

（2）变换得到对恒成立，得到，解得答案.

【小问1详解】

，解得，所以，

任取，则，

又，所以，，

所以，即，所以在区间上单调递减；

【小问2详解】

对恒成立，即对恒成立，

，故二次函数必与x轴存在两个交点，

，只需要满足即可，解出，

因此实数t的取值范围为.

20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由定义在上的奇函数求出，再根据奇函数的性质，当时，，，即可求出解析式；

（2）画出函数图像，根据不同的分类讨论的范围即可．

【小问1详解】

因为是定义在上的奇函数，所以，解得，

则当时，；

当时，，，

所以．

【小问2详解】

函数的图像如图所示：

当，即时，；

当，即时，；

当，即时，；

当，即时，；

综上，

21. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．

（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；

（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．

【答案】（1）   

（2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米

【解析】

【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解.

【小问1详解】

因为，，所以，

又，所以，即，所以，

所以，

解得或，即x的取值范围是；

【小问2详解】

由（1）知

，

当且仅当时等号成立．

故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．

22. 已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）判断的单调性，并证明；

（3）若，求不等式的解集.

【答案】（1），证明见解析   

（2）在上单调递减，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得证；

（2）利用单调性定义结合题意证明即可；

（3）由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可.

【小问1详解】

令，则，又，所以.

证明：当时，，所以，

又，

所以，即.

【小问2详解】

在上单调递减.

证明如下：设，则，

又，所以，所以，

又当时，，当时，，，

所以，即，

所以在上单调递减.

【小问3详解】

因为，所以，

所以，即，

又在上单调递减，所以，