安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：郭怀天 审题人：程刘刚
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用集合的交集运算即可.
【详解】由，，
则.
故选：C
2. 设，则的大小关系（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用中间值和指数函数和对数函数单调性比较大小.
【详解】，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B
3. “不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.
【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，
∴，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为推不出，故D错误．
故选：C．
4. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，设，，计算得到答案.
【详解】，
设，则，
故函数的值域为.
故选：C
5. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，，.
A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：D．
6. 已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解.
【详解】解：因为命题p“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
令，其对称轴为，
当，即时，，解得，此时；
当，即时，，解得，此时无解；
当，即时，，即，此时，
综上：实数a的取值范围是，
故选：B
7. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
故选：B.
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
时，，
时，；
则时，
时，，
时，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】AD选项，可以看出，从而得到在上恒成立，A错误，D正确；B选项，当时满足要求；C选项，当时满足要求.
【详解】AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减，
故，此时在上恒成立，A错误，D正确.
当时，，选项D符合．
当时，的定义域为，
B选项，可以看出且为偶数，当时，满足要求，选项B正确．
C选项，当时，满足，选项C正确．
故选：BCD
10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. 若是定义在上的幂函数，则
C. 函数在内单调递增，则的取值范围是
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A、C由指数函数、复合函数单调性判断、求解；B由幂函数的性质判断；D换元法求解析式，注意定义域.
【详解】A：，在上递增，在上递减，
在定义域上递增，故的单调递增区间为，错；
B：由是定义在上的幂函数，则必过，故，对；
C：由，则上递增，上递减，
在定义域上递增，故在内单调递增，则，
所以的取值范围是，对；
D：令，则，故，
所以且，错.
故选：BC
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的图象与直线有三个交点，则实数
B. 若有三个不同实数根，则
C. 不等式的解集是
D. 若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，作出函数的图象即可判断；对于C，先根据图象求出的范围，再分情况讨论即可；对于D，根据图象结合图象平移分析运算即可判断.
【详解】对于A，如图，作出函数的图象，
由图可知，若的图象与直线有三个交点，则实数，故A正确；

对于B，如图，作出函数的图象，
由题意得两函数交点得横坐标为，不妨设，
则关于对称，故，
由图可知，所以，故B正确；

对于C，由函数的图象可知，当时，，
则由，可得，
则或，
解得或，
所以不等式的解集是，故C错误；
对于D，当时，显然不成立，故舍去，
当时，可以通过向左平移个单位得到，
如图2 ，显然不成立，舍去，

当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，
以射线与相切为临界，
即，则，
所以，解得，所以，
综上所述，实数a的取值范围是，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象经过，则________
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据可求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】设，则，则，则，
所以，.
故答案为：.
14. 已知，，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由指对互化得出，根据对数运算得出，则可代入中计算得出答案.
详解】由可知，
则，
则，
故答案为：.
15. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数单调性可得在单调递减，结合二次函数单调性与对数函数定义域求解即可.
【详解】在单调递增，故在单调递减，则，
又∵在恒成立，
则，故，∴，
故答案为：
16. 已知函数若实数满足则的最大值为_______
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数的解析式可求得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性，则又可得，结合基本不等式求最值即可.
【详解】函数的定义域为，则
所以
又，
函数在上为增函数，函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
当实数满足，可得，即，
又当时，有最大值，且，
当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用有理数指数幂运算化简求值；
（2）应用对数的运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 已知集合 或.
（1）若 ，求；
（2）若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的补集和交集的定义可得结果；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于a的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若 ，则或，
所以或.
【小问2详解】
“” 是 “” 的充分条件
①当时，，即时，满足题意；
②当时，依题意有或，解得：，
综上，的取值范围是.
19. 设函数的图象过点.
（1）若，，求的最小值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）8 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知：，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，，，
所以当，时，等号成立，
此时取得最小值8；
【小问2详解】
由上可知，得，
即，即.
当时，此时不等式为，故解集为；
当时，此时，故不等式的解集为；
当时，即，此时不等式，
故不等式的解集为；
当时，即，故不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为.
综上所述：当时，解集为；当，解集为；
当，解集为；当时解集为；
当，解集为.
20. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台．
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【答案】（1）
（2）当年产量为30百台时，最大利润为400万元
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解函数关系式；
（2）根据基本不等式和二次函数的性质求解最大值即可．
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为：
．
【小问2详解】
当时，，当时，取得最大值为400；
当时，，
当且仅当时取等号，故当时，取最大值为325；
综上所述：当年产量为30百台时，最大利润为400万元．
21. 已知函数为奇函数．
（1）判断函数的单调性，并加以证明．
（2）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简函数解析式，利用奇函数的定义求得的值，再判断单调性利用定义证明；
（2）根据的奇偶性和单调性解抽象不等式，转化为二次型不等式恒成立问题，再用分离参数法可求的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
因为为奇函数，所以，
所以，
则
所以；
函数，在上单调递增.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则
因为在上单调递增，且，所以，
又，所以，
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
因为为奇函数，所以，
由得，
即，
由（1）可知,函数在上单调递增，
所以，
即不等式 对一切恒成立,
则，
又，所以当时，取最大值，最大值为，
所以要使恒成立，则，
所以的取值范围为.
22. 设函数（且，），已知，.
（1）求的定义域；
（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在实数符合条件，的取值范围是
【解析】
【分析】（1）由和求得，，得函数解析式，即可确定定义域；
（2）假设存在实数，，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论.
【小问1详解】
由，得，即，①
由，得，即，②
由①②得，解得，或（舍），，
所以.
由得，
故的定义域为.
【小问2详解】
假设存在实数，，使得在区间上的值域是.
令，，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
所以，即.
令，，，则，为方程的两个不等实数根且，
令，则，即，解得.
即，，故存在实数符合条件，的取值范围是.