安徽省桐城中学2023-2024学年高一数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

安徽省桐城中学2023-2024学年高一上学期

9月  月考  数学试卷

一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.

【详解】由题意可得,,

或，

对于A, 或，故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C，，故C错误，

对于D，，故D错误，

故选：B

2. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ）

A. 必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】由诗句判断推出关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.

【详解】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”，

所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件.

故选：A

3. 设全集，集合，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据并集和补集的定义计算即可.

【详解】集合表示被3除余1的整数的集合，集合表示被3除余2的整数的集合，

所以表示被3整除的整数的集合，所以.

故选：A.

4. 下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　）

A. 3 B. 2

C. 1 D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】对于①，通过解方程求出的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.

【详解】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．

集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．

联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），

∴所求集合为且，故③不正确．

故选：D.

5. 已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ）

A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.

【详解】因为是的充分不必要条件，所以，推不出，

因为是的的充分条件，所以，

因为是的必要条件，所以，

因为是的必要条件，所以，

因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，

因为，，，所以，

推不出，故是的充分不必要条件，②正确；

因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；

因为，，所以，又，

所以是的充要条件，命题④错误；

故选：B.

6. 已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分不必要条件的定义，可得答案.

【详解】由题意，命题的否定为命题：，，

当时，则，解得，此时命题为真；

当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真；

当时，函数为开口向上的二次函数，令，

解得，根据二次函数的性质，此时命题为真.

综上可知，当时，命题为真.

根据题意，结合充分不必要条件的定义，由，

故选：A.

7. 设集合，则下列说法一定正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则有4个元素

D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，；

综上可知A，B，C，不正确，D正确

故选：D

8. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT

②对于任意x，yT，若x<y，则S；

下列命题正确的是（    ）

A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素

D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素

【答案】A

【解析】

【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.

【详解】首先利用排除法：

若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；

若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；

若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；

下面来说明选项A的正确性：

设集合，且，，

则，且，则，

同理，，，，，

若，则，则，故即，

又，故，所以，

故，此时，故，矛盾，舍.

若，则，故即，

又，故，所以，

故，此时.

若， 则，故，故，

即，故，

此时即中有7个元素.

故A正确.

故选：A.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）

9. ,下列关系正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出集合，根据元素与集合、集合与集合间的关系判断可得答案.

【详解】因为,

所以，

，

可得，.

故选：ABD.

10. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”

C. 设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件

D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可．

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，

例如当时，符合，但是不符合，

所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的否定是“存在，则”，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为b可以等于零，所以由不能推出，充分性不成立，

由可得且，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．

故选：ABD．

11. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，得到且，进而求得，结合选项，即可求解.

【详解】由命题“”为假命题，可得，

又由命题“”为真命题，可得，

所以，结合选项，可得AB符合题意.

故选：AB.

12. 在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（    ）

A.

B.

C. “整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”

D. “整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.

【答案】BC

【解析】

【分析】对A，由定义得，再判断元素与几何关系即可；

对B，由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断；

对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可；

对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断

【详解】对A，因为，由可得，所以，A错；

对B，

，B对；

对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即；

必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，

所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对；

对D，若整数a，b满足，则，

所以，故；

若，则可能有，

故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错

故选：BC

三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13. 已知命题，则的否定形式是：_________________.

【答案】

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.

【详解】根据题意，命题等价于，其否定为，

即或，

故答案为：.

14. 已知，且，，，则_____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案.

【详解】由题意得，

又，故，

又，故，且，，

因为，故，，

因为，故，，

综上：，画出韦恩图如下：

故答案为：

15. 已知：或，：，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是__．

【答案】

【解析】

【分析】分别求出及所对应的集合，进而根据充分不必要条件的定义可列出不等关系，从而求出的取值范围即可．

【详解】∵：或，∴：，

又∵：，，且是的必要不充分条件，

令，，

∴集合⫋，

∴，且等号不能同时成立，解得.

故答案为：.

16. 已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.

【答案】或或.

【解析】

【分析】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可.

【详解】，中所有元素之和为；

若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；

若中有且仅有两个元素，设，则，

当，时，，；

若中有且仅有三个元素，设，则；

当，，时，，

若中有且仅有四个元素，设，

则，

当，，，时，，；

若中有且仅有五个元素，若，此时，

中最多能有四个元素；

综上所述：或或.

故答案为：或或.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.

四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）

17. 设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.

（1）若A∩B={2}，求实数a的值；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围.

【答案】（1）-1或-3；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；

【小问1详解】

由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.

因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，

得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，

当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；

当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，

综上，实数a的值为-1或-3；

【小问2详解】

对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.

因为A∪B=A，所以B⊆A.

当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；

当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；

当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，

解得a=-，且a2=7，矛盾.

综上，实数a的取值范围是.

18. 对于集合，，我们把集合记作例如，，，则有：，，

，，

据此，试回答下列问题：

（1）已知，，求；

（2）已知，求集合，；

（3）若集合中有个元素，集合中有个元素，试确定中有多少个元素(只写结果).

【答案】（1）   

（2）   

（3）12

【解析】

分析】根据新定义计算即可.

【小问1详解】

由题意得，.

【小问2详解】

由题意得，，.

【小问3详解】

12.

19. 已知命题为假命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，

（2）根据集合的包含关系，即可分类讨论求解.

【小问1详解】

当时，原式为，此时存在使得，故不符合题意，舍去；

当时，要使为假命题，此该一元二次方程无实数根，所以

故；

【小问2详解】

由题意可知是A的真子集；

当时，；

当时，

所以的取值范围是或，

20. 已知集合

（1）若求实数的取值范围.

（2）是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）或；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解；

（2）分，，得到集合A，再利用求解；

【小问1详解】

当时，，不成立；

当时，，因所以，解得；

当时，，因为所以，解得，

综上：实数的取值范围是或；

【小问2详解】

当时，，不成立；

当时，，，不成立；

当时，，因为所以，解得；

综上：实数的值是2；

21. 已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．

（1）若，求；

（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；

（2）可根据题意中三个不同条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.

【小问1详解】

当时，集合，集合，所以；

【小问2详解】

i.当选择条件①时，集合，

当时，，舍；

当集合时，即集合，时，，

此时要满足，则，解得，

结合，所以实数m的取值范围为或；

ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，

集合是集合的子集，即，解得，

所以实数m的取值范围为或；

iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，

所以实数m的取值范围为或；

故，实数m的取值范围为或.

22. 记关于x的方程的解集为，其中．

（1）当满足什么条件时，方程的解集中恰有3个元素？

（2）在（1）的条件下，试求以方程解集中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）方程等价于或，而，M恰有3个元素，从而得解；

（2）先考虑必要性，得到；再考虑充分性，从而得解.

【小问1详解】

原方程等价于或，

所以或，

由于，

所以当时，M恰有3个元素，即．

【小问2详解】

必要性：由（1）知，，

则两个方程化或，

所以两个方程的三个根分别为，

若它们是直角三角形的三边，

则，解得或（舍去），

所以；

充分性：若，可解得，

而以为边长的三角形恰为直角三角形．