2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列所给的图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知等腰三角形两边长是和，那么它的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.到三角形的三个顶点距离相等的点是(    )

A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点
C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点

5.如图，与关于直线对称，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.下列说法中：
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
有一个角是的三角形是等边三角形；
若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；
成轴对称的两个三角形一定是全等三角形其中正确的说法共有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.等腰三角形的一个角是，则它的底角是______．

10.如果与互为相反数，则 ______ ．

11.小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是______ ．

12.如图，已知是等边三角形，，，则______．

13.如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的度数为______ ．

14.如图，已知平分，，若，则______．

15.如图，在中，，，是斜边上的高，，则的长度是______ ．

16.如图，在等边中，点、分别在边，上，且，与交于点则 ______ 度．

17.已知、两点在线段的垂直平分线上，且，，则的度数为______ ．

18.如图，中，，，点在上，点在边上，连接、交于点，连接，，，垂足为，，那么以下结论：
；
；
；
．
其中正确结论的序号是：______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解方程组、不等式组：
；
．

20.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示：
将向下平移个单位得到，请画出；
将与关于轴对称，请画出；
通过画图在轴上确定点，使得与之和最小，画出与并直接写出点的坐标点的坐标为______ ．

21.本小题分
如图，已知中，，，点在边上，过点作的垂线与过点垂直的直线交于点．

求证：；
如图，若点为线段的中点，连接交于，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．

22.本小题分
我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
本次活动共抽取了多少名同学？
补全条形统计图；
根据以上调查结果分析，估计该校名学生中，对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．

 

23.本小题分
某商场化妆品专柜计划购进、两种化妆品，已知购进种化妆品件，种化妆品件需元；购进种化妆品件，种化妆品件需元．
求、两种化妆品每件的进价分别为多少元？
若该化妆品专柜种化妆品每件售价元，种化妆品每件售价元，准备购进、两种化妆品共件，且这两种化妆品全部售出后，总获利不少于元，则最多购进种化妆品多少件？

24.本小题分
综合与实践：数学模型可以用来解决一些实际问题，是数学应用的基本途径通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
发现问题：如图，在和中，，，，连接、，则与的数量关系为：______ ；
类比探究：如图，在和中，，，，连接、，延长、交于点，则的度数为：______ ；
拓展延伸：如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，且点、、在一条直线上，则、、之间的数量关系为：______ ；
实践应用：锐角中，，以为边做等边三角形点与点在同侧，连接，若，，求线段的长．

 

25.本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点与轴交于点，且．
求点的坐标；
如图，点在线段上，连接，设的面积为，请用含的式子表示不要求写出的取值范围；
如图，在的条件下，延长至点点在上方，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线的垂线，垂足为，连接交于点，连接，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到三条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的概念解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：；
若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：．
它的周长是：或．
故选：．
由等腰三角形两边长为、，分别从等腰三角形的腰长为或去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．

4.【答案】 

【解析】解：三角形内部，到三角形三个顶点的距离相等，
一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．
故选：．
直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：和关于直线对称，，，
≌，
，
．
故选：．
先根据和关于直线对称得出≌，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得．
则表示为：

故选：．
首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．
本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

7.【答案】 

【解析】解：等腰的周长为，底边，
，
垂直平分，
，
的周长


，
．
故选：．
根据等腰三角形两腰相等求出腰的长，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长．
本题考查了等腰三角形的概念，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记两性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误；
有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原说法错误；
若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，说法正确；
成轴对称的两个三角形一定是全等三角形，说法正确．
所以正确的说法共有个．
故选：．
根据等腰三角形的性质判断即可；根据等边三角形的判定方法判断即可；根据等腰三角形的判定方法判断即可；根据轴对称图形的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的性质以及等边三角形的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．

9.【答案】或 

【解析】解：由题意知，分两种情况：
当这个的角为顶角时，则底角；
当这个的角为底角时，则另一底角也为．
故答案为：或．
已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
，，
，
得，，
，
故答案为：．
根据与互为相反数得出，再根据非负数的性质得到关于、的方程组，求解即可．
本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求出的值是解题的关键．

11.【答案】： 

【解析】解：镜面所成的像为反像，
此时电子表的实际读数是：．
故答案为：．
根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数．
本题考查的是镜面成像原理，镜面成的像是实际的反像．

12.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及等边三角形的性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质可知：，
，，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质求出，根据直角三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是翻转变换、直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边的性质可得．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形的内角和求出，根据余角的定义求出，根据含度角的直角三角形性质求出，，求出即可．
本题主要考查的是含度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，．

16.【答案】 

【解析】解：，，
≌，
，

，
，
．
故答案为：．
由已知条件得到三角形全等，即≌，得出角相等，，再利用角的等效代换求出结论．
本题考查了等边三角形的性质；会利用全等求解角相等，能够运用等效代换解决一些简单的问题．

17.【答案】或 

【解析】解：如图，点、为线段的垂直平分线上的两点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
；
如图，点为线段的垂直平分线上的点，
，
，
点为线段的垂直平分线上的点，
，
，
．
综上所述：或．
故答案为：或．
如图中，根据线段的垂直平分线的性质得到，，证明≌，得到答案；
如图中，分别求出，，可得结论．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：设，则，，
，
，
，
，
，
故结论正确；
中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
故结论正确；
，
如果，则，
解得：，
即，
根据已知条件不能确定，
故结论不正确；
过点作于点，如图：
 
由结论正确可知：，
，，
，
，，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故结论正确．
综上所述：正确的结论是．
故答案为：．
设，则，，进而得，，据此可对结论进行判断；由，，可得出，据此可对结论进行判断；由，如果，则，根据已知条件不能确定，因此可对结论进行判断；过点作于点，先证和全等得，则，然后证得，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解答此题的关键．

19.【答案】解：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时与之和最小，
画出，如图所示．
点的坐标为．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
根据轴对称的性质作图即可．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时与之和最小，由此可得出答案．
本题考查作图轴对称变换、平移变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．

21.【答案】证明：，
，
，且
，且，
≌

点为线段的中点
，且
是等腰直角三角形，

，
是等腰直角三角形，

，
，是等腰直角三角形． 

【解析】通过证明≌，可得；
由等腰直角三角形的判定可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

22.【答案】解：名，
即本次活动共抽取了名同学；
成绩为“较好的”学生有：名，
补全的条形统计图如右图所示；
人，
答：对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有名． 

【解析】根据成绩“很好的”学生人数和所占的百分比，可以求得本次活动共抽取了多少名同学；
根据中的结果和统计图中的数据，可以求得成绩“较好的”学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】解：设每件种化妆品的进价为元，每件种化妆品的进价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件种化妆品的进价为元，每件种化妆品的进价为元；
设购进件种化妆品，则购进件种化妆品，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多购进件种化妆品． 

【解析】设每件种化妆品的进价为元，每件种化妆品的进价为元，根据“购进种化妆品件，种化妆品件需元；购进种化妆品件，种化妆品件需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件种化妆品，则购进件种化妆品，利用总利润每件的销售利润销售数量购进数量，结合总利润不少于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】     

【解析】解：，
，
即，
又，，
≌，
，
故答案为：；
，
，
即，
又，，
≌，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；
和均为等腰直角三角形，，
，，
，
即，
≌，
，
，
，
故答案为：；
如图，在上截取，连接，

，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
≌，
，
，
即线段的长为．
利用证明≌，即可得出结论；
利用证明≌，得，再由等腰三角形的性质得，则，，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
利用证明≌，得，即可得出结论；
在上截取，连接，证是等边三角形，得，，再证≌，得，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

25.【答案】解：，且，
则，
即点；

；

如图，连接，，作轴于点，作于，

，
点、、、共圆，
，
，，
，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
则的面积． 

【解析】由，且，得到，即可求解；
由，即可求解；
证明点、、、共圆，点、、、共圆，即可求解．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积的计算等知识，解决问题的关键是作辅助线．发现特殊性．