2023-2024学年黑龙江省哈尔滨工大附中八年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨工大附中八年级（上）开学数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.年第届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若点与点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.如图，已知平分，，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

7.等腰三角形的一个内角是，则它的底角是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知等腰的一边长为，周长为，则腰长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

10.下列说法中：
与这条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
到的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点；
到的三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．
以上说法中正确的个数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是______．

12.把点向上平移个单位，所得的点与点关于轴对称，则的值为______ ．

13.点关于直线的对称点的坐标为______ ．

14.如图，点为内部任意一点，点与点关于对称，点与点关于对称，，，则的面积为______．

15.如图，已知：在中，、是上的两点，且，，，，则 ______ ．

16.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，，则的周长为______ ．

17.如图，在中，，点在上于点，交与点若，则 ______ ．

18.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为______度．

19.已知，在的边上有两点和，连接和，则，，若，则的度数是______ ．

20.如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分
解方程组及不等式组：
；
．

22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中有一个，顶点，，．
将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，作出平移后的；
画出关于轴对称的；
若网格上的每个小正方形的边长为，则的面积是______ ．

23.本小题分
如图，图和图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形边长均为，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
在图中，以为腰画一个等腰三角形，且，；
在图中，以为腰画一个等腰三角形，且；
直接写出图中______．

 

24.本小题分
如图，在四边形中，点在上，连接、相交于点，，，
求证：；
如图，当，时，延长、交于点，试直接写出图中除、以外的等腰三角形．

 

25.本小题分
学校准备为“航天比赛”的福娃购买奖品已知在商场购买个甲种奖品和个乙种奖品共需元；其中甲的单价是乙的单价的倍．
求甲、乙两种奖品的单价；
学校计划购买甲、乙两种奖品共个，且此次购买奖品的费用不超过元正逢商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在商场最多能购买多少个甲种奖品？

26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的三个顶点坐标分别为，，且，其中，满足．
直接写出点的坐标为______ ；点的坐标为______ ；
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设运动时间为秒，连接，，当时，求的值；
在的条件下，将沿直线翻折得点与点是对应点，且点不在坐标轴上，求出点坐标．

 

27.本小题分
在四边形中，，点为上一点，连接，，且．
如图，求证：；
如图，若，，求的度数；
如图，在的条件下，作直线交的延长线于点，过点作射线交于点，且，若，，求：的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

3.【答案】 

【解析】解：因为点与点关于轴对称，
所以，，
则的值是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点在第一象限．
故选：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
本题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点，点关于轴的对称点的坐标是．

5.【答案】 

【解析】解：平分，
，
又，
，
，
，
故选：．
平分，，，，，．
本题考查平行线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是对性质的熟练掌握．

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
由题意可知，，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可解决问题．
本题考查基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识解决问题，属于中考常考题型．

7.【答案】 

【解析】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是，底角为；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
等腰三角形的底角为或．
故选：．
先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点，
，
而已知线段，
．
故选：．
由直线是线段的垂直平分线可以得到，而已知线段，由此即可求出线段的长度．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．

9.【答案】 

【解析】解：等腰的一边长为，周长为，
当为等腰三角形的腰长时，
则另一腰长为，底边长为，
而，
故这样的三角形不存在；
当为等腰三角形的底边时，
则腰长为，
而，
故这样的三角形存在；
故选B．
分为等腰三角形的底边和腰长两种情况计算．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：与这条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，说法正确；
等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误；
到的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，说法正确；
到的三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，说法正确；
故选：．
根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质判断即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质解答．

11.【答案】： 

【解析】解：由图中可以看出，此时的时间为：．
故答案为：：．
镜子中的时间和实际时间关于钟表上过和的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．
考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．

12.【答案】 

【解析】解：点向上平移个单位，得
．
由所得的点与点关于轴对称，得
，
解得，
故答案为：．
根据点向上平移加，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13.【答案】 

【解析】解：所求点的纵坐标为，
横坐标为，
点关于直线的对称点的坐标为．
故答案为：．
易得两点的纵坐标相等，横坐标在的左边，为．
本题考查的是两点关于某条直线对称，横纵坐标中有一个坐标是相等的，另一坐标为对称轴已知点的坐标．

14.【答案】 

【解析】解：点和点关于对称，点和点关于对称，
，且．
是直角三角形，
的面积为，
故答案为：．
根据轴对称的性质，可得、的长度等于的长，的度数等于的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．
本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，

，
，，
．
故答案为．
根据三角形内角和定理求得，由可得，因为，那么，同理可得，即可求得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理；用到的知识点为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

16.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交，于点，，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为得到，据此求解即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：，
，
于，于，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形等边对等角的性质得到，利用等角的余角相等和已知角可求出的数，从而可求得的度数．
本题综合考查等腰三角形与直角三角形的性质及三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．

18.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知条件得出是解此题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理和已知条件得出，求出即可．
【解答】
解：如图，

中，，
，
等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，
：：，
即，
，
故答案为：．

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在点的左侧时，
，，
，，
设，，
，，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，

设，，
同理可得，
，
．
故答案为：或．
分两种情况，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论思想和整体的思想方法．

20.【答案】 

【解析】解：作，交于，

是的角平分线，
，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
．
由角平分线的定义得，由等角对等边可得，得出，过点作交于点，利用证明≌，可得，进而可得，由的周长为，，可求解．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，作辅助线是解题的关键．

21.【答案】解：，
得：，
解得：．
把代入得：，
解得：，
所以方程组的解为；

，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】利用加减消元法求解可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则和加减消元法是解答此题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示即为所求；
的面积为．
故答案为：．
分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
利用割补法求解即可．
本题考查作图旋转变换，作图平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.【答案】 

【解析】解：如图，即为所作；

如图，即为所作；

，
．
故答案为：．
根据，，作出即可；
根据，将绕点逆时针转得到，作出即可；
根据勾股定理和三角形面积公式，即可求出．
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，解决此题的是熟悉等腰三角形的性质以及勾股定理．

24.【答案】证明：如图，，
，
即，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图，
，
，
由得：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形；
，
是等腰三角形． 

【解析】根据已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元．
设学校在商场可购买个甲种奖品，则可购买个乙种奖品，
依题意得：，
解得：．
答：学校在商场最多能购买个甲种奖品． 

【解析】设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据“购买个甲种奖品和个乙种奖品共需元；甲的单价是乙的单价的倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校在商场可购买个甲种奖品，则可购买个乙种奖品，根据总价单价数量，结合此次购买奖品的费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26.【答案】   

【解析】解：解方程组，得：，
，，
故答案为：；；
在与中，

，
≌，
，
即，
解得：，
由可知，≌，
，
即，
解得：，
因为从到需要，
，
不合题意，舍去，
综上所述，当时，的值为；
由可知，，
，，
，
，
，且，
．
根据二元一次方程组得出，，进而解答即可；
分两种情况，利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质得出方程解答即可；
由得出，进而利用全等三角形的性质得出坐标即可．
此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．

27.【答案】证明：，
，
，，
，
；
解：设，，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：在上截取，
由知：，
为等边三角形；

，
，
，
，
，
，
又，
∽，
． 

【解析】由，推导出，然后由已知推导出，进而得到；
设，，则，，，进而推导出；，结合，列式解得；
在上截取，得到为等边三角形；然后利用角的关系得到，结合，推导出∽，进而利用相似三角形的性质，列式即可得解．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用．