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人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案，共55页。
课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算．
教学重点：随机事件的并、交、互斥与对立的含义．
教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释.
知识点"一 事件的关系及运算
事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )
(2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( )
(3)互斥事件一定是对立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；
②D∪B是必然事件；
③A∩B＝C；
④A∩D＝C.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
(3)下列各对事件：
①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；
②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．
其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________．
答案 (1)B (2)A (3)①③ ④
题型一 事件关系的判断与集合表示
例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；
(2)用集合的形式表示事件A∪B；
(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．
[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
A＝{00,010,100}．
B＝{011,101,110,111}．
(2)A∪B＝Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
(3)∵C＝{010,011,100,101,110,111}，∴B⊆C.
概率论与集合论之间的对应关系
如果事件A，B互斥，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.eq \(A,\s\up6(－))∪eq \(B,\s\up6(－))是必然事件
C.eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))一定互斥 D.eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))一定不互斥
答案 B
解析 可由Venn图判断，易得eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))分别表示集合A，B的补集，则eq \(A,\s\up6(－))∪eq \(B,\s\up6(－))＝Ω，B正确．
题型二 事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G，E＝D2＋D3.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
题型三 对立事件与互斥事件的辨析
例3 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件与对立事件间的关系
互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
答案 D
解析 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
答案 B
解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？( )
①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案 A
解析 ①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件．但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件．②事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件．③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选A.
4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9或10环．
解 A∩B＝{10环}≠∅，故A与B不是互斥事件；
显然A∩C＝∅，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件；
A∩D＝{8环，9环，10环}≠∅，故A与D不是互斥事件；
显然B∩C＝∅，所以B与C是互斥事件．
又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件；
B∩D＝{10环}≠∅，因此B与D不是互斥事件；
显然C∩D＝∅，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件．记号
概率论
集合论
Ω
样本空间(必然事件)
全集
∅
不可能事件
空集
w
基本事件(样本点)
元素
A
随机事件
子集
eq \(A,\s\up6(－))
A的对立事件
A的补集
A⊆B
A发生导致B发生
A是B的子集
A∪B
A与B事件的和事件
并集
A∩B
A与B事件的积事件
交集
A∩B＝∅
互斥，不同时发生
没有相同元素
课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算．
教学重点：随机事件的并、交、互斥与对立的含义．
教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释.
知识点"一 事件的关系及运算
事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )
(2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( )
(3)互斥事件一定是对立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；
②D∪B是必然事件；
③A∩B＝C；
④A∩D＝C.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
(3)下列各对事件：
①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；
②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．
其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________．
答案 (1)B (2)A (3)①③ ④
题型一 事件关系的判断与集合表示
例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；
(2)用集合的形式表示事件A∪B；
(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．
[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
A＝{00,010,100}．
B＝{011,101,110,111}．
(2)A∪B＝Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
(3)∵C＝{010,011,100,101,110,111}，∴B⊆C.
概率论与集合论之间的对应关系
如果事件A，B互斥，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.eq \(A,\s\up6(－))∪eq \(B,\s\up6(－))是必然事件
C.eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))一定互斥 D.eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))一定不互斥
答案 B
解析 可由Venn图判断，易得eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))分别表示集合A，B的补集，则eq \(A,\s\up6(－))∪eq \(B,\s\up6(－))＝Ω，B正确．
题型二 事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G，E＝D2＋D3.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
题型三 对立事件与互斥事件的辨析
例3 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件与对立事件间的关系
互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
答案 D
解析 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
答案 B
解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？( )
①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案 A
解析 ①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件．但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件．②事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件．③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选A.
4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9或10环．
解 A∩B＝{10环}≠∅，故A与B不是互斥事件；
显然A∩C＝∅，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件；
A∩D＝{8环，9环，10环}≠∅，故A与D不是互斥事件；
显然B∩C＝∅，所以B与C是互斥事件．
又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件；
B∩D＝{10环}≠∅，因此B与D不是互斥事件；
显然C∩D＝∅，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件．记号
概率论
集合论
Ω
样本空间(必然事件)
全集
∅
不可能事件
空集
w
基本事件(样本点)
元素
A
随机事件
子集
eq \(A,\s\up6(－))
A的对立事件
A的补集
A⊆B
A发生导致B发生
A是B的子集
A∪B
A与B事件的和事件
并集
A∩B
A与B事件的积事件
交集
A∩B＝∅
互斥，不同时发生
没有相同元素
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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率导学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率导学案，共4页。
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