高中8.3 简单几何体的表面积与体积学案

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

知识点一　　　棱柱、棱锥、棱台的表面积

知识点二　　　棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体的体积

1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．

2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．(　　)

(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　)

(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2   B.a2

C.a2   .a2

(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是________．

(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．

答案　(1)A　(2)60,94　(3)28

题型一  多面体的表面积

例1　现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．

[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝2＋2＝

＝＝64，∴AB＝8.

∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.

　求多面体的表面积

(1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．

(2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．

正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为a，则正三棱台的侧面积为(　　)

A．a2   B.a2

C.a2   D.a2

答案　D

解析　如图，O1，O分别为上，下底面的中心，D，D1分别为AC，A1C1的中点，在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝×a＝a，

∴DE＝OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝，

则D1D＝＝＝a，

所以S棱台侧＝3×(a＋2a)×a＝a2.

题型二  多面体的体积

例2　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

[解]　解法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，

则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，

又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.

所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.

则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.

故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.

解法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.

而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高为h，

因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.

剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.

所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为

Sh∶Sh＝1∶5.

　求多面体体积的常用方法

正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面的中心)P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为(　　)

A．1∶1  B．1∶2  C．2∶1  D．3∶2

答案　C

解析　∵G为PB的中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD.∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC.∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.

题型三  组合体的表面积与体积

例3　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．54  B．60  C．66  D．72

[解析]　根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC－DEF，

故其表面积为S＝S△DEF＋S△ABC＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝×3×5＋×3×4＋×(5＋2)×4＋×(5＋2)×5＋3×5＝60.

[答案]　B

　求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的四棱锥．

以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×××＝.

1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是(　　)

A．2   B．4

C．4   D．6

答案　B

解析　S表＝4××22＝4.故选B.

2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　D

解析　由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8.

3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，作出三棱锥O－ABC的高OD，连接DC，则S△ABC＝×1×＝，OD＝＝＝，所以VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．

答案　

解析　由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝

×16×4＝，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋＝.

5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求三角形AB1C1的面积．

解　将三棱台分割成三棱锥A－A1B1C1，B－AB1C1及C1－ABC，

设三棱台的高为h，

则这三个三棱锥的高都是h.

由于VABC－A1B1C1＝VA－A1B1C1＋VB－AB1C1＋VC1－ABC，

即(a2＋ab＋b2)h＝a2h＋S△AB1C1·h＋b2h，得S△AB1C1＝ab，故三角形AB1C1的面积为ab.