（新教材）2023-2024学年上学期高一期中备考金卷 数学（A卷）

（新教材）2023-2024学年上学期高一期中备考金卷

数  学  （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为（    ）．

A．       B．

C．        D．

2.下列各组函数中表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（    ）

①；    ②；③；   

④

A. 个        B. 个       C. 个       D. 个

4.已知正数，满足，且恒成立，则的最大值为（    ）

A.         B.         C.           D.

5.下列对应是从集合到集合的函数的是（    ）

A．

B．

C．是三角形，是圆，每一个三角形对应它的内切圆

D．是圆，是三角形，每一个圆对应它的外切三角形

6.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7.已知函数（且），对任意，，当时总有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8.已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（    ）

A． B． C． D．

10.下列说法正确的是（    ）

A．很小的实数可以构成集合

B．集合与集合是同一个集合

C．由这些数组成的集合有个元素

D．集合是指第二或第四象限内的点集

11.下列说法正确的序号是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．设，若，则实数的值为或

C．奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，

则

D．若集合中至多有一个元素，则

12.设函数，其中表示中的最小者.说法正确的有（    ）

A. 函数为偶函数

B. 当时，有

C. 当时，

D. 当时，

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.己知集合，

，若，则实数的取值范围        .

14.若正实数，满足，则的最小值为_______．

15.已知命题；命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．

16.已知函数若关于的方程有且仅有个不等实数根，则的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知集合，.

（1）若，求；

（2）若，设命题，命题，已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值围.

18.已知正实数满足.

（1）求的最大值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

19.设函数.

（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；

（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.

20.已知定义域为实数集的函数

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.

（2）若不等式成立，求实数的取值范围.

21.为减少人员聚集，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：

，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受的影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：

（1）当取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？

（2）已知上班族的人均上班时间计算公式为：，讨论的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)

22.若不恒为零的函数对任意，恒有．

（1）指出的奇偶性，并给予证明；

（2）若时，，证明在上单调递减；

（3）在（2）的条件下，若对任意实数，恒有成立，求实数的取值范围．

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数  学  （A） 答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.答案：

D

解析：

，解得，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为．

故选：D.

2.答案：

B

解析：

A. 的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；

B. 与定义域都为，且解析式相同，故是同一函数；

C. 的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；

D. 与解析式不同，故不是同一函数；

故选：B.

3.答案：

B

解析：

由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，

所以，所以②正确；令，则，

又由是偶函数，所以的图象关于对称，

所以的图象关于对称，则有，令，

则，所以③正确.在中，将用替换，

则，在中，将用替换，

则，所以，再将用替换，

则，所以，所以①正确；对于④中，

由，无法推出其一定相等.

故选：B.

4.答案：

B

解析：

因为正数满足，

所以

.因为

，

当且仅当时等号成立，

所以，即的最小值为.

若恒成立，则的最大值为.

故选：B.

5.答案：

A

解析：

【分析】

根据函数的定义逐个分析可得答案.

【详解】

对于选项，符合函数的定义，故正确；

对于选项，集合的元素在集合中没有元素与之对应，故不正确；

对于选项，因为集合不是数集，故正确；

对于选项，因为集合不是数集，故不正确.

故选：A .

6.答案：

B

解析：

是奇函数，关于点对称，函数图象左移个单位，可关于点对称.

故选：B.

7.答案：

A

解析：

【分析】

由题意，函数在定义域上是增函数，列出不等式组，解出即可．

【详解】

∵对任意，，当时总有，

∴函数在定义域上是增函数，

∴，解得：．

故选：A．

8.答案：

A

解析：

【分析】

分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案.

【详解】

当时，在上单调递增，且，

所以在上单调递减，符合题意，

当时，无单调性，不符合题意，

当时，在上单调递减，且，不符合题意，

当时，在上单调递减，，符合题意，

还需，解得，

综上实数的取值的范围是.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.答案：

A、B

解析：

当都大于零时，；

当中一个大于零，另一个小于零时，；

当都小于零时，．

根据元素与集合的关系，可知，，，．

故选：AB．

10.答案：

C、D

解析：

A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；

B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合．

C选项：因为，故这些数组成的集合有个元素．

D选项：因为，故点是第二或第四象限内的点．综上，CD正确．

故选：CD.

11.答案：

A、C

解析：

A：因为函数为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，

有，故A正确；

B：，由得，

当时，；当时，；当时，；

所以的取值为，故B错误；

C：由为奇函数，，得，

所以，故C正确；

D：由A中至多有一个元素，得当时，，符合题意；

当时，，所以的取值为或，故D错误.

故选：AC.

12.答案：

A、B、C

解析：

在同一坐标系中画出的图象（如图所示），

故的图象为图中粗线所示．

的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，此时有，故B成立．

从图象上看，当时，有成立，令，则，

故，故C成立．

取，则，，，故D不成立．

故选：ABC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.答案：

解析：

首先解出集合,若满足，则当时，和

恒成立，求的取值范围.

【详解】

，，

即当时，恒成立，

即 ，当时恒成立，

即 ，，而是增函数，

当时，函数取得最小值，

且当时，恒成立，

，解得：

综上：.

14.答案：

解析：

由，得，

因为，为正实数，所以，

所以，

当且仅当，即时，取等号（此时），

所以的最小值为，

故答案为：.

15.答案：

解析：

【分析】

解一元二次不等式求命题的解集，解一元一次方程求命题的解集，再由是的充分不必要条件列不等式组，求的取值范围.

【详解】

由题设，命题为，命题为，

若是的充分不必要条件，必有，解得．

故答案为：.

16.答案：

解析：

因为，

作出其图象如下：

因为关于的方程有且仅有个不等实数根，

所以函数的图象与直线有四个不同的交点，

由图象可知，当时，显然不满足题意；

当时，因为，，

横坐标为对应的空心点的坐标为.

由图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有五个不同的交点，此时；

当直线过点时，直线与函数的图象有三个不同的交点，此时；

因此，为使直线与函数的图象有四个不同的交点，

只需.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由时，求得，得到，再结合集合的交集运算，即可求解；

（2）当时，得到，根据命题是命题的充分不必要条件，得到，列出不等式组，即可求解.

【详解】

（1）当时，，可得，

又由，所以.

（2）当时，可得.

因为命题是命题的充分不必要条件，则，可得，等号不能同时成立，

解得，所以实数的取值范围为.

18.答案：

见解析

解析：

（1），所以，解得，

当且仅当取等号，∴的最大值为.

（2），

当且仅当，取等号，

∴，解得.

即的取值范围是.

19.答案：

见解析

详解

【分析】

（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.

（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.

【详解】

（1）据题意知，对于，有恒成立，

即恒成立，因此，

设，则，所以，

函数在区间上是单调递减的，

，∴

（2）由对于一切实数恒成立，可得，且，

由存在，使得成立可得，

∴，∴，

，

当且仅当时等号成立，∴.

20.答案：

见解析

解析：

【分析】

（1），进而判断函数为减函数，再根据函数单调性的定义证明即可；

（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.

【详解】

（1），

因为函数为上的增函数，

所以可判断函数在上为单调递减函数，证明如下：

设且，

则

，

因为且，所以，

所以，即，

所以函数在上为单调递减函数.

（2）由（1）知函数在上为单调递减函数，

所以等价于，即

由于恒成立，

所以实数的取值范围为

21.答案：

见解析

解析：

（1）依题意得：①当时，，不符，

②当时，，

若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，

则，解得或，

即当或时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.

（2）①当时，，

②当时，

即，

∵当时，单调递减，则，

当时，，

在上单调递减，；

在上单调递增，

∴当时单调递减，当时单调递增.

说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均上班时间递减；

当大于的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于时，人均上班时间最少.

22.答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据函数奇偶性的定义即可证明；

（2）根据函数单调性的定义即可证明；

（3）结合函数的奇偶性以及函数的单调性找出自变量之间的关系，即可求解.

【详解】

（1）为奇函数；

证明：由题意知：的定义域为关于原点对称，

令，得，

解得： ，  令，

则，

∴，

故函数为奇函数；                            

（2）在上单调递减；

证明：任意取，且，则，

∴， 

又，

即，

在上单调递减；                                

（3）对任意实数，恒有

等价于成立，

又∵在上单调递减，

，               

即对任意实数，恒成立，

当时，即时，不恒成立；          

当时，即时，

则，解得：

∴实数的取值范围为.