高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)期中模拟二(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)期中模拟二(原卷版+解析)，共22页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值为（ ）
A．4B．C．16D．
4．已知函数，若，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
5．函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6．设，则的最小值等于（ ）
A．2B．4C．D．
7．若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
11．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（ ）
A．B．C．D．
12．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么，把称为闭函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数是闭函数B．函数是闭函数
C．函数是闭函数D．函数是闭函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是奇函数，且，若，则___．
14．已知函数，，若函数则的最大值为________．
15．若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
16．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．若集合，．
（1）若，写出的子集；
（2）若，求实数m的取值范围．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．
(1)求、的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得______？
19．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
21．定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，.
（1）求的值；
（2）证明为偶函数；
（3）求解不等式.
22．已知函数，
(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的表达式．
新高考地区高2025届高一（上）期中模拟二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】解不等式得：或，即或，
则，而，
所以.
故选：A
2．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知对任意的，等价于，由此即可选出答案.
【详解】由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
3．已知，则的值为（ ）
A．4B．C．16D．
【答案】C
【分析】根据函数解析,先求得的值,再代入即可求解.
【详解】根据题意令
解得
所以
故选:C
【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法,属于基础题.
4．已知函数，若，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】计算出，再根据，由此可得出结果.
【详解】因为
因为，则，
因此，.
故选：B
5．函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为偶函数，可得，利用在上单调递增，即得解
【详解】由题意，函数为偶函数，
故
又在上单调递增
故，解得或
故不等式的解集为
故选：D
6．设，则的最小值等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得且，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
【答案】B
【分析】先对函数变形得，令，可判断出为奇函数，则的最大值为，最小值为，从而得，再由M＋N＝2024，可求出的值.
【详解】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数关系式可知，由此可确定在上的解析式，并确定每段区间上的最小值；由时，可确定在此区间内的两根，结合函数图象可确定的范围.
【详解】由知：，；
当时，，则；
当时，，，
则；
当时，，，
则；
令，解得：或；
作出函数的大致图象如图所示．
对任意恒成立，，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】利用作差法可知AD正误；根据反例知B错误；由不等式性质知C正确.
【详解】对于A，当时，，，A错误；
对于B，若，，则，B错误；
对于C，若，则，，C正确；
对于D，当时，，，D正确.
故选：CD.
10．已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】ABC
【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.
【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
11．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结果；
方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定义可得结果.
【详解】方法一：，
，，，即，
的值域为；
方法二：当时，，此时；
当时，，
，，即，此时或；
的值域为.
故选：BC.
12．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么，把称为闭函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数是闭函数B．函数是闭函数
C．函数是闭函数D．函数是闭函数
【答案】BD
【分析】根据给定定义探求选项中在其定义域内单调的函数，再求出在上的值域为的a，b值即可判断作答.
【详解】对于A，函数是R上的偶函数，在R上不单调，A不正确；
对于B，函数是R上的奇函数，且在R上单调递减，若存在，使函数在上的值域为，
即，解得，即若存在，使在上的值域为，B正确；
对于C，函数定义域为，在和上都单调递增，但在其定义域内不单调，C不正确；
对于D，函数定义域为，且在上单调递增，若存在，使函数在上的值域为，
即，解得，则存在，使函数在上的值域为，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是奇函数，且，若，则___．
【答案】1
【分析】根据是奇函数及求出f(－1)，由此可求g(－1).
【详解】是奇函数，
∴h(1)＋h(－1)＝0
即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，
∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－1，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.
故答案为：1.
14．已知函数，，若函数则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据的解析式可作出的图象，从而可求的最大值.
【详解】设的图象交于两点，如图所示，
则的图象为图中实线部分，
令，解得，此时对应的，故；
令，解得，此时对应的，故，
由图象可得的最大值为3，
故答案为：3.
15．若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
【答案】①④⑥
【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】因为，则，所以，即，故①正确；
由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误；
因为，所以，则，所以，即，则③错误；
由，不等式边同时乘，得，故④正确；
由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误；
由可得，，故⑥正确；
因此，正确结论的序号是①④⑥.
故答案为：①④⑥.
16．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【答案】
【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．若集合，．
（1）若，写出的子集；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）解一元二次方程得集合，再由并集定义计算；
（2）由，得，根据包含关系分类讨论求解．
【详解】（1），，
所以；
（2）因为，所以，
若，即，，
若，，此时，不满足；
若，即时，，，．
综上，的取值范围是或．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．
(1)求、的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得______？
【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）分析可知关于的一元二次方程的两根分别为、，利用一元二次方程根与系数的关系可求得、的值；
（2）分析可得，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合；
（3）选①，对与的大小进行分类讨论，求出集合，根据可得出，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；
选②，对与的大小进行分类讨论，求出集合，根据，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；
选③，对与的大小进行分类讨论，求出集合，根据，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
（1）
解：因为一元二次不等式的解集或，
则关于的一元二次方程的两根分别为、，
所以，，解得.
（2）
解：由（1）可得.
当时，；
当时，；
当时，.
（3）
解：若选①，或，由，则，
当时，；
当时，，不合乎题意；
当时，，合乎题意.
综上所述，；
选②，当时，，此时，不合乎题意；
当时，，若，则，此时；
当时，，此时.
综上所述，或；
选③，.
当时，；
当时，，则；
当时，，不合乎题意.
综上所述，.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)3； (2)
【分析】（1）当时，化简函数，令，得出函数单调性，求得函数的最小值，即可求解.
（2）由任意的恒成立，转化为在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，函数，
令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以函数在上的最小值为.
（2）由对任意的恒成立，即在，
即在上恒成立，
令，可得在上单调递减，
所以函数，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟练利用函数的单调性，以及合理转化恒成立，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
20．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得，利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
(1)
因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)
由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.
21．定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，.
（1）求的值；
（2）证明为偶函数；
（3）求解不等式.
【答案】（1）（2）见解析（3）或
【分析】(1)利用赋值法即可求出的值;
(2)根据偶函数的定义即可判断为偶函数;
(3)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.
【详解】解：(1)令，则
令，则
(2)令，则，∴为偶函数.
(3)令，，
设，则且
∴
∴
∴在上单调递减
又∵为偶函数
∴或
∴或
∴或
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查了奇偶函数定义、单调性的证明，函数性质的综合应用，难度较难.
22．已知函数，
(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的表达式．
【答案】(1)①，；②；
(2).
【分析】(1)①分别在与时，结合二次函数单调性即可得解；
②利用①中单调性确定最值点，求出最值即可作答.
(2)分别在三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系确定最大值即可作答.
(1)
当时，，
①当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
所以的单调递增区间为，.
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
于是有，，
而，，，，则，，
所以在上的值域为.
(2)
依题意，，
①当，即时，，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，
②当，即时，若有，若有，
因当时，，对称轴，
则在上单调递增，，
③当，即时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，，
若，即时，，
综上所述：.
【点睛】方法点睛：求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.
在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.