2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷

第II卷（非选择题）

一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）

1.下列因式分解正确的是______ 填序号
；
；
；
．

2.已知，，，则、、三个数的大小关系是______ ．

3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围部是______ ．

4.一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ______ ．

5.关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是______ ．

6.一次函数与图象之间的距离等于，则的值为______．

7.函数的函数值随自变量的增大而减小，下列描述中：；函数图象与轴的交点为；函数图象经过第一象限；点在该函数图象上，正确的描述有______ 填写番号

8.我们知道，若则有或如图，直线与分别交轴于点、，则不等式的解集是______ ．

9.若直线：与轴、轴分别交于点和点，直线：与轴、轴分别交于点和点，线段与的中点分别是，，点为轴上一动点．
点的坐标为______ ；
当的值最小时，点的坐标为______ ．

10.方程和有一个公共根，则的值是______ ．

11.已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为______ ．

12.已知实数，满足，，且，则的值为______ ．

13.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，为的中点，点到，的距离分别为和，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为______ ．

14.如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，下列结论：
；
且；
；
≌；
若，则，
其中哪些结论是正确的______ 填序号

15.已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为______．

16.二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：
；
；
；
若方程有两个根和，且，则；
若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论为______ ．

二、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知，，为正数，且，求的值．

18.本小题分
已知：在中，，，点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形，连接．
如图，当点在线段上时，求证：
；
．
如图，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变：
请直接写出、、三条线段之间的关系；
若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
 

19.本小题分
我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有______ ；
若凸四边形是“十字形”，，，则该四边形的面积为______ ；
如图，以“十字形”的对角线与为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若计“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为：，，，，且同时满足四个条件：；；“十字形”的周长为；；若为的中点，为线段上一动点，连接，动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求点走完全程所需的时间及直线的解析式．

20.本小题分

如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
存在正实数，，当时，恰好满足，求，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，则正确；
，则错误；
无法因式分解，则错误；
，则错误；
综上，正确的是，
故答案为：．
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
利用负数指数幂的意义，分数指数幂的意义和实数的大小比较法则解答即可．
本题主要考查了分数指数幂，实数的大小比较，熟练掌握分数指数幂的意义是解题的关键．

3.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得且．
的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

4.【答案】 

【解析】解：，的小数部分分别为，，
，
，
．
故答案为：．
先根据，的小数部分分别为，，得出，，最后代入进行计算即可．
本题主要考查了估算无理数，得出无理数的范围是解决问题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：解得：，
关于的不等式组的整数解仅有个，
，
解得：，
故答案为：．
先解不等式组，再根据仅有个整数解得出的不等式组，再求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设直线与轴交点为，与轴交点为，过点作直线于点，如图所示．

直线与轴交点为，与轴交点为，
点，点，
，，，
．
与互余，与互余，
．
，，
．
直线与轴的交点为，
，
解得：或．
，
，
故答案为：
设直线与轴交点为，与轴交点为，过点作直线于点，根据直线的解析式找出点、、的坐标，通过同角的余角相等可得出，再利用的余弦值即可求出直线的长度，从而得出关于的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质以及含绝对值符合的一元一次方程，解题的关键是找出线段本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的借用角的余弦值求出线段的长度，再根据线段的长度得出关于的含绝对值符号的方程是关键．

7.【答案】 

【解析】解：函数的函数值随自变量的增大而减小，
，
．
故正确；

令，则，所以函数图象与轴的交点为．
故正确；

函数中的，
该函数图象经过二、四象限，
又，
该函数图象经过二、三、四象限，
故错误；

把代入函数，得，
即点在该函数图象上，
故正确；
综上所述，正确的结论是．
故答案为：．
根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号，由一次函数图象上点的坐标特征解答．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．

8.【答案】 

【解析】解：不等式，
或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为．
综上：．
故答案为：．
由若不等式，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．

9.【答案】   

【解析】解：直线：中，
当时，，当时，，
，，
，，
，
故答案为：；
直线：中，
当时，，当时，，
，，
，，
，
如图，作关于轴对称点，它的坐标，连接与轴交于点，此时有最小值，

设直线的解析式为，
将和的坐标分别代入得，
解得，
，
当时，，
，
，
故答案为：．
先根据函数解析式求得、两点的坐标，再利用中点公式可求得的坐标；
求得点的坐标，作关于轴对称点，连接与轴交于点，此时有最小值，求出直线的解析式计算出与轴的交点即可．
此题考查的是一次函数的应用几何问题，坐标与图形变换轴对称，中能熟读题意，理解中点公式是解题关键；中能根据轴对称的性质和两点之间最短得到点坐标是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：方程和有一个公共根，
，
，
解得，，
当时，
．
故答案是：．
因为方程有一个公共根，两方程联立，解得与的关系，故可以解得公共解，然后求出．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．

11.【答案】，，，， 

【解析】解：当时，；
当时，原式可以整理为：，
易知是方程的一个整数根，
再由且是整数，知或，
，，，．
故答案为：，，，，．
首先利用当时，得到一个一元一次方程，直接得出根；当，把代入方程，得出的取值．
此题主要考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意知，．
在的两边同时除以得到：，
、是关于的方程的两个根，
．
由，得．
．
故答案为：．
根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得、的值；然后代入求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

13.【答案】 

【解析】解：连接，，
由勾股定理得：，
在中，点是的中点，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧，
当点落在线段上时，的值最小，
的最小值为：，
故答案为：．
连接，，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据点与圆的位置关系得到点落在线段上时，的值最小，计算即可．
本题考查勾股定理的应用，点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定最小时，点的位置．

14.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
，
，
四边形为矩形，
在中，，
，
是中点，
，
正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线，
不垂直于，
与不平行．
不正确；
四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
．
在中，是的中点，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
即，
．
正确；
≌，
，
，
．
正确；
，，，
≌，
正确；
如图，过点作于点，

设，则，
，，
，
，
，

，
，
，
不正确；
故答案为：．
根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；
根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；
证明≌，由全等三角形性质得出，，根据矩形的性质进行角的计算即可得结论；
根据边边边证明三角形全等即可得结论；
过点作于点，根据割补法求四边形的面积，再求等腰直角三角形的面积，即可得结论．
本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．

15.【答案】 

【解析】解：，






得，



．
故答案为．
根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，解决本题的关键是将已知分式进行适当的变形．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以错误；
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以正确；
，
，所以正确；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以正确；
方程有四个根，
方程有个根，方程有个根，
所有根之和为，所以正确．
故答案为：．
利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对进行判断；把，代入中可对进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．

17.【答案】解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
． 

【解析】根据，把每一个方程变形，然后进行因式分解，分别求出，，的值，再代入求值即可．
本题主要考查了因式分解的应用，关键是对每个方程进行变形．

18.【答案】证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
由≌可得，
，
；
解：与同理可得，，所以，；
是等腰三角形，
理由：与同理可证≌，可得：．
又，，
，
则，
，
，
为直角三角形．
又四边形是正方形，对角线与相交于点，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】是等腰直角三角形，利用“”即可证明≌，得出，即可得答案；
由≌得出，即可得出故答案；
与相同，可证明，又点、、共线，故：；
由猜想并证明，从而可知为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定三边的特点，再进一步判定其形状．
本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．

19.【答案】正方形，菱形  

【解析】解：正方形，菱形的对角线互相垂直，
则正方形、菱形是“十字形”，
故答案为：正方形，菱形；

如图中，四边形是“十字形”．
，
则四边形的面积，
故答案为；

当，，时，
，，
，，
四边形中，，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，
如图中，过点作于，过点作于．

点的运动时间，
，，
，
，
，
，
菱形的周长为，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
，
点走完全程所需的时间为．
此时，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
则直线的解析式为：．
由“十字形”的定义即可求解；由四边形的面积即可求解；
证明、，得到四边形是菱形，再证明是等边三角形，得到，进而求解．
主要考查了一次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

20.【答案】解：Ⅰ抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
抛物线，
．
正实数，，
．
当时，恰好满足，
．
，即．
，
抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
又，
．
将整理得：，
，
，
，
或，
解得：或不合题意舍去或，
同理：由解得：不合题意舍去或不合题意舍去或，
综上所述，，． 

【解析】把点、坐标代入抛物线得出方程组，解方程组即可得解；
求出，由二次函数的性质得当时，，当时，，再结合题意，即可得解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．