2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）下列因式分解正确的是 ．（填序号）
①；
②a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）；
③x2﹣2x+4＝（x﹣2）2；
④4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）．
2．（5分）已知，，，则a、b、c三个数的大小关系是 ．
3．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围部是 ．
4．（5分）一个数x的小数部分用{x}表示，x﹣{x}为整数，且0≤{x}≤1，记9+，9﹣的小数部分分别为a，b，则ab﹣4a+3b﹣2＝ ．
5．（5分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是 ．
6．（5分）一次函数y＝x+b（b＜0）与y＝x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为 ．
7．（5分）函数y＝（a﹣）x﹣1的函数值y随自变量x的增大而减小，下列描述中：①a＜；②函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）；③函数图象经过第一象限；④点（a+，a2﹣4）在该函数图象上，正确的描述有 （填写番号）
8．（5分）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是 ．
9．（5分）若直线AB：y＝x+4与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线CD：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点D和点C，线段AB与CD的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点．
（1）点M的坐标为 ；
（2）当PM+PN的值最小时，点P的坐标为 ．
10．（5分）方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是 ．
11．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣（a+1）＝0的根都是整数，则满足条件的整数a的值为 ．
12．（5分）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则α﹣2+3β的值为 ．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变．MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连接AH，EH，FH．下列结论：
①FH∥AE；
②AH＝EH且AH⊥EH；
③∠BAH＝∠HEC；
④△EHF≌△AHD；
⑤若，则＝，
其中哪些结论是正确的 ．（填序号）
15．（5分）已知x，y，z，a，b均为非零实数，且满足，则a的值为 ．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③9a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．
其中正确的结论为 ．
二、解答题（共4题，每题10分，共40分）
17．（10分）已知x，y，z为正数，且，求x+y+z+xy的值．
18．（10分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF；
②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
19．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为 ；
（2）如图，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足四个条件：①；②；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC＝60°；若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
20．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好满足，求m，n的值．
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共16题，每题5分，共80分）
1．（5分）下列因式分解正确的是 ① ．（填序号）
①；
②a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）；
③x2﹣2x+4＝（x﹣2）2；
④4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）．
【解答】解：x2﹣x+＝（x﹣）2，则①正确；
a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，则②错误；
x2﹣2x+4无法因式分解，则③错误；
4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），则④错误；
综上，正确的是①，
故答案为：①．
2．（5分）已知，，，则a、b、c三个数的大小关系是 b＞a＞c ．
【解答】解：∵a＝＝，
b＝＝，
c＝＝＝＝，
又∵，
∴，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
3．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围部是 且k≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣3）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜且k≠0．
∴k的取值范围为k＜且k≠0．
故答案为：k＜且k≠0．
4．（5分）一个数x的小数部分用{x}表示，x﹣{x}为整数，且0≤{x}≤1，记9+，9﹣的小数部分分别为a，b，则ab﹣4a+3b﹣2＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵9+，9﹣的小数部分分别为a，b，
∴a＝9+﹣9﹣3＝﹣3，
b＝9﹣﹣5＝4﹣，
∴ab﹣4a+3b﹣2＝（﹣3）（4﹣）﹣4（﹣3）+3（4﹣）﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
5．（5分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是 ﹣5≤m＜﹣4 ．
【解答】解：解5x﹣2＜4x+1得：x＜3，
∵关于x的不等式组的整数解仅有4个，
∴﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故答案为：﹣5≤m＜﹣4．
6．（5分）一次函数y＝x+b（b＜0）与y＝x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为 ﹣6 ．
【解答】解：设直线y＝x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y＝x+b于点D，如图所示．
∵直线y＝x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，
∴点A（0，﹣1），点C（，0），
∴OA＝1，OC＝，AC＝，
∴cs∠ACO＝．
∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，
∴∠BAD＝∠ACO．
∵AD＝3，cs∠BAD＝，
∴AB＝5．
∵直线y＝x+b与y轴的交点为B（0，b），
∴AB＝|b﹣（﹣1）|＝5，
解得：b＝4或b＝﹣6．
∵b＜0，
∴b＝﹣6，
故答案为：﹣6
7．（5分）函数y＝（a﹣）x﹣1的函数值y随自变量x的增大而减小，下列描述中：①a＜；②函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）；③函数图象经过第一象限；④点（a+，a2﹣4）在该函数图象上，正确的描述有 ①②④ （填写番号）
【解答】解：①∵函数y＝（a﹣）x﹣1的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴a﹣＜0，
∴a＜．
故正确；
②令x＝0，则y＝﹣1，所以函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）．
故正确；
③∵函数y＝（a﹣）x﹣1中的a﹣＜0，
∴该函数图象经过二、四象限，
又﹣1＜0，
∴该函数图象经过二、三、四象限，
故错误；
④把x＝a+代入函数y＝（a﹣）x﹣1，得y＝（a﹣）（a+）﹣1＝a2﹣4，
即点（a+，a2﹣4）在该函数图象上，
故正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
8．（5分）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是 ﹣0.5＜x＜2 ．
【解答】解：∵不等式（kx+b）（mx+n）＞0，
∴或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2．
综上：﹣0.5＜x＜2．
故答案为：﹣0.5＜x＜2．
9．（5分）若直线AB：y＝x+4与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线CD：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点D和点C，线段AB与CD的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点．
（1）点M的坐标为 （﹣3，2） ；
（2）当PM+PN的值最小时，点P的坐标为 （，0） ．
【解答】解：（1）直线AB：y＝x+4中，
当x＝0时，y＝4，当 y＝0时，x＝6，
∴A（0，4），B（﹣6，0），
∴＝﹣3，＝2，
∴M（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）；
（2）直线CD：y＝﹣x+2中，
当x＝0时，y＝2，当 y＝0时，x＝4，
∴C（0，2），D（4，0），
∴＝2，＝1，
∴N（2，1），
如图，作M关于x轴对称点M′，它的坐标（﹣3，﹣2），连接M′N与x轴交于点P′，此时P′M+P′N＝P′M′+P′N＝M′N有最小值，
设直线M′N的解析式为y＝kx+b，
将M′和N的坐标分别代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
当y＝0时，0＝x﹣，
∴x＝，
∴P′（，0），
故答案为：（，0）．
10．（5分）方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是 2 ．
【解答】解：∵方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1＝0，
∴（a+1）（x+1）＝0，
解得，x＝﹣1，
当x＝﹣1时，
a＝x2﹣x＝1+1＝2．
故答案为：2．
11．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣（a+1）＝0的根都是整数，则满足条件的整数a的值为 1，﹣1，0，2，3 ．
【解答】解：①当a＝1时，x＝1；
②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，
易知x＝1是方程的一个整数根，
再由x＝＝﹣1+且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，
∴a＝﹣1，0，2，3．
故答案为：1，﹣1，0，2，3．
12．（5分）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则α﹣2+3β的值为 10 ．
【解答】解：根据题意知，α≠0．
在α2+3α﹣1＝0的两边同时除以﹣α2得到：﹣﹣1＝0，
∴、β是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，
∴．
由β2﹣3β﹣1＝0，得β2﹣3β＝1．
∴α﹣2+3β＝（+β）2﹣（β2﹣3β）﹣＝32﹣1+2＝10．
故答案为：10．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变．MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ﹣2 ．
【解答】解：连接BE，BD，
由勾股定理得：BD＝＝，
在Rt△MBN中，点E是MN的中点，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连接AH，EH，FH．下列结论：
①FH∥AE；
②AH＝EH且AH⊥EH；
③∠BAH＝∠HEC；
④△EHF≌△AHD；
⑤若，则＝，
其中哪些结论是正确的 ②③④ ．（填序号）
【解答】解：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴四边形EFDC为矩形，
在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，
∴FD＝FG，
∵H是DG中点，
∴FH⊥BD，
∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线，
∴AE不垂直于BD，
∴FH与AE不平行．
∴①不正确；
②∵四边形ABEF是矩形，
∴AF＝EB，∠BEF＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴BE＝GE，
∴AF＝EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，
∴FH＝GH，FH⊥BD，
∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，
∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFH＝∠EGH，
∴△AFH≌△EGH（SAS），
∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG，
∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG，
即∠FHG＝∠AHE＝90°，
∴AH⊥EH．
∴②正确；
③∵△AFH≌△EGH，
∴∠FAH＝∠GEH，
∵∠BAF＝∠CEG＝90°，
∴∠BAH＝∠HEC．
∴③正确；
④∵EF＝AD，FH＝DH，EH＝AH，
∴△EHF≌△AHD（SSS），
∴④正确；
⑤如图，过点H作HM⊥AD于点M，
设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，
∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，
∴AM＝AF+DM＝x，
∴AH2＝（x）2+（x）2＝x2，
∴S四边形DHEC＝S梯形EGDC﹣S△EGH，
＝（2x+3x）•x﹣•2x•x
＝2x2，
S△AHE＝AH•EH＝AH2＝x2，
∴＝＝，
∴⑤不正确；
故答案为：②③④．
15．（5分）已知x，y，z，a，b均为非零实数，且满足，则a的值为 3 ．
【解答】解：∵，
∴+＝
∴+＝a3﹣b3①
+＝
∴+＝a3②
+＝
∴+＝a3+b3③
①+②+③得，
++＝
∴＝＝＝
∴3a3＝81
∴a＝3．
故答案为3．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③9a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．
其中正确的结论为 ②③④⑤ ．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），
∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，
∴9a﹣b+c＝0，所以③正确；
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，
∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确；
∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，
∴所有根之和为2×（﹣）＝2×（﹣）＝﹣8，所以⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
二、解答题（共4题，每题10分，共40分）
17．（10分）已知x，y，z为正数，且，求x+y+z+xy的值．
【解答】解：∵x+y+xy＝8，
∴x+y+xy+1＝8+1＝9，
∴（x+1）（y+1）＝9，
同理可得：（y+1）（z+1）＝16，（x+1）（z+1）＝36，
解得：，y＝1，z＝7，
∴x+y+z+xy＝+1+7+×1＝15．
18．（10分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF；
②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，4∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD 和△CAF 中，
AB＝AC，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
②由 ①△BAD≌△CAF 可得 BD＝CF，
∵BD＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）解：①与（1）同理可得，BD＝CF，所以，CF＝CD﹣BC；
②△AOC是等腰三角形，
理由：与（1）同理可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA＝∠FCA．
又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABD＝∠FCA＝135°，
∴∠DCF＝135°﹣45°＝90°，
∴△FCD为直角三角形．
又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，
∴OC＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
19．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 正方形，菱形 ；
②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为 ab ；
（2）如图，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足四个条件：①；②；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC＝60°；若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
【解答】解：（1）①∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
则正方形、菱形是“十字形”，
故答案为：正方形，菱形；
②如图1中，∵四边形ABCD是“十字形”．
∴AC⊥BD，
则四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝BD•（OA+OC）＝BD•AC＝ab，
故答案为 ；
（2）当，，S＝S1+S2+S3+S4时，
∴，，
∴，，
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴S1S2＝S3S4，
∴，
∴，
∴，
∴S3＝S4，
同法可证 S1＝S2，
∴S1＝S2＝S3＝S4，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，
∴，∠ACB＝60°，
如图2中，过点F作 FH⊥BC 于H，过点E作 EJ⊥BC 于J．
∵点P的运动时间＝，
∵FH⊥BH，∠FBH＝30°，
∴，
∴，
∵EJ⊥BC，
∴EF+FH≤EJ，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝BC＝8，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC＝8，OA＝OC＝4，
∵AE＝OE＝2，
在 Rt△EJC 中，CE＝4+2＝6，
，
∴点P走完全程所需的时间为 ．
此时 ，
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则直线EF的解析式为：．
20．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好满足，求m，n的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴y≤4．
∵正实数m，n（m＜n），
∴0＜m＜n．
∵当m≤x＜n时，恰好满足≤≤，
∴≤y≤．
∴≤4，即m≥＞1．
∴1≤m＜n，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时，y最大值＝﹣m2+2m+3，
当x＝n时，y最小值＝﹣n2+2n+3，
又≤y≤，
∴．
将①整理得：n3﹣2n2﹣3n+6＝0，
∴n2（n﹣2）﹣3（n﹣2）＝0，
∴（n﹣2）（n2﹣3）＝0，
∵n＞1，
∴n﹣2＝0或n2﹣3＝0，
解得：n＝2或n＝﹣（不合题意舍去）或n＝，
同理：由②解得：m＝2（不合题意舍去）或m＝﹣（不合题意舍去）或m＝，
综上所述，m＝，n＝2．
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