2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 党的十八大以来，长沙用多个日日夜夜的不懈奋斗，努力把习近平总书记对湖南重要讲话重指示批示精神转化为生动实践，交上了一份奋进新征程、建功新时代的精彩答卷．十年来，长沙大力推进义务教育优质均衡发展，教育惠民实现大跨越；全市新改扩建义务教育学校所，新增学位近个，请将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带去最省事．(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 若的积中不含有的一次项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为(    )

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

10. 下列说法中，正确的有(    )
    两边及一内角相等的两个三角形全等；
    等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
    等腰三角形两腰上的高相等；
    等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若，，则______．
12. 一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为偶数，则第三边的长是______．
13. 已知，则的值为______．
14. 如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是______ ．

15. 如图，≌，点的对应点在线段上，，则的度数是______．

16. 如图，已知，，，，，若点是上的一个动点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，一条船上午时从海岛出发，以海里时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．
    求海岛到灯塔的距离；
    若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔的距离最短？

20. 本小题分
    为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
    
    这次调查中，一共调查了______名学生；
    在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为______度；并补全条形统计图．
    若全校有名学生，请估计喜欢科技类的学生有多少名？
21. 本小题分
    在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．
    求出，的值；
    在的条件下，计算的结果．
22. 本小题分
    如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点．
    若，，求的长；
    求证：为等腰三角形．

23. 本小题分
    我市在创建全国文明城市过程中，决定购买，两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买种树苗棵，种树苗棵，需要元；购买种树苗棵，种树苗棵，需要元．
    求购买，两种树苗每棵各需多少元？
    考虑到绿化效果和资金周转，购进种树苗不能少于棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过元，若购进这两种树苗共棵，则有哪几种购买方案？
24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点关于轴的对称点；若，作点关于轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．
    点作“变换”后的坐标为______；点作“变换”后的坐标为______；
    已知点，，，其中，且点，作“变换“后对应的点分别为，两点，，求的值．
    已知点，，在所在直线上方作等腰直角三角形，若点，作“变换”后对应的点分别为，，其中，若点在线段上，求的取值范围．
25. 本小题分
    尝试探究：如图，是等边三角形，，，连接、，求的度数．
    类比延伸：如图，是等边三角形，，连接、，平分，交于，交于，求的度数．
    拓展迁移：在的条件下，试猜想，，之间有怎样的数量关系？并给出证明．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后再利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：移项得：，
解得：，
故选：．
不等式移项，将系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图形可知，有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带去．
故选：．
根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带去．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：

，
积中不含有的一次项，
，
解得：．
故选：．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含的一次项，则其系数为，从而可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确结果不含的一次项，则其系数为．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，
，
，
平分，，，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据三角形的面积公式可得，从而求出，然后利用角平分线的性质即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设第一天走了里，
依题意得：，
解得．
则．
故选：．
设第一天走了里，则第二天走了里，第三天走了第六天走了里，根据路程为里列出方程并解答．
本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到里是解题的难点．
 

10.【答案】 

【解析】解：两边及夹角对应相等的两个三角形全等，
故错误，不符合题意；
等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，
故错误，不符合题意；
等腰三角形两腰上的高相等，
故正确，符合题意；
等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，
故正确，符合题意；
综上，说法正确的有个，
故选：．
根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质判断求解即可．
此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案．
此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算．
 

12.【答案】 

【解析】解：设第三边为，根据三角形的三边关系知，
，即，
又第三边的长是偶数，
为．
故答案为：．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，



，
故答案为：．
将转化为，再整体代入计算即可．
本题考查代数式求值，将转化为是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
．
．
的周长是．
故答案为：．
依据垂直平分线的性质得周长转化为即可求解．
本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为的和即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
．
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出，，即可得到答案．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点在外作射线，使得，过点作于点，连接，则，

，
当、、三点共线，且时，的值最小，
，
，
，
，
故C的最小值为：，
故答案为：．
过点在外作射线，使得，过点作于点，连接，则，当、、三点共线，且时，的值最小，求出此时的便可．
本题考查了垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质，关键在于作辅助线，构造，应用垂线段最短原理解题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：海里．
，，
．
．
 海里．
从海岛到灯塔的距离为海里．
如图，过点作于点．

根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，．
又，
．
在中，，
海里，
海里．
航行的时间为时．
若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短． 

【解析】根据三角形的外角的性质，得，那么，故AB 海里．
如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔的距离最短，求得根据三角形内角和定理，得根据含度角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，从而解决此题．
本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：名，
故答案为：；
所占百分比为，
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为：，
的人数是：名，
补图如下：

故答案为：；
名，
答：估计喜欢科技类的学生有名．
根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
用整体减去、、类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数；用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
 

21.【答案】解：甲错把看成了，



，
，
解得：；
乙错把看成了，



，
，
把代入，得；
当，时，



． 

【解析】根据题意得出，，得出，，求出、即可；
把、的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
本题考查了多项式乘多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
 

22.【答案】解：是边上的中线，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
；
证明：，
，，
而，
，
，
而，
，
为等腰三角形． 

【解析】证明为的中位线得到；
通过证明得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，证得为的中位线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设购买种树苗每棵需元，购买种树苗每棵需元，
根据题意得：，
解得，
答：购买种树苗每棵需元，购买种树苗每棵需元；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
购进种树苗不能少于棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过元，
，
解得，
是正整数，
可取，，，，
有种购买方案：
购买种树苗棵，购买种树苗棵，
购买种树苗棵，购买种树苗棵，
购买种树苗棵，购买种树苗棵，
购买种树苗棵，购买种树苗棵． 

【解析】设购买种树苗每棵需元，购买种树苗每棵需元，根据“购买种树苗棵，种树苗棵，需要元；购买种树苗棵，种树苗棵，需要元“可列出方程组解得答案．
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据“购进种树苗不能少于棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过元“，可列不等式组解得，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组．
 

24.【答案】   

【解析】解：点关于轴对称的点为，
点关于轴对称的点为，
故答案为：，；
，
，
点关于轴对称的点，
，
点关于轴对称的点，
，
，
，
解得；
，，
，
当时，；
当时，；
当时，；
，
，，
，，
当在线段上时，，，
解得；
当在线段上时，，，
解得；
当在线段上时，，，
；
综上所述：或或时，点在线段上．
根据定义直接求解即可；
根据定义分别求出，，再由中可得，，则，求出；
分别求出符合条件的点坐标，再求出，，根据点的坐标，分三种情况求出符合条件的的取值范围即可．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握点关于轴、轴的对称点的坐标求法，等腰直角三角形的性质，弄清定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
；
的度数是；
实践探究：
设，
，
，，
；
，理由如下：
连接，在上取一点，使得，如图：

，平分，
是的中垂线，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
时等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】由等腰直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得；
设，由等腰三角形的性质分别求出和的度数，即可求解；
由“”可证≌，可得，可证是等边三角形，可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．