2024年湖南省长沙市雅礼教育集团中考一模数学试题解析版

这是一份2024年湖南省长沙市雅礼教育集团中考一模数学试题解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，，，
，
最小的数是．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主枧图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
故选：C．
4. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，n为整数是关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数据6170000用科学记数法表示为．
故选：D
5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
6. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，
∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键．
9. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．再求解即可．
【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
，
，
故选：B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【解析】
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
12. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品．
【答案】20
【解析】
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可．
【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批次产品中的次品件数是：：(件)，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 _____．
【答案】
【解析】
分析】根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式的意义是解题的关键．
14. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解．
【详解】由已知得，母线长==5，半径为3，
∴圆锥的侧面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．
15. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．
【答案】100
【解析】
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即 ，
解得：AB= =100（米）．
故答案为100．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
16. 在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母依次对应1、2、3，…，26这26个自然数，如下表，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号．按该规定，将明码“yan”译成密码（密码是字母）是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查数字类规律探索．需要知识迁移的灵活性及分类讨论的数学思想方法解答该题．先找出“”中各个字母对应的数，判断出奇偶数，然后依据不同的代数式进行解答即可．
【详解】解：明码中y对应序号为25，故密码对应的序号为13，对应的字母为m，
明码中a对应序号为1，故密码对应的序号为1，对应的字母为a，
明码中n对应序号为14，故密码对应的序号为13＝20，对应的字母为t，
明码中对应序号为15，故密码对应的序号为8，对应的字母为h，
∴将明码“”译成密码是；
故答案：
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分；第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的乘法法则、减法法则把原式化简，把a地震代入计算得到答案．
【详解】解：原式
当时，原式．
19. 机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图，是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算，的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位）
【答案】的长度约为米；的长度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，由平行线的性质得，，过点作于，作于，得四边形是矩形，四边形是矩形,解直角三角形求出，，进而可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，， ，
，，
过点作于，作于，
则四边形是矩形，四边形是矩形,
，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
答：的长度约为米；的长度约为米．
20. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（，，，，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中的值为______；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在分钟（含分钟）以上的学生有多少人？
（4）若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1），
（2）补图见解析 （3）人
（4）
【解析】
【分析】（）用组人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，再用组人数除以抽取的学生人数即可求出的值；
（）求出组人数，即可补全条形统计图；
（）用乘以分钟（含分钟）以上的学生占比即可求解；
（）画出树状图，根据树状图解答即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：本次抽取的学生人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：组人数为，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：，
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在分钟（含分钟）以上的学生约有人；
【小问4详解】
解：若组中有名女生，则有名男生，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率是．
21. 如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，的长是偶数，则长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是边的中点，，得出和，，根据可以求证；
（2）由，得出，根据三角形边长关系得出，可以推出，进而得出结论．
【小问1详解】
证明：是边的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
在中，
，
，
，
又，
，
的长是偶数，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的边长关系，平行线的性质，根据三角形边长关系得到是解答本题的关键．
22. 橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲．该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】（1）该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个
（2）8元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，根据要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设该商店第一次购进这款书签个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，原分式方程解
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
【小问2详解】
设第一次销售时每个书签的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
23. 如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）在点的运动过程中，求的最小值；
（3）若四边形为正方形，求．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理．
（1）由三个角是直角的四边形是矩形可以证明四边形是矩形；
（2）连接，先用勾股定理求得，再由四边形是矩形，可得．由垂线段最短可知，当时，最小，即最小，再用面积法求解即可；
（3）若四边形是正方形，可得，从而得出，再求解即可．
【小问1详解】
证明：于，
，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
如图，连接，

中，，，，
，
四边形是矩形，
．
由垂线段最短可知，当时，最小，即最小，
此时，，即，
，
，即的最小值是．
【小问3详解】
若四边形是正方形，
，
，
．
24. 我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题：
【概念理解】
（1）下列抛物线是“完美抛物线”的是______；
①②③
【拓展应用】如图，已知“完美抛物线”的顶点为，将该抛物线沿直线向上平移，点平移到点，两条“完美抛物线”相交于点，设点、点的横坐标分别为
（2）若，求平移后的抛物线的解析式；
（3）在平移的过程中，若，求的值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形及数形结合思想等知识．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
（1）先求出顶点坐标，再根据“完美抛物线”的定义进行判断即可；
（2）先根据“完美抛物线”定义可得点的坐标为，该抛物线的解析式为，可得点的坐标为．再根据题意求出m的值，最后求出平移后的抛物线的解析式；
（3）先求得．过点作轴交于点，证明，可得即．由点的横坐标为，可得，，可列出方程，再进行求解即可．
【详解】解：（1）①的顶点坐标为，其在直线上，
②的顶点坐标为，不在直线上，
③的顶点坐标为，其在直线上，
故答案为：①③；
（2）“完美抛物线”的顶点为点
点的坐标为，该抛物线的解析式为
点的横坐标为，
点的坐标为．
，
，
解得，（舍去）
平移后的抛物线的解析式为，即．
（3）点的坐标为，
平移后的抛物线的解析式为
联立方程得，消去，得．
点的横坐标为，
，即．
如图，过点作轴交于点，
，
且，
，
即．
点的横坐标为，
，，
，，，
，
得．
即，
，
解得（舍负）
．
25. 如图，半径为2的中，弦的长度为，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点．
（1）求的度数；
（2）当点沿着优弧从点开始，顺时针运动到点时，求的内心点所经过的路径的长度；
（3）连接，设，，求关于的函数解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，内心的性质，添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，过点O作于点M，求出，证明平分，即可解答；
（2）连接，求出，当点A在优弧上的运动时，的内心点E所经过的路径为以D为圆心，圆心角为扇形的弧，即可解答；
（3）作，连接，利用勾股定理，列出方程，求解即可．
【小问1详解】
连接，，过点作于点，
，
，
在中，，
，
，
，
是内心，
平分，
；
【小问2详解】
如图，连接，，，
，，
又，，
，
，
，
当点在优弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为的扇形的弧；
路径长度．
【小问3详解】
作，连接，
在中，，
在中，，
，
，，
，即，
．字母
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26