2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．﹣3
2．某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为（ ）
A．29.6×107B．2.96×107C．2.96×106D．0.296×107
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
​
A．5B．6C．8D．10
8．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）
A．15πB．10πC．5πD．2.5π
9．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2B．5C．1D．5或1
10．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣2＝0没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知M（a，3）和N（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ．
13．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根为3，则m的值为 ．
14．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 ．
15．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，若点A恰好在ED的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 ．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中x＝5．
19．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出点A1的坐标；
（2）求旋转过程中点C经过的路径长．
20．2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4 过点（3，﹣4），与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
22．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？
24．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．
（1）判断直线y＝x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2﹣k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2，求k的值；
（3）若二次函数y＝x2+（m﹣t+1）x+2n+2t﹣2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当﹣2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．﹣3
【分析】根据无理数的概念进行判定即可．
解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、0是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、﹣3是有理数，不是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2．某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为（ ）
A．29.6×107B．2.96×107C．2.96×106D．0.296×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：29600000用科学记数法表示为2.96×107．
故选：B．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
5．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：6x+12≥0，
解得：x≥﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：，
解得，
不等式组的解集是﹣1≤x＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
​
A．5B．6C．8D．10
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．
解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，
即⊙O半径为10．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）
A．15πB．10πC．5πD．2.5π
【分析】根据扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝进行计算即可．
解：∵扇形的圆心角为150°，半径是6，
∴S扇形＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．
9．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2B．5C．1D．5或1
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r＝＝1；
当点P在⊙O内时，r＝＝5．
综上可知此圆的半径为1或5．
故选：D．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，能够进行分类讨论，不要漏解是解决问题的关键．
10．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣2＝0没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①错误，不符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n﹣2有实数根，
故④错误，不合题意．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知M（a，3）和N（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
解：∵M（a，3）和N（﹣4，b）关于原点对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则a+b＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
13．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根为3，则m的值为 7 ．
【分析】把x＝3代入一元二次方程得18﹣3m+3＝0，然后解关于m的方程即可．
解：把x＝3代入方程2x2﹣mx+3＝0得18﹣3m+3＝0，
解得m＝7，
即m的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 2 ．
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝60°，而OB＝OC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以OB＝BC＝1．
解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
15．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，若点A恰好在ED的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 70° ．
【分析】由三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，得∠ABC＝∠CDE＝110°，则∠ADC＝70°．
解：∵三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠ADC＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是 ﹣2＜x＜4 ．
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】先算负整数指数幂、零指数幂，同时去绝对值，化简二次根式，再计算加减法即可．
解：
＝25﹣2+1+2
＝26．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝5时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出点A1的坐标；
（2）求旋转过程中点C经过的路径长．
【分析】（1）根据旋转的性质即可以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，进而可以写出A1点的坐标；
（2）根据弧长公式即可求点C到点C1经过的路径长．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为（2，1）；
（2）∵OC＝＝3，∠COC1＝90°，
∴旋转过程中点C经过的路径长为：＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
20．2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 36° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4 过点（3，﹣4），与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线的对称性求得B点的坐标，由解析式求得C点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为y＝x﹣4，设P（x，x2﹣3x﹣4）（0＜x＜4），则Q（x，x﹣4），即可得出PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数性质可得答案．
解：（1）把（3，﹣4），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴其对称轴为直线x＝﹣＝；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝，点A的坐标为（﹣1，0），
∴B（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4，
代入B（4，0）得，4k﹣4＝0，解得k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
设P（x，x2﹣3x﹣4）（0＜x＜4），则Q（x，x﹣4），
∴PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，PQ有最大值4，此时P（2，﹣6）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质，待定系数法是解题的关键．
22．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？
【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个甲型头盔，则购进（200﹣m）个乙型头盔，根据“进货总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6180元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该商场共有5种进货方案，再求出选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进m个甲型头盔，则购进（200﹣m）个乙型头盔，
根据题意得：，
解得：80≤m≤84，
又∵m为正整数，
∴m可以为80，81，82，83，84，
∴该商场共有5种进货方案，
方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔，全部售出后的利润为（58﹣30）×80+（98﹣65）×120＝6200（元）；
方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔，全部售出后的利润为（58﹣30）×81+（98﹣65）×119＝6195（元）；
方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔，全部售出后的利润为（58﹣30）×82+（98﹣65）×118＝6190（元）；
方案4：购进83个甲型头盔，117个乙型头盔，全部售出后的利润为（58﹣30）×83+（98﹣65）×117＝6185（元）；
方案5：购进84个甲型头盔，116个乙型头盔，全部售出后的利润为（58﹣30）×84+（98﹣65）×116＝6180（元）．
∵6200＞6195＞6190＞6185＞6180，
∴利润最大的方案是：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔，最大利润是6200元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．
（1）判断直线y＝x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2﹣k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2，求k的值；
（3）若二次函数y＝x2+（m﹣t+1）x+2n+2t﹣2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当﹣2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
【分析】（1）将点P的坐标代入函数表达式得：a+2＝a+4，即可求解；
（2）由点P的坐标知，点P在直线y＝x+2上，则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，即可求解；
（3）点P是二次函数的图象上的朴实点，则a+2＝a2+（m﹣t+1）a+2n+2t﹣2，由Δ＝0，得到n＝m2﹣2mt+t2﹣t+2，再分类求解即可．
解：（1）有，理由：
将点P的坐标代入函数表达式得：a+2＝a+4，
解得：a＝3，
即点P（3，5）；
（2）由点P的坐标知，点P在直线y＝x+2上，
则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，
当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，
联立线y＝x2+3x+2﹣k和y＝x+2得：x2+2x﹣k＝0，
则x＝﹣1±，
则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝2，
解得：k＝0；
（3）∵点P是二次函数的图象上的朴实点，
∴a+2＝a2+（m﹣t+1）a+2n+2t﹣2，
∴a2+（m﹣t）a+2n+2t﹣4＝0，
∵图象上存在唯一的朴实点，
∴Δ＝0，
∴（m﹣t）2﹣4××（2n+2t﹣4）＝0，
∴n＝m2﹣2mt+t2﹣t+2，
该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，
即：n＝9﹣6t+（t2﹣t+2）＝t+4，
解得：t＝1（舍去）或7；
②当对称轴是m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，取得最小值，
即：n＝4+4t+（t2﹣t+2）＝t+4，
此方程无解；
③当对称轴是﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，
即：n＝t2﹣2t2+（t2﹣t+2）＝t+4，
解得：t＝0，
综上所述，t的值为0或1．
【点评】本题是二次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐次求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
【分析】（1）由判断出∠ABD＝∠BAC，再判断出∠BAC＝∠ABC，即可得出结论；
（2）过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，先判断∠AFC＝∠CHB＝90°，再判断出∠ACF＝∠CBH，进而判断出△ACF≌△CBH，得出CF＝BH，AF＝CH，再判断出Rt△ABF≌Rt△CDH，判断出DH＝BF，即可得出结论；
（3）过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，由S△CFA＝S△CBD，判断出CF＝BD，设BD＝x，则CF＝x，得出AC＝3x，根据勾股定理得，AF＝2x，即可得出结论．
【解答】（1）解：∠ABC＝∠ABD；理由：
∵，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD；
（2）证明：过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝∠CHB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2∠ABC，
由（2）知，∠ABC＝∠ABD，
∴∠CBH＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2∠ABC，
∴∠ACF＝∠CBH，
∵AC＝BC，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，AF＝CH，
∵，
∴AB＝CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDH（HL），
∴DH＝BF，
∴AC＝BC＝CF+BF＝CF+DH＝CF+BD+BH＝CF+BD+CF＝2CF+BD，
即AC＝2CF+BD；
（3）过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵S△CFA＝S△CBD，
∴AF•CF＝BD•CH，
由（2）知，AF＝CH，
∴CF＝BD，
设BD＝x，则CF＝x，
∴AC＝2CF+BD＝3x，
根据勾股定理得，AF＝＝＝2x，
∴＝＝2．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．