2023-2024学年江苏省扬州市宝应县氾水中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市宝应县氾水中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知，那么下列等式中，不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知线段、、、的长度满足等式，将它改写成比例式的形式，错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列图形中不一定是相似图形的是(    )

A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形
C. 两个长方形 D. 两个正方形

4.如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，直线，直线、、分别和直线交于点、、，和直线交于点、、，若，，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，∽，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在中，中线、相交于点，，交于点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在矩形中，将矩形对折，得到折痕，沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为下列结论，其中正确的个数为(    )
是直角三角形



若连接，则∽

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.线段、的比例中项为______ ．

10.两个相似三角形的相似比是：，周长的差为，则它们的周长分别为______ ．

11.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为______精确到．

12.如图，、为的边、上的点，当______ 时，∽．

13.如图，点、分别在与上，，且：：，，则 ______ ．

14.如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，则______．

15.如图，在梯形中，，、相交于点，：：，那么：______．

16.如图，在中，，垂足为下列条件：；；；，其中能证明是直角三角形的有______ ．

17.如图，在边长为的正三角形中，，，则的长为______．

18.如图，有一矩形纸片，，，将纸片折叠，使落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的值是_______．
 

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

如图，已知是坐标原点，，，以原点为位似中心，将缩小为原来的一半即新图形与原图形的相似比为：．
画出缩小后的图形；
写出点的对应点坐标；
如果内部一点的坐标为，写出点经位似变换后的对应点坐标．

20.本小题分
如图，中，点在上，，若，，求的长．

 

21.本小题分

如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交、于、．
求证：；
若，，求．

22.本小题分
如图，在矩形中，点、分别在边、上，求证：
∽；
若，，，求的长．

23.本小题分
如图，是一块锐角三角形的余料，边长，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点在、上，这个正方形的零件的边长为多少？

24.本小题分
如图，在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为点和点同时出发，设运动的时间为，．
用含的代数式表示；
当以点，为顶点的三角形与相似时，求的值；
当时，求的值．

25.本小题分
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
如图，若四边形是矩形，且则______填“”或“”或“”；
如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
如图，若，，，则的值为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由比例的性质得到，故本选项不符合题意．
B、根据比例的性质得到为非零实数，故本选项符合题意．
C、根据合比性质得到，故本选项不符合题意．
D、根据等比性质得到，故本选项不符合题意．
故选：．
根据比例的性质作答．
考查了比例的性质，需要掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．

2.【答案】 

【解析】解：、两边同时乘以最简公分母得，与原式相等，正确，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母得，与原式相等，正确，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母得，与原式相等，正确，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母得，与原式不相等，错误，符合题意；
故选：．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．

3.【答案】 

【解析】解：、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；
B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误；
C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；
D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误．
故选：．
根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．

4.【答案】 

【解析】解：设像到小孔的距离为，
由题意知，，
∽，

，
故选：．
设像到小孔的距离为，根据相似三角形对应边以及对应边上的高成比例得出方程求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，则可计算出，然后计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

6.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质，证明，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明．

7.【答案】 

【解析】解：中线、相交于点
点为的重心

为中点，
为的中位线


∽


设，则，，

故选：．
由重心定理可得；由三角形的中位线可得；由，可证∽，由相似三角形的性质，可得；设，用含的式子分别表示出和，则可求得答案．
本题考查了重心定理、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：沿着折叠，点的对应点为，
，
再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
，
是直角三角形；故符合题意；
，
设，则，
将矩形对折，得到折痕；
，
，
，，
∽，
，
，
，

，故符合题意；
，
沿着折叠，使得与重合，
，
，故符合题意；
，
，
沿着折叠，使得与重合，
，
，
，故不符合题意，
如图，

沿着折叠，使得与重合，
，，
，
，
，且，
∽，故符合题意，
故选：．
根据折叠的性质得到，，于是得到，求得是直角三角形；设，则，由相似三角形的性质可得，可求，可判断，由折叠的性质和平行线的性质可得，可证；由，且，可证∽，则可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是，则，
，线段是正数，负值舍去．
故答案为：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
本题考查比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．

10.【答案】， 

【解析】解：两个相似三角形相似之比为：，
它们的周长比为：，
设它们的周长分别为，，
周长之差为，
，
解得：，
它们的周长分别为：，．
故答案为：，．
由两个相似三角形相似之比为：，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得它们的周长比为：，又由周长之差为，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比是解此题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为度的倍．
【解答】
解：根据黄金比值得：．
故答案为．

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
当时，∽．
故答案为：答案不唯一．
由相似三角形的判定，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
∽，，
，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可得到结论．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的重心的性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍是解题的关键根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍列式进行计算即可求解．
【解答】
解：的中线、相交于点，
点是的重心，
．
故答案为．

15.【答案】： 

【解析】解：过作于，
：：，
，
，
∽，
：．
故答案为：：．
过作于，通过：：，求出，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：
，
，
为直角三角形；
，
为直角三角形；
、的夹角为，、的夹角为，
且，
和不相似，
不一定是直角三角形；
，
，
∽，
，且，
，
为直角三角形；
故答案为：．
可利用三角形内角和求得；可由勾股定理的逆定理求得；、的夹角为，、的夹角为，并不能得到∽；可证得∽，可得，且，可得．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法有有一个角为直角或两锐角互余，勾股定理的逆定理是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，；
；

，

，
又，
∽，
则，
即，
解得：，
故AE．
故答案为：．
先根据边长为，，求出的长度，然后根据和等边三角形的性质，证明∽，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的长度，即可求出的长度．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得∽是解答此题的关键．

18.【答案】 

【解析】【分析】
观察第个图，易知∽，欲求、的比值，必须先求出、的长；由折叠的性质知：，那么，即可得到、的长，由此得解．
本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握变换的性质是解决问题的关键．
【解答】
解：由题意知：，
，，；
，
∽，
得，
故答案为：．

19.【答案】解：以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，，，
，；，；


点的对应点坐标为：，；

内部一点的坐标为，
则点经位似变换后的对应点坐标为：，． 

【解析】由以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形；
结合可求得点的对应点坐标；
根据位似图形的性质，即可求得点经位似变换后的对应点坐标．
此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．

20.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
，
． 

【解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．
由题意，在中，点在边上，满足，，可证∽，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．

21.【答案】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，∽，
，，
．
，
，
． 

【解析】利用平行四边形的性质可得出，，进而可得出∽，∽，再利用相似三角形的性质可证出；
由，结合的结论，可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用相似三角形的性质，证出；代入，，求出的长．

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，

，
，
，
，
∽；
解：∽，，，，
，即，解得，
四边形为矩形，
，
由勾股定理得：
． 

【解析】先判断出，进而得出，再判断出，得出，即可得出结论；
先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

23.【答案】解：设正方形的边长为，
则，
是正方形，
，
∽，
，
即，
解得，
所以，这个正方形零件的边长是． 

【解析】设正方形的边长为，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出的长度，然后列出比例式是解题的关键．

24.【答案】解：如图作于，则四边形是矩形，
，，
，，，
由题意．
当以点，为顶点的三角形与相似时，
或，
或，
解得：或，
当或时，当以点，为顶点的三角形与相似；
当时，过点作，交于，
则，
，
，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
当时，． 

【解析】本题考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形．
如图作于则四边形是矩形，利用勾股定理求出的长即可解决问题；
根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
当时，过点作，交于，，，推出，推出，由此构建方程即可解决问题．

25.【答案】；
当时，成立．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
即当时，成立．
    ． 

【解析】解：，
理由是：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．

见答案；

解：．
理由是：过作于，交延长线于，连接，设，

，即，

，
四边形是矩形，
，，
在和中

≌，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
舍去，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
【分析】
根据矩形性质得出，求出，证出∽即可；
当时，成立，证∽，得出，证∽，得出，即可得出答案；
过作于，交延长线于，连接，设，≌，推出，证∽，求出，在中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出，证出∽，即可得出答案．
本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．