2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）月考数学试卷（10月份），共24页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）以下调查中，适合全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的体重情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测扬州的城市空气质量
D．调查某河塘中现有螃蟹的数量
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
3．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，连接AB，CD（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
4．（3分）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．（3分）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（0，1）D．（1，0）
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
7．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，统计图表（部分数据）如下（ ）
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中m的值为5
C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人
8．（3分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，BC＝7，CD＝6，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A．B．C．10D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程）
9．（3分）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为 ．
10．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
11．（3分）某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
13．（3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝ ．
14．（3分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
①第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
②随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，其中正确的是 （填序号）．
15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
16．（3分）在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是 km．
17．（3分）关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
18．（3分）如图，射线OM⊥ON于O，OA＝16，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，若点B'恰好落在射线ON上，则点A'到射线ON的距离＝ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.)
19．（8分）解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
20．（8分）已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，求代数式：的值．
21．（8分）已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
23．（10分）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
24．（10分）近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI），其计算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，则他的BMI＝≈23.4；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖：BMI≥28为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，通过计算得到他们的BMI值并绘制了两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，BMI值为27，则他的体重至少需要减掉 kg．（结果精确到1kg）
25．（10分）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，两杆之间的距离BD＝19米，D，B，H成一线，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学
26．（10分）如图，①②③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC、矩形ABCD的顶点均在格点上．请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中，并保留作图痕迹（画图过程用虚线表示）．
（1）图①中，在△ABC的边BC上确定一点E，连接AE；
（2）图②中，在△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2；
（3）图③中，在边AB上画点E，使AE＝2BE．
27．（12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1和x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横、纵坐标得到点P（x1，x2），则称点P为该一元二次方程的“两根点”
（1）请你直接写出方程x2＝4的“两根点”P的坐标；
（2）点P是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的“两根点”．
①若点P在直线y＝﹣x上，求k的值；
②点O为坐标原点，求当线段OP取得最小值时点P的坐标．
28．（12分）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：．
【结论应用】
（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，BC＝6，求折痕EF的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，若AB＝4，BC＝6，
2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的
1．【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全国中学生的体重情况，不符合题意；
B、检测“神舟十六号”飞船的零部件，符合题意；
C、检测扬州的城市空气质量，不符合题意；
D、调查某河塘中现有螃蟹的数量，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣8x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝7．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．【分析】利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF＝∠HCD，进而得到∠BAC＝∠DCA，则AB∥CD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
由网格图可知：BF＝2，AF＝4，DH＝4，
∴AB＝＝5，
CD＝＝．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF＝，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD＝，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比＝＝＝2：6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
4．【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析．
【解答】解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可．
5．【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：
△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），4）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握“位似中心”的确定方法．
6．【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b3﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b3﹣4c﹣2
＝8﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
7．【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人）；
B、统计表中m的值为100×5%＝5（人）；
C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多；
D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有2200×，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
8．【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：如图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则，
设DF＝x，CE＝y，
则，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；
EB＝DF+AD＝+3＝；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则，
设FC＝m，FD＝n，
则，
解得，
∴FD＝10，故选项C不符合题意；
BF＝FC+BC＝8+2＝15；
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和3；
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程）
9．【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：3.2（4+x）2＝3.3，
故答案为：3.2（2+x）2＝3.2．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．
【解答】解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝5，
∴x2＝2（5﹣x），
即x2+2x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣6，x2＝﹣2﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：（﹣1+）．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
11．【分析】根据各组频率之和为1，可求出答案．
【解答】解：由各组频率之和为1得，
1﹣7.2﹣0.2＝0.3，
故答案为：4.3．
【点评】本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1”是正确解答的前提．
12．【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣5＝0得9+2a﹣6＝0，解得a＝﹣8．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．【分析】由题可知△ADE∽△ABC，根据相似比，即可求出相似比．
【解答】解：∵D、E分别是AB，
∴AD＝AB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即S△ADE：S△ABC＝．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
14．【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
②随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：②．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．
15．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x4+2x﹣3＝5的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则．
16．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离．
【解答】解：设甲、乙两地间的实际距离为xcm
＝，
解得：x＝125000cm＝1.25km．
故答案为：3.25．
【点评】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．
17．【分析】根据同族二次方程的定义把式子进行变形，然后列出二元一次方程组，即可求出a与b的值，进一步求出ab的值．
【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+6＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x5+（b﹣4）x+8＝（a+5）（x﹣1）2+8，
即（a+2）x2+（b﹣8）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+8，
∴，
解得：．
∴ab＝﹣50．
故答案为：﹣50．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组．
18．【分析】连接OB，过A作AC⊥OB于C，根据旋转的性质得到：点A'到射线ON的距离就是点A到OB的距离，再利用面积法求出AC即可．
【解答】解：∵OA＝16，AB＝10，
∴OB＝10，OD＝AD＝8，
由勾股定理，得BD＝＝，
连接OB，过A作AC⊥OB于C，如图：
由旋转可知：点A′到射线ON的距离就是AC的长，
∵OB•AC＝，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，面积法，明确点A'到射线ON的距离就是点A到OB的距离是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.)
19．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（3x﹣1）8＝2（3x+7），
∴（3x﹣1）5﹣2（3x+6）＝0，
∴（3x﹣8）（3x﹣3）＝4，
则3x﹣1＝2或3x﹣3＝4，
解得x1＝，x2＝1；
（2）∵8x2﹣4x+2＝0，
∴2x4﹣4x＝﹣1，
∴x4﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+4＝﹣+6，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
解得x1＝2+，x8＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．【分析】把代数式整理后，变为，故由x2+3x﹣1＝0得x（x+3）＝1，代入代数式求值．
【解答】解：∵x2+3x﹣6＝0．
∴x2+2x＝1．
x（x+3）＝2
∴原式＝÷＝＝．
【点评】解决本题关键是把代数式化简变形成与已知条件有关的形式．
21．【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k．
（1）代入计算即可；
（2）构建方程求出k即可．
【解答】解：设＝＝＝k，b＝4k，
（1）＝＝；
（2）∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+6k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．
22．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t＝m+2，1×t＝2m，然后解方程组求出m和t即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣7×2m
＝（m﹣2）7≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1+t＝m+3①，1×t＝2m②，
②﹣①得﹣2＝m﹣2，
解得m＝1，
把m＝4代入②得t＝2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
23．【分析】根据售价每下降1元，其月销售量就增加200盏即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解．
【解答】解：根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，
解得x1＝36（舍），x2＝37．
当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；
当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，
解得x8＝3，x2＝6（舍）．
当x＝3时，40﹣3＝37；
当x＝4时，40﹣3＝36；
答：每个台灯的售价为37元．
【点评】本题考查了用一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．
24．【分析】（1）利用正常人数7除以35%即可得总人数，减去其它人数和即可得答案；
（2）用200×偏胖和肥胖和的百分比即可得答案；
（3）利用身体质量指数公式算出小张实际体重，再用小张身高算出正常体重的最大值，最后用小张实际体重减去小张正常体重的最大值即可得答．
【解答】解：（1）7÷35%＝20（人），
偏胖人数：20﹣2﹣8﹣3＝8（人），
条形图如下：
；
（2）200×＝110（人），
答：公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数110人；
（3）小张实际体重：27×（1.70）6＝78.03（kg），
小张正常体重的最大值：24×（1.70）2＝69.36（kg），
∴他的体重至少需要减掉：78.03﹣69.36≈4（kg），
故答案为：9．
【点评】本题考查条形统计图，扇形图，能结合俩图找到正常体重的人数和百分比是解题关键．
25．【分析】根据题意得出AHF∽△CBF，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：由题意，得：AH⊥HG．
∴BC∥HA．
∴△AHF∽△CBF．
∴＝．
同理，△EDG∽△AHG，
∴＝．
又∵BC＝DE＝3米，
∴＝．
∵BF＝5米，BD＝19米，
∴HF＝HB+BF＝HB+2．
∴HG＝HB+BD+DG＝HB+19+6＝HB+25．
∴＝，
解得：HB＝95．
∴＝，
解得：AH＝60．
答：该建筑物的高度AH为60米，HB长为95米．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
26．【分析】（1）根据相似三角形的判定作出图形即可；
（2）作出AB，BC的中点P，Q即可；
（3）根据相似三角形的判定作出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，点E即为所求；
（2）如图②，点P．
（3）如图③，点E为所求．
【点评】本题是相似形综合题，考查了作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
27．【分析】（1）解方程x2＝4得两根，即可得结果；
（2）①将点P坐标代入y＝﹣x即可得出．
②根据点P坐标特点，判断出点P在直线y＝x+1上，然后当OP⊥l于点P时，OP取得最小值．
【解答】解：（1）解方程x2＝4得：x2＝﹣2，x2＝4，
所以，点P（﹣2．
（2）解：∵x2﹣（7k+1）x+k2+k＝5，
∴（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，
∵x6≤x2，
∴x1＝k，x3＝k+1，
∴P（k，k+1）．
①∵点P在直线y＝﹣x上，
∴k+4＝﹣k，
∴，
②∵P（k，k+4），
∴点P在直线l：y＝x+1上，
∴当OP⊥l于点P时，OP取得最小值．
如图，设直线l：y＝x+1别交x轴、B，作OP垂直l于点P，
则A（﹣7，0），1）
∴OA＝OB＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∴∠AOP＝∠OPH＝45°，
∴OH＝HP，
∴﹣k＝k+1，
∴，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，知识点的熟练运用是解题关键．
28．【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，BQ交AP于T，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．
（2）利用探究的结论解决问题即可．
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．利用探究的结论求出DG，利用勾股定理求出AG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，根据EG2＝AE2+AG2，求出DE，EG，证明△AEG∽△JFP，推出＝＝，求出FJ，PJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，过点B作BQ∥GH，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴＝，
∴＝；
（2）解：如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝4，
∴BD＝＝＝2，
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝；
（3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∴＝，
∴DG＝2，
∴AG＝＝＝2，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，EG5＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x4＝（6﹣x）2+52，
∴x＝，
∴DE＝EG＝，AE＝6﹣＝，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝4，
∴EH＝＝＝，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝6，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JFP，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FJ＝，PJ＝，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝6﹣﹣2＝，
在Rt△BJP中，BP＝＝＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．年龄范围（岁）
人数（人）
90﹣91
25
92﹣93
■
94﹣95
■
96﹣97
11
98﹣99
10
100﹣101
m
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530