黑龙江省大庆市肇源县第五中学2023-—2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份黑龙江省大庆市肇源县第五中学2023-—2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源五中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（　　）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．将二次函数y＝x2+6x+2化成y＝（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣7 B．y＝（x﹣3）2+11
C．y＝（x+3）2﹣11 D．y＝（x+2）2+4
4．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）

A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且+|cosB﹣|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
6．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣2，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
7．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（　　）

A． B． C． D．
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（　　）

A．10 B．20 C．40 D．28
10．已知，二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）；⑤（a+c）2＜b2．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．计算：sin260°+cos60°﹣tan45°＝　 　．
12．函数y＝6（x+1）2﹣3的顶点坐标是　 　．
13．在下列二次函数中：①y＝4x2，②y＝3（x+1）2，③y＝﹣2x2+6，图象开口最小的是 　 　（填序号）．
14．已知α是锐角，tan（α﹣15°）＝，则sinα的值为 　 　．
15．若函数是二次函数，则m的值为 　 　．
16．将二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数的图象的表达式是 　 　．
17．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tan∠BAO＝2，则k的值为 　 　．

18．正方形ABCD中，点E在直线CD上一点，且DE：EC＝1：3，连接BE，则tan∠ABE的值为 　 　．
四、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）sin30°+﹣2﹣1；
（2）（﹣）0+4cos60°•sin45°﹣．
20．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
21．已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）抛物线经过原点时，求k的值．
（2）顶点在x轴上时，求k的值；
（3）顶点在y轴上时，求k的值；
22．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
23．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

24．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？（结果保留根号）

25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
26．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，
（1）．填空：∠ABC＝　 　°；∠BAC＝　 　°；
（2）求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

27．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（　　）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
【分析】根据题意可知∠A大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
解：在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即∠A大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据正弦三角函数的定义，设BC＝12x，则AB＝13x，AC＝5x，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
解：

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，
∴，
设BC＝12x，则AB＝13x，，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．将二次函数y＝x2+6x+2化成y＝（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣7 B．y＝（x﹣3）2+11
C．y＝（x+3）2﹣11 D．y＝（x+2）2+4
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
解：y＝x2+6x+2＝x2+6x+9﹣9+2＝（x+3）2﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且+|cosB﹣|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】根据非负数的性质可得sinA＝，cosB＝，求出∠A和∠B的度数，继而可判断△ABC的形状．
解：由题意得，sinA＝，cosB＝，
则∠A＝30°，∠B＝30°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据非负数的性质得出sinA和cosB的值，根据特殊角的三角函数值得出∠A和∠B的度数．
6．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣2，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x＝3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝3．
∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣2，y1），B（2，y2），C（6，y3），
而三点离对称轴x＝2的距离按由远到近为：A、C、B，
∴y2＜y3＜y1，
故选：A．
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
7．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAD即可．
解：法一：如图，连接AC，

在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．
解：∵y＝ax2+bx，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
当抛物线对称轴在y轴右侧时，﹣＞0，
∴a，b符号不同，
当a＞0，b＜0时，抛物线开口向上，直线上升，直线与y轴交点在x轴下方，
当a＜0，b＞0时，抛物线开口向下，直线下降，直线与y轴交点在x轴上方，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．
9．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（　　）

A．10 B．20 C．40 D．28
【分析】根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知EC和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
解：∵，
∴cosB＝．
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，
∴BE：AB＝（BC﹣EC）：BC＝3：5，
∴BC＝10，
则菱形的周长＝10×4＝40．
故选：C．
【点评】此题主要考查菱形的性质、解直角三角形等知识．找到EC和菱形边长的关系是解题的关键．
10．已知，二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）；⑤（a+c）2＜b2．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由x＝0时y＞0及抛物线的对称性可判断③，由x＝1时有取最大值可判断④，由x＝﹣1时y＜0及x＝1时y＞0可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，②正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵x＝0时，y＞0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③正确．
∵x＝1时y取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b），④正确．
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．计算：sin260°+cos60°﹣tan45°＝　　．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：原式＝（）2+﹣1
＝+﹣1
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．
12．函数y＝6（x+1）2﹣3的顶点坐标是　（﹣1，﹣3）　．
【分析】根据顶点式函数解析式写出顶点坐标即可．
解：二次函数y＝6（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
13．在下列二次函数中：①y＝4x2，②y＝3（x+1）2，③y＝﹣2x2+6，图象开口最小的是 　①　（填序号）．
【分析】根据|a|越大，开口越小，进行判断即可求解．
解：在下列二次函数中：①y＝4x2，②y＝3（x+1）2，③y＝﹣2x2+6，图象开口最小的是①y＝4x2，
故答案为：①．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握|a|越大，开口越小是解题的关键．
14．已知α是锐角，tan（α﹣15°）＝，则sinα的值为 　　．
【分析】利用特殊角的三角函数值得到α﹣15°＝30°，所以α＝45°，然后利用45°的正弦值求解．
解：∵α是锐角，tan（α﹣15°）＝，
∴α﹣15°＝30°，
∴α＝45°，
∴sinα＝sin45°＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
15．若函数是二次函数，则m的值为 　0　．
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
解：由题意，
解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
16．将二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数的图象的表达式是 　y＝2（x+1）2+4　．
【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．
解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝2x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
平移后的函数关系式是：y＝2（x+1）2+4，
故答案为：y＝2（x+1）2+4．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
17．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tan∠BAO＝2，则k的值为 　﹣8　．

【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝1，再根据正切的意义得到tan∠BAO＝＝2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝4，所以•|k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴＝（）2＝4，
∴S△OBC＝4S△AOD＝4，
∴•|k|＝4，
而k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质．
18．正方形ABCD中，点E在直线CD上一点，且DE：EC＝1：3，连接BE，则tan∠ABE的值为 　或　．
【分析】分两种情况讨论，由正方形的性质和锐角三角函数可求解．
解：如图，当点E在线段CD上时，

∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵DE：EC＝1：3，
∴设DE＝a，则EC＝3a，
∴DC＝4a＝BC，
∴tan∠ABE＝tan∠BEC＝＝，
当点E'在线段CD的延长线上时，
∵DE'：E'C＝1：3，
∴设DE'＝b，则E'C＝3b，
∴DC＝2b＝BC，
∴tan∠ABE'＝tan∠BE'C＝＝，
综上所述：tan∠ABE＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
四、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）sin30°+﹣2﹣1；
（2）（﹣）0+4cos60°•sin45°﹣．
【分析】（1）利用特殊锐角的三角函数值，算术平方根的定义，负整数指数幂进行计算即可；
（2）利用零指数幂，特殊锐角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可．
解：（1）原式＝+3﹣＝3；
（2）原式＝1+4××﹣
＝1+﹣（2﹣）
＝1+﹣2+
＝+﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1＝2，且m2﹣m≠0，
解得，m＝3或m＝﹣1；
当m＝3时，y＝6x2+9；
当m＝﹣1时，y＝2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y＝6x2+9或y＝2x2﹣4x+1．
【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
21．已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）抛物线经过原点时，求k的值．
（2）顶点在x轴上时，求k的值；
（3）顶点在y轴上时，求k的值；
【分析】（1）抛物线经过原点，则c＝0，由此求解；
（2）顶点在x轴上，则b2﹣4ac＝0，由此可以列出有关k的方程求解即可；
（3）顶点在y轴上，则b＝0，由此求解．
解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4经过原点，
∴3k+4＝0，
解得：k＝﹣；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
∴（﹣2k）2﹣4×1×（3k+4）＝0，
解得：k＝4或k＝﹣1；
（3）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4顶点在y轴上，
∴﹣2k＝0，
解得：k＝0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键．
22．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
解：（1）由题意得，∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°，
（2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°，
∴PB＝AB＝40（海里）
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△PBD中，
PD＝BPsin60°＝20（海里）
20＞20
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
24．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？（结果保留根号）

【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝60m，
∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30（m）
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；
（2）根据二次函数的性质求解．
解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），
所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5，
所以a＝，h＝1，k＝﹣5；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
26．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，
（1）．填空：∠ABC＝　45　°；∠BAC＝　75　°；
（2）求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【分析】（1）根据方向角的定义，结合角的和差关系可得答案．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，cos45°＝，解得BF＝，则AF＝BF＝海里，在Rt△ACF中，tan30°＝，解得CF＝，最后根据BC＝BF+CF可得出答案．
解：（1）如图，

由题意得，∠DBA＝∠EAB＝30°，∠EAC＝45°，∠DBC＝75°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝45°，
∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝75°．
故答案为：45；75．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，

由（1）得，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，
∴∠BAF＝45°，∠CAF＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△ABF中，AB＝60海里，
cos45°＝，
解得BF＝，
∴AF＝BF＝海里，
在Rt△ACF中，tan30°＝，
解得CF＝，
∴BC＝BF+CF＝（+）海里．
∴该船与B港口之间的距离即CB的长为（+）海里．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握方向角的定义以及锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
27．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）连接BC交对称轴于M，则此时，△MAC的周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，解方程组求得直线BC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，求得y＝2，于是得到结论．
解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中得，，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，
连接BC交对称轴于M，则此时，△MAC的周长最小，
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝2，
∴M点的坐标为（﹣1，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．