高中数学必修第一册第五章5.2.1第二课时《三角函数值的符号及公式一》导学案-2019人教A版

  第二课时　三角函数值的符号及公式一

教材知识探究

地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？

问题　如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？

提示　相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等.

1.三角函数值在各象限的符号

口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).

2.公式一　函数名称不变

(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示：

(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.

教材拓展补遗

[微判断]

1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)

2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×)

提示　sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角.

3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√)

4.sin 3>0，cos 4<0.(√)

5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×)

提示　α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.

[微训练]

1.sin 390°的值为(　　)

A.    B. 

C.   D.－

解析　sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝，故选C.

答案　C

2.下列4个实数中，最小的数是(　　)

A.sin 1    B.sin 2

C.sin 3   D.sin 4

解析　∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D.

答案　D

3.计算：sin(2π＋)＝________，cos＝________.

解析　sin(2π＋)＝sin＝，cos＝cos(6π＋)＝cos＝.

答案　　

[微思考]

1.三角函数值在各象限的符号由什么决定？

提示　三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.

2.根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？

提示　不一定，如sin α＝，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z).

题型一　三角函数值在各象限的符号

【例1】　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)

A.第一象限    B.第二象限 

C.第三象限   D.第四象限

解析　由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.

答案　D

(2)判断下列各式的符号：

①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4.

解　①因为191°是第三象限角；

所以tan 191°>0，cos 191°<0.

所以tan 191°－cos 191°>0.

②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.

所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.

所以sin 2·cos 3·tan 4<0.

规律方法　三角函数值符号的判断问题：

(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.

(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.

【训练1】　判断下列三角函数值的符号：

(1)sin 3，cos 4，tan 5；

(2)sin α·cos·tan(α为三角形的内角).

解　(1)∵<3<π<4<<5<2π，

∴3，4，5分别在第二、三、四象限，

∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.

(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<<，

∴sin α>0，cos>0，tan >0，

∴sin α·cos·tan>0.

题型二　公式一的应用

【例2】　求下列各式的值： 

(1)cos＋tan(－)；

(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.

解　(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)

＝cos＋tan＝＋1＝；

(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°

＝1＋1＋＝.

规律方法　利用公式一化简求值的步骤

(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.

【训练2】　求下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；

(2)sin＋cos·tan 4π.

解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.

(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.

题型三　三角函数值符号与公式一的综合应用

【例3】　确定下列函数值的符号.

(1)tan (－672°)；(2)cos ；(3)tan；

(4)sin 1 480°10′；(5)tan.

解　(1)tan(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan 48°>0.

(2)cos ＝cos＝cos ＝>0.

(3)tan ＝tan ＝tan ＝>0.

(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.

(5)tan ＝tan ＝tan <0.

规律方法　对于绝对值较大的角先利用公式一转化到[0，2π]范围内的角，然后再判断符号.

【训练3】　确定下列三角函数值的符号.

(1)tan 505°；(2)tan ；(3)cos 950°；

(4)sin.

解　(1)tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°<0.

(2)tan ＝tan ＝tan >0.

(3)cos 950°＝cos (950°－3×360°)＝cos (－130°)<0.

(4)sin＝sin＝sin >0.

一、素养落地

1.通过本节课的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.

2.把绝对值较大的角写成k·2π＋α的形式，然后利用公式一转化为较小的角，更有利于判断符号或求函数值.

3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

二、素养训练

1.sinπ等于(　　)

A.    B. 

C.－   D.－

解析　sinπ＝sin(4π＋)＝sin＝.

答案　A

2.cos 1 110°的值为(　　)

A.    B. 

C.－   D.－

解析　cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝.

答案　B

3.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.

解析　因为点P(tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限.

答案　二

4.求值：cos＋tan(－)＝________.

解析　原式＝cos(2π＋)＋tan(2π－)

＝cos＋tan＝＋＝.

答案　

5.若sin θ·tan θ>0，则θ为第________象限角.

解析　∵sin θ·tan θ>0，∴sin θ与tan θ同号，所以θ为第一或第四象限角.

答案　一或四

基础达标

一、选择题

1.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；

③tan(－10)；④cos π.

其中符号为负的有(　　)

A.1个    B.2个 

C.3个   D.4个

解析　①中，－100°为第三象限角，∴sin(－100°)<0；②cos (－220°)＝cos (－220°＋360°)＝cos 140°<0；③∵－10∈，∴－10为第二象限角，

∴tan (－10)<0；cos π＝－1<0，故选D.

答案　D

2.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

解析　由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角，故选D.

答案　D

3.2cos－3tan的值为(　　)

A.－    B.－1 

C.0   D.

解析　2cos－3tan＝2cos－3tan＝2cos－3tan＝2×－3×＝0.

答案　C

4.当α为第二象限角时，－的值是(　　)

A.1    B.0 

C.2   D.－2

解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴－＝＋＝2，故选C.

答案　C

5.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

解析　cos 2 019°＝cos (2 019°－6×360°)＝cos (－141°)<0，sin 2 019°＝sin(2 019°－6×360°)＝sin(－141°)<0.故选C.

答案　C

二、填空题

6.sin ＋cos －tan 的值为________.

解析　sin ＋cos －tan

＝sin＋cos －tan ＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝.

答案　

7.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第________象限角.

解析　∵tan α>0，∴α为第一、三象限角.

若α为第一象限角，则sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α>0；若α为第三象限角，则sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α<0.

答案　一

8.已知角A为第三象限角，且＝－sin ，则是第________象限角.

解析　∵A为第三象限角，∴为第二、四象限角.

又∵＝－sin ，∴sin <0，

∴为第四象限角.

答案　四

三、解答题

9.求下列各式的值：

(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；

(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.

解　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°＋0°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.

(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.

10.判断下列各式的符号：

(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan.

解　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，

∴sin 340°<0，cos 265°<0，

∴sin 340°cos 265°>0.

(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，

∵－＝－6π＋，

∴－是第一象限角.

∴sin 4<0，tan>0，

∴sin 4tan<0.

能力提升

11.已知＝－，且lg(cos α)有意义.

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值.

解　(1)∵＝－，

∴sin α<0，①

由lg(cos α)有意义，

∴cos α>0.②

由①②得，角α在第四象限.

(2)∵点M(，m)在单位圆上，

∴()2＋m2＝1，解得m＝±.

又α是第四象限角，

∴m<0，∴m＝－.

由三角函数定义知，sin α＝－.

12.若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).

(1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号.

解　(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.

(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，

则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；

当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，

则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin >0.

综上，当a>0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；

当a<0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.