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广东省深圳市龙华区万安学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份广东省深圳市龙华区万安学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷
（附答案详细解析）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2 B．a2+a+1＝（a+1）2
C．xy﹣x＝x（y﹣1） D．2x+y＝2（x+y）
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的邻边相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
12．（4分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ °．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
15．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 ．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝ 厘米．
17．（4分）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，18至21每小题6分，22题8分，共62分）
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
22．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
23．（6分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24．（6分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
25．（8分）已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【考点】不等式的性质．版权所有
【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
【考点】在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【分析】根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．
【解答】解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2 B．a2+a+1＝（a+1）2
C．xy﹣x＝x（y﹣1） D．2x+y＝2（x+y）
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x＝x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．版权所有
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得 x＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的邻边相等
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．版权所有
【分析】根据正方形的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定对各个选项分别判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C．∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴选项C符合题意；
D、∵正方形的四条边相等，
∴正方形的邻边相等，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定等知识；熟练掌握正方形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．版权所有
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有
【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠ADB＝∠AEC＝45°，由∠ADC和∠AEB不一定相等，则可得出①错误；先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对④进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对③进行判断．
【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，
∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∵∠ADC和∠AEB不一定相等，
∴∠BDC与∠BEC不确定相等；
故①错误，
∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，
故④正确；
过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，所以②正确．
∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，
而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴DC⊥BE，所以③正确；
故正确的结论为②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有
【分析】连接PA、AD，如图，利用基本作图可判断EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，由于PC+PD＝PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），所以PC+PD的最小值为AD，接着利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用勾股定理计算出AD即可．
【解答】解：连接PA、AD，如图，
由作法得EF垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴PC+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为AD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝＝8，
∴PC+PD的最小值为8．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
12．（4分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是 a＞1 ．
【考点】不等式的性质．版权所有
【分析】依据不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ± ．
【考点】分式方程的增根．版权所有
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）＝m2，
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得m＝±．
【点评】解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 x＜﹣3 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，即kx+2＜mx﹣4．
【解答】解：∵观察图象知当＜＞﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，
根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝ 4 厘米．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．版权所有
【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD＝24厘米，
∴OB+0A＝（AC+BD）＝12厘米，
∵△OAB的周长是20厘米，
∴AB＝20﹣12＝8厘米，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝4厘米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．
17．（4分）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△HDG，然后根据S△ADE＝S△ADH求解即可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF＝S△HGD＝3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE＝S△ADH＝10﹣3＝7，
∴S△ADF＝S△ADE﹣S△EDF＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，18至21每小题6分，22题8分，共62分）
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
【考点】解分式方程．版权所有
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【分析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：
解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜2．
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
在数轴上可表示为：．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．
【考点】分式的化简求值．版权所有
【分析】先把分式化简后，再整体代入法代入求出分式的值
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝
＝，
∵a2+4a+1＝0，
∴a2+4a＝﹣1，
∴原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．版权所有
【分析】（1）把A、B、C三点分别向左平移6个单位长度，即可得到三个顶点的对应点，然后顺次连接三点即可；
（2）连接AO并延长，然后截取OA2＝OA，则A2就是A的对应点，同样可以作出B、C的对应点，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）所作图形如图所示．
【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
【考点】平行四边形的判定；三角形的面积；三角形中位线定理．版权所有
【分析】（1）由E为AC的中点，可得AE＝CE，再由条件EF＝DE 可得四边形ADCF是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得△CEF的面积和△CED的面积都等于△AEF的面积为3，从而可得四边形BCFD的面积为12．
【解答】（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由是：∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）由（1）知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形，
∴S△CEF＝S△CED＝S△AEF＝3，
∴平行四边形BCFD的面积是12．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
23．（6分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
24．（6分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
【考点】三角形综合题．版权所有
【分析】（1）由“ASA”可证△ABM≌△FDM，可得AB＝DF，可得BE＝DE，可得∠EBD＝45°＝∠FCE，可得结论；
（2）由题意可得BE＝DE＝a，可得△BDE是等腰直角三角形，BD＝a，由等腰直角三角形的性质可求BM，ME的长；
（3）延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，推出BM、ME是两条中位线：BM＝DF，ME＝AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF＝AG，从而证明BM＝ME；
【解答】证明：（1）如图1，延长BM交EF于点D，
∵∠ABE＝∠ABC＝∠CEF＝90°，
∴AB∥EF
∴∠DFM＝∠BAM，且AM＝MF，∠AMB＝∠DMF
∴△ABM≌△FDM（ASA）
∴AB＝DF，BM＝DM
∵在等腰直角△ABC和等腰直角△CEF中，AB＝BC，EC＝EF，∠FCE＝45°
∴DF＝AB＝BC
∴EC﹣BC＝EF﹣DF
∴BE＝DE，且∠BED＝90°
∴∠EBD＝45°＝∠FCE
∴BM∥CF
（2）由（1）可知：AB＝BC＝DF，BM＝DM
∵CB＝a，CE＝2a，
∴BE＝DE＝a，且∠CEF＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形，BD＝a，且BM＝DM
∴BM＝EM＝BD＝a，
（3）如图2，延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°
∵∠ECB＝45°
∴∠BDC＝45°＝∠ECB＝∠CAB
∴BD＝BC，AC＝CD
∵AB＝BD，点M为AF中点，
∴BM＝DF．
同理可得：CF＝CG，ME＝AG．
在△ACG与△DCF中，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF＝AG，
∴BM＝ME．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷
（附答案详细解析）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2 B．a2+a+1＝（a+1）2
C．xy﹣x＝x（y﹣1） D．2x+y＝2（x+y）
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的邻边相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
12．（4分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ °．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
15．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 ．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝ 厘米．
17．（4分）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，18至21每小题6分，22题8分，共62分）
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
22．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
23．（6分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24．（6分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
25．（8分）已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【考点】不等式的性质．版权所有
【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
【考点】在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【分析】根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．
【解答】解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2 B．a2+a+1＝（a+1）2
C．xy﹣x＝x（y﹣1） D．2x+y＝2（x+y）
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x＝x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．版权所有
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得 x＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的邻边相等
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．版权所有
【分析】根据正方形的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定对各个选项分别判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C．∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴选项C符合题意；
D、∵正方形的四条边相等，
∴正方形的邻边相等，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定等知识；熟练掌握正方形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．版权所有
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有
【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠ADB＝∠AEC＝45°，由∠ADC和∠AEB不一定相等，则可得出①错误；先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对④进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对③进行判断．
【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，
∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∵∠ADC和∠AEB不一定相等，
∴∠BDC与∠BEC不确定相等；
故①错误，
∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，
故④正确；
过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，所以②正确．
∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，
而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴DC⊥BE，所以③正确；
故正确的结论为②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有
【分析】连接PA、AD，如图，利用基本作图可判断EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，由于PC+PD＝PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），所以PC+PD的最小值为AD，接着利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用勾股定理计算出AD即可．
【解答】解：连接PA、AD，如图，
由作法得EF垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴PC+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为AD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝＝8，
∴PC+PD的最小值为8．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
12．（4分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是 a＞1 ．
【考点】不等式的性质．版权所有
【分析】依据不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ± ．
【考点】分式方程的增根．版权所有
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）＝m2，
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得m＝±．
【点评】解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 x＜﹣3 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，即kx+2＜mx﹣4．
【解答】解：∵观察图象知当＜＞﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，
根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝ 4 厘米．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．版权所有
【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD＝24厘米，
∴OB+0A＝（AC+BD）＝12厘米，
∵△OAB的周长是20厘米，
∴AB＝20﹣12＝8厘米，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝4厘米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．
17．（4分）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△HDG，然后根据S△ADE＝S△ADH求解即可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF＝S△HGD＝3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE＝S△ADH＝10﹣3＝7，
∴S△ADF＝S△ADE﹣S△EDF＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，18至21每小题6分，22题8分，共62分）
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
【考点】解分式方程．版权所有
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【分析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：
解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜2．
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
在数轴上可表示为：．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．
【考点】分式的化简求值．版权所有
【分析】先把分式化简后，再整体代入法代入求出分式的值
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝
＝，
∵a2+4a+1＝0，
∴a2+4a＝﹣1，
∴原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．版权所有
【分析】（1）把A、B、C三点分别向左平移6个单位长度，即可得到三个顶点的对应点，然后顺次连接三点即可；
（2）连接AO并延长，然后截取OA2＝OA，则A2就是A的对应点，同样可以作出B、C的对应点，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）所作图形如图所示．
【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
【考点】平行四边形的判定；三角形的面积；三角形中位线定理．版权所有
【分析】（1）由E为AC的中点，可得AE＝CE，再由条件EF＝DE 可得四边形ADCF是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得△CEF的面积和△CED的面积都等于△AEF的面积为3，从而可得四边形BCFD的面积为12．
【解答】（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由是：∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）由（1）知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形，
∴S△CEF＝S△CED＝S△AEF＝3，
∴平行四边形BCFD的面积是12．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
23．（6分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
24．（6分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
【考点】三角形综合题．版权所有
【分析】（1）由“ASA”可证△ABM≌△FDM，可得AB＝DF，可得BE＝DE，可得∠EBD＝45°＝∠FCE，可得结论；
（2）由题意可得BE＝DE＝a，可得△BDE是等腰直角三角形，BD＝a，由等腰直角三角形的性质可求BM，ME的长；
（3）延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，推出BM、ME是两条中位线：BM＝DF，ME＝AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF＝AG，从而证明BM＝ME；
【解答】证明：（1）如图1，延长BM交EF于点D，
∵∠ABE＝∠ABC＝∠CEF＝90°，
∴AB∥EF
∴∠DFM＝∠BAM，且AM＝MF，∠AMB＝∠DMF
∴△ABM≌△FDM（ASA）
∴AB＝DF，BM＝DM
∵在等腰直角△ABC和等腰直角△CEF中，AB＝BC，EC＝EF，∠FCE＝45°
∴DF＝AB＝BC
∴EC﹣BC＝EF﹣DF
∴BE＝DE，且∠BED＝90°
∴∠EBD＝45°＝∠FCE
∴BM∥CF
（2）由（1）可知：AB＝BC＝DF，BM＝DM
∵CB＝a，CE＝2a，
∴BE＝DE＝a，且∠CEF＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形，BD＝a，且BM＝DM
∴BM＝EM＝BD＝a，
（3）如图2，延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°
∵∠ECB＝45°
∴∠BDC＝45°＝∠ECB＝∠CAB
∴BD＝BC，AC＝CD
∵AB＝BD，点M为AF中点，
∴BM＝DF．
同理可得：CF＝CG，ME＝AG．
在△ACG与△DCF中，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF＝AG，
∴BM＝ME．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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