高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式达标测试

人教A版（2019）必修第一册《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若，恒成立，则实数的取值范围是 

A.  B.  C.  D.

2.（5分）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是    

A.
B.
C.
D.

3.（5分）已知直线经过，两点，则直线的斜率是

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知不等式的解集是，则不等式的解是

A. 或 B. 或
C.  D.

5.（5分）已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知集合，则集合非空子集的个数为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）设，，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是

A. 或 B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围不可能是

A.  B.
C.  D.

10.（5分）已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的取值可以是

A.  B.  C.  D.

12.（5分）若集合，则实数的可能取值是

A.  B.  C.  D.

13.（5分）已知关于的不等式的解集为或，则

A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为或

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若当时不等式恒成立，则实数的取值范围是 ______ ．

15.（5分）若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是______．

16.（5分）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ______.

17.（5分）设正实数，，满足，，则的取值范围为 ______ .

18.（5分）已知，函数，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为______

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知函数 
当时，求关于的不等式的解集； 
若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20.（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点. 
求圆的方程 
已知点，过原点的直线与圆交于，两点，且若，求直线的斜率的取值范围.

21.（12分）已知函数．  
Ⅰ当时，用定义法证明函数在上是减函数；  
Ⅱ已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围．

22.（12分）已知不等式的解集为，或

求实数，的值；

解关于的不等式

23.（12分）设不等式的解集为． 
Ⅰ求集合； 
Ⅱ设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】 
先构造函数，，将问题等价转化为函数在区间上恒有，又函数为增函数，故可求答案． 
 
解：构造函数，易知，在区间上，函数，均是递增函数， 
函数在区间上是递增函数． 
由题设可知，函数在区间上恒有 
必有即有整理就是， 
实数的取值范围是 
故选
 

2.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键，属于中档题. 
将不等式有解转化为即可，利用的代换结合基本不等式进行求解即可． 
 
解：若不等式有解，即即可， 
，， 
则， 
当且仅当，即，即时取等号，此时，， 
即， 
则由得，即， 
得或， 
即实数的取值范围是 
故选
 

3.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查直线的斜率问题，属于基础题. 
根据直线斜率公式直接求解即可. 
解： 由题意可得直线的斜率 

 

4.【答案】C;

【解析】解：不等式的解集是， 
的解是， 
，， 
， 
不等式，即 
 
不等式的解集是 
故选 
根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集． 
此题主要考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解答该题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．
 

5.【答案】A;

【解析】【解析】 
此题主要考查交集及其运算，一元二次不等式的求法，属于基础题． 
可先求出集合，，然后进行交集的运算即可． 
 
解：，， 
 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查集合的非空子集的个数的求法，是基础题． 
先求出集合，由此能求出集合非空子集的个数． 
 
解：集合 
， 
集合非空子集的个数为：． 
故选：．
 

7.【答案】B;

【解析】 
这道题主要考查了集合的基本运算，子集补集的概念，属于容易题． 
此题只要求出的解集，画数轴即可求出． 
 
解：，，如图所示， 
 
可知， 
故选：． 
 
 

 

8.【答案】C;

【解析】解：由得，  
整理得：，即恒成立．  
①当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意；  
②当时，，因为在上的最小值为，  
所以，即，解得或舍去． 
综合可得：． 
故选C． 
显然，分当与当两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案．  
这道题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．
 

9.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查不等式恒成立问题及二次不等式的求解，属于基础题. 
求出，从而得关于的不等式，即可求解. 
 
解：令，由题意可知， 
而，则， 
即， 
解得或 
故选
 

10.【答案】BCD;

【解析】解：已知，且，是方程的两不等实根， 
，，， 
， 
，当且仅当时，等号成立，故D正确， 
故选：． 
由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论． 
这道题主要考查韦达定理，基本不等式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示； 
 
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则 
，即， 
解得，又， 
所以，， 
故选： 
设，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于的不等式组，从而求出的值． 
此题主要考查了一元二次不等式，以及根的存在性和根的个数判断问题，是中档题．
 

12.【答案】BD;

【解析】【解析】 
因为集合， 
所以恒成立，即，即 

 

13.【答案】AB;

【解析】解：由已知可得，是方程的两根， 
则由韦达定理可得：，且，解得，，所以正确， 
选项：化简为，解得，正确， 
选项：，错误， 
选项：化简为：，解得，错误， 
故选： 
由已知可得，是方程的两根，则由韦达定理可得：，且，解得，，然后对应各个选项逐个判断即可． 
此题主要考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

14.【答案】;

【解析】解：不等式恒成立， 
即为， 
令，则， 
即有， 
当且仅当，即，取得最小值， 
则，解得． 
故答案为： 
由题意可得恒成立，运用换元法和基本不等式，求得最小值，解不等式即可得到的范围． 
该题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】;

【解析】解：由，得  
设，  
由题意知，当时，  
函数的图象在函数的图象的下方，  
 
如图，可知，  
即，  
解得：． 
实数的取值范围是： 
故答案为：． 
画出函数，的图象，得到关于的不等式组，解出即可． 
该题考查了数形结合思想，考查转化思想以及对数函数、二次函数的性质，是一道中档题．
 

16.【答案】;

【解析】解：由题意，是定义在上的偶函数， 
因为对任意的，不等式恒成立， 
则对任意的，不等式恒成立， 
当时，， 
则对任意的恒成立， 
函数在上单调递增， 
所以对任意的恒成立， 
两边同平方，整理可得对任意的恒成立， 
令， 
所以对任意的恒成立， 
则，即， 
解得， 
故实数的取值范围为 
故答案为： 
利用偶函数的性质，将问题转化为对任意的，不等式恒成立，由已知函数解析式化简结合函数的单调性，将问题转化为对任意的恒成立，两边同平方，转化为对任意的恒成立，构造函数，由二次函数的性质，列出不等式组，求解即可． 
此题主要考查了函数恒成立问题的求解，函数奇偶性与单调性的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
 

17.【答案】;

【解析】 
此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出的取值范围. 
把，看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式及韦达定理，得到的取值范围． 
 
解：， 
① 
， 
， 
即，② 
由①②及韦达定理知：，是一元二次方程的两实根， 
则判别式，且，， 
化简判别式得，所以，且，， 
所以 
故答案为 
 

 

18.【答案】（-∞，]∪[，+∞）;

【解析】解：，． 
恒成立， 
或恒成立． 
当时，或恒成立， 
只需或． 
函数，， 
当时，；当时，， 
或，或， 
又，或； 
当时， 
， 
时，恒成立，． 
综上，的取值范围为． 
故答案为：． 
根据恒成立，可得或恒成立，然后分和两种情况求出的范围． 
该题考查了函数恒成立问题和二次函数求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
 

19.【答案】解：（Ⅰ）令t=2x，则t＞0， 
当m=0时，由f（x）＞-2得t-＞-2，解得-1＜t＜2， 
又因为t＞0，所以0＜t＜2，即2x＜2，得x＜1， 
所以不等式f（x）＞-2的解集为（-∞，1）； 
（Ⅱ）令t=2x，当x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则2x+m-4x＞2-m⋅2x对任意x∈[0，1]恒成立， 
等价于2m⋅t-＞2-mt对任意t∈[1，2]恒成立， 
所以（2m+m）t＞2+，即， 
又在上为减函数，在上为增函数，g（1）=3，g（2）=3， 
所以g（t）在[1，2]上的最大值为3，所以2m+m＞3， 
因为函数y=2x+x为增函数，且当x=1时，y=3， 
所以m的取值范围为（1，+∞）．;

【解析】 
利用换元法，解一元二次不等式，可得答案； 
换元，将不等式变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求得答案． 
此题主要考查函数与不等式的综合问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，则    \matrixLatexcasesFa+b−4=0,a-2)^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-2)^{2},\end{cases}a=2b=2.Cr=\sqrt{(2-2)^{2}+2^{2}}=2C(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4(x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0).(2)l:y=kxA(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}).\begin{cases}y=kx,\\x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0,\end{cases}(k^{2}+1)x^{2}-4(k+1)x+4=0x_{1}+x_{2}=\frac{4(k+1)}{k^{2}+1}x_{1}x_{2}=\frac{4}{k^{2}+1}ABly_{1}=kx_{1}y_{2}=kx_{2}y_{1}y_{2}=\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}y_{1}+y_{2}=\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}.PA\bot PBk_{PA}\cdot k_{PB}=-1\frac{y_{1}-m}{x_{1}}\cdot\frac{y_{2}-m}{x_{2}}=-1x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-m(y_{1}+y_{2})+m^{2}=0\frac{4}{k^{2}+1}+\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}-\frac{4mk(k+1)}{k^{2}+1}+m^{2}=0\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}=m+\frac{4}{m}.m\in(1,3)m+\frac{4}{m}\in[4,5),4\leqslant\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}< 5k\geqslant 1.$;

【解析】此题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
 

21.【答案】解：（1）f（x）=-2x在（0，+∞）上为减函数． 
证明：设0＜＜，f（）-f（）=-2-（-2）=-2（-）=（-）[+2]， 
由0＜＜，可得-＞0，+2＞0，即f（）-f（）＞0，即有f（）＞f（）， 
所以f（x）=-2x在（0，+∞）上为减函数； 
（2）设g（x）=a+bx+c（a≠0），则g（1）=a+b+c=-3， 
由g（2x）=4g（x）+4x+6，可得4a+2bx+c=4a+（4b+4）x+4c+6， 
则2b=4b+4，c=4c+6， 
解得a=1，b=c=-2， 
即有g（x）=-2x-2， 
不等式g（x）＞f（x）恒成立，即为-2x-2＞-2x，即m＜-2对x≠0恒成立， 
由y=-2=（-1）2-1，当x=±1时，y=-2取得最小值-1， 
可得m＜-1． 
即m的取值范围是（-∞，-1）．;

【解析】 
在上为减函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤； 
设，由题意可得，，的方程，解得，，，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围． 
此题主要考查函数的单调性的判断和证明，以及二次函数的解析式的求法、不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：不等式的解集为或， 
所以对应方程的解是和， 
由根与系数的关系知，， 
解得，； 
由知，不等式， 
可化为； 
即， 
当时，不等式化为，解得； 
当时，不等式化为，解得； 
当时，不等式化为， 
若，则，解不等式得或； 
若，则，解不等式得； 
若，则，解不等式得或； 
综上知，时，不等式的解集为； 
时，不等式的解集为； 
时，不等式的解集为； 
时，不等式的解集为； 
时，不等式的解集为;

【解析】 
根据不等式的解集与对应方程的解，利用根与系数的关系求出、的值； 
由知、的值，不等式化为，再讨论的取值范围，从而求出不等式的解集． 
此题主要考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
 

23.【答案】解：Ⅰ原不等式即为， 
所以， 
所以不等式的解集 
Ⅱ原不等式等价于， 
若，则，要，只需； 
若，则，要，只需； 
若，则，符合， 
综上所述，的取值范围为．;

【解析】该题考查一元二次不等式的解法、集合中的参数取值问题，集合包含关系的运用，求解本题关键是理解包含关系的意义． 
Ⅰ求出不等式的解集，确定出集合； 
Ⅱ若，求实数的取值范围，要注意是空集的情况，故此题分为两类，是空集时和不是空集时，比较两个集合的端点即可．