高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式练习题

2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》

分层练习

考查题型一  不含参一元二次不等式的解法

1．不等式的解集为（    ）

A．      B．

C．      D．

【详解】由，得，即，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A

（多选）2．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．         B．

C．不等式的解集为

D．不等式的解集为

【详解】由于不等式的解集为，

所以和是的两个实数根，

所以，故，

，故AB正确，

对于C,不等式为，故，故C错误，

对于D, 不等式可变形为，

解得，故D正确，

故选：ABD

3．解不等式.

【详解】因为，所以，即，

所以，解得或，

所以原不等式的解集为或.

考查题型二  含参一元二次不等式的解法

1．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【详解】由不等式的解集为，

知是方程的两实数根，

由根与系数的关系，得，解得：，

所以不等式可化为，解得：或，

故不等式的解集为：.

故选：D.

2．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【详解】原不等式可以转化为：，

当时，可知，对应的方程的两根为1，，

所以不等式的解集为：.

故选：A.

考查题型三  三个“二次”之间对应关系的应用

1．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．     D．  

【详解】因为的解集为，

所以方程的两根分别为和1，且，

则变形可得

故函数的图象开口向下，

且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.

故选：A

（多选）2．已知一元二次方程的两个根为，且，那么满足的的取值有（    ）

A． B． C． D．

【详解】∵一元二次方程的两个根为且，

∴由得：或.

故选：AB

 3．关于的不等式的解集为，则的解集为      .

【详解】不等式的解集为，则，且，即，

因此化为：，即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

考查题型四  一元二次不等式的实际应用

1．某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为，

要保证税金收入每年不少于万元，可得且，

解得，即实数的取值范围为.

故选：C.

2．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

【详解】设花卉带的宽度为米，则草坪的长和宽分别是米，米，

则，所以，解得

故花卉带宽度的取值范围为（单位：米）．

考查题型五   不等式恒成立问题

1．若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【详解】由题意得关于的不等式对任意的恒成立，

故恒成立，即，

故的最大值为，

故选：C

2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．或

【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，

故，解得.

故选：C.

3．已知函数．

(1)若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；

(2)求关于的不等式的解集．

【详解】（1）解：因为对任意的都成立，

当时，则有，合乎题意；

当时，即对任意的都成立，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）解：由可得，

即，

当时，解得，则原不等式解集为；

当时，即，可得，则原不等式解集为；

当时，即，可得，则原不等式的解集为.

综上所述：当时，原不等式解集为；

当时，原不等式解集为；

当时，原不等式解集为.

（多选）1．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）

A．  B．

C． D．

【详解】因为不等式的解集为，

故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；

易知2和是方程的两个根，则有，，

又，故，，故BC正确；

因为，所以，故D正确．

故选：BCD

2．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【详解】  

如图，过作于，交于，易知，即，

则，．所以矩形花园的面积，

解得．

故选:C．

3．若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是        .

【详解】的解集是，所以方程的解是和，

且，由根与系数的关系可得：，，

解得，，

所以不等式变形为，

即，其解集是或．

故答案为：或

4.设

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，

等价于对于一切实数恒成立.

所以.

（2）不等式等价于.

当即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当即时，不等式可化为，此时.

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.