精品解析：广东省深圳市龙岗区木棉湾实验学校2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷

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2022−2023学年广东省深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题）
1. 下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 若分式方程有增根，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于的方程即可得解．
【详解】解：，
去分母，得，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入，并解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3. 已知不等式组，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
则不等式组的解集为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
4. 把分式中a、b都扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意进行变形，发现实质上是分子、分母同时扩大2倍，根据分式的基本性质即可判断．
【详解】根据题意，得
把分式中的a、b都扩大2倍，得，
根据分式的基本性质，则分式的值不变．
故选D．
【点睛】此题考查了分式的基本性质．
5. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，
∴，
解得：-3＜x＜4，
在数轴上表示为：，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
6. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到图形，若点恰好落在上，且的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°、OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
7. 如图，某公园的三个出口、、构成.想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等.则公共厕所应该在( )

A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三个角的角平分线的交点
C. 三角形三条高的交点
D. 三角形三条中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答．
【详解】解：∵公共厕所到出口A、B的距离相等，
∴公共厕所到在线段AB的垂直平分线上，
同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点，
故选A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AB的长是（　　）

A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出∠A＝30°，再由线段垂直平分线的性质得到∠A＝∠EBA＝30°，则∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，即可得到DE＝CE＝2，再利用含30度角的直接三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，ED⊥AB，
∴∠A＝∠EBA＝30°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，
又∵BC⊥AC，ED⊥AB，
∴DE＝CE＝2．
在直角三角形ADE中，DE＝2，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝4，
∴AD＝＝，
∴AB＝2AD＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
9. 今年月，某种口罩单价上涨元，同样花费元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买个，设涨价后每个口罩元，可列出的正确的方程是( )．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“涨价前可以比涨价后多买个”列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得
故选：B．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
10. 如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（　　）

A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．

【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、填空题（共5小题）
11. 与3的和不小于6，用不等式表示为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此即可求解．
【详解】x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，正确选择不等号．
12. 已知a2＋a－1＝0，则a3＋2a2＋2021＝________．
【答案】2022
【解析】
【分析】将已知条件变形为a2＝1－a、a2＋a＝1，然后将代数式a3＋2a2＋2021进一步变形进行求解．
【详解】解：∵a2＋a－1＝0，
∴a2＝1－a、a2＋a＝1，
∴a3＋2a2＋2021，
＝a•a2＋2（1－a）＋2021，
＝a（1－a）＋2－2a＋2021，
＝a－a2－2a＋2023，
＝－a2－a＋2023，
＝－（a2＋a）＋2023，
＝－1＋2023＝2022．
故答案为：2022
【点睛】本题考查了求代数式的值,是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分 解因式的运用，提公因式法的运用．
13. 如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离是________ cm

【答案】4
【解析】
【分析】BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距离=PE=4cm．
故答案为：4
【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为_______．

【答案】
【解析】
【分析】首先求出P点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】把代入可得：
解得n=2
∴
∴一次函数与的图象相交于点
∴关于的不等式的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，关键是求出P点坐标．
15. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，点D到BC的距离为4，则△DFC的面积为 _____．

【答案】12
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠EDB=∠CBD，可得，再利用三角形的面积计算可求解．
【详解】解：∵DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴，
∵DF=6，点D到BC的距离为4，
∴S△DFC=×6×4=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的面积，证明是解题的关键．
三、解答题（共7小题）
16. 解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】﹣2，﹣1，0，1，2；
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；再确定解集中的所有整数解即可．
【详解】解：解不等式（1），得
解不等式（2），得x≤2
所以不等式组的解集：－3＜x≤2
它的整数解为：－2，－1，0，1，2
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点坐标　 　．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就旋转中心M．
【详解】（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；

（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握旋转及平移的性质及网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．

（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
20. 新冠疫情发生后，全社会积极参与防疫工作某市安排甲、乙两个大型工厂生产一批口罩，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）为尽快完成100万只口罩的生产任务，甲乙合作生产，5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天才能完成任务？
【答案】（1）甲厂每天生产6万只口罩，乙厂每天生产4万只罩；（2）13天
【解析】
【分析】（1）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙厂还需要工作天才能完成100万只口罩的生产任务，由题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设乙厂每天生产万只口罩，则甲厂每天生产万只口罩，根据题意，得

解这个方程，得
经检验是原方程的解，
∴（万只）
答：甲厂每天生产6万只口罩，乙厂每天生产4万只罩．
（2）设乙厂还需要工作天才能完成任务，根据题意，得


∵是整数
∴
答：乙厂至少还需要工作13天才能完成任务．
【点睛】本题考查了分式方程应用以及一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
21. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发4秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．
【答案】（1）PQ=cm
（2）11秒 （3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当△PQB第一次形成等腰三角形时BP= BQ，由BQ = 2t，BP=16-t，列式求得t即可； ．
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ= BQ时， 则∠C=∠CBQ可证明∠A=∠ABQ，则BQ= AQ，CQ = AQ，从而求得t；②当CQ= BC时(如图2)，则BC+CQ，易求得t；③当BC = BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【小问1详解】
如图所示：

BQ=4×2=8cm，
BP=AB-AP=16- 1×4=12cm，
∵∠B= 90°
∴PQ=cm；
【小问2详解】
当△PQB第一次形成等腰三角形时，BQ =BP，
∵BQ = 2t，BP= 16-t，
∴2t= 16-t，
解得：t=；
【小问3详解】
∵∠B = 90°，AB =16cm，BC = 12cm，
∴ACcm，
①当CQ= BQ时，如图

则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC= 90°，
∴∠CBQ +∠ABQ = 90°，
∵∠A+∠C= 90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ= AQ，
∴CQ=AQ=10cm，
∴BC+ CQ = 22cm，
∴t=22 ÷2= 11秒；
②当CQ= BC时，如图2，

则BC+CQ=24cm，
∴t=24÷2= 12秒；
③当BC = BQ时，如图3， 过B点作BE⊥AC于点E，

则BE=cm，
∴CE=cm，
∴CQ= 2CE =14.4cm，
∴BC+ CQ = 26.4cm，
∴t=26.4÷2= 13.2秒；
综上可知，当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积计算以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
22. 如图：已知、，且a、b满足．

（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）是定值，定值为
【解析】
【分析】（１）根据非负数的性质得到，，解出a、b，即可得到答案；
（2）延长DB到F使BF＝AC，连接OF，易得，从而得到，易得，即可得到证明；
（3）是定值，作于，在上截取，易得，根据等腰直角三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
解：，
，，
，，
、，
，，
的面积；
【小问2详解】
证明：延长DB到F使BF＝AC，连接OF，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
，，
，
，
在与中，，
，
，，
故；
【小问3详解】
是定值，作于，在上截取，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，即：，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．