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    2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级(下)期末数学试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级(下)期末数学试卷
    一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 下列标志中,既是中心对称图形,也是轴对称图形的是(    )
    A. B. C. D.
    2. 若分式x−1x+1的值为0,则x=(    )
    A. −1 B. 1 C. ±1 D. 0
    3. 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的(    )
    A. x2+x−2=(x+2)(x−1) B. 2(x−3y)=2x−6y
    C. (x+2)2=x2+4x+4 D. ax+bx+c=x(a+b)+c
    4. 如图,足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成,其中黑皮的正五边形有12块,白皮的正六边形有20块.如图,足球图片中的一块黑色皮块的内角和是(    )


    A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
    5. 由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小颖同学设计一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①,衣架杆OA=OB=18cm(O为衣架的固定点);如图②,若衣架收拢时,∠AOB=60°,则此时A,B两点之间的距离是(    )

    A. 9cm B. 9 3cm C. 18cm D. 18 3cm
    6. 如图,数轴上的点A与点B所表示的数分别为a,b,则下列不等式成立的是(    )
    A. −a<−b B. a+3>b+3 C. a2>b2 D. a−c 7. 下列命题中,假命题是(    )
    A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
    B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
    C. 两组对角相等的四边形是平行四边形
    D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    8. 为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念,开展荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程正确的是(    )
    A. 90x−90(1+25%)x=30 B. 90(1+25%)x−90x=30
    C. 90x−9025%x=30 D. 90(1−25%)x−90x=30
    9. 如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,请观察尺规作图的痕迹(D,E,F分别是连线与△ABC边的交点),则∠DAE的度数是(    )
    A. 25°
    B. 30°
    C. 35°
    D. 40°
    10. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,D是BC边上一点,将△ACD沿AD折叠得△AED,连接BE,若四边形ABED为平行四边形,则AE的值是(    )
    A. 3
    B. 52
    C. 2
    D. 5


    二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
    11. 分解因式:a3−9a=          .
    12. 如图,将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在水平面上,然后把皮筋中点C竖直向上拉升5cm到点D,如果皮筋自然长度为24cm(即AB=24cm),则此时AD= ______ cm.

    13. 若关于x的方程m−1x−1−xx−1=0有增根,则m的值是______.
    14. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠C=25°,将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE且点A的对应点D落在CA延长线上,则∠CBE= ______ .


    15. 如图,在△ABC中,E是AC的中点,D在AB上且AD=2BD,连接BE,CD相交于点F,则S△BCFS四边形ADFE= ______ .


    三、解答题(本大题共7小题,共55.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16. (本小题6.0分)
    解不等式组x−2≤2x①x−1<1+x3②,并把解集在数轴上表示出来.


    17. (本小题7.0分)
    先化简,再求值:(xx−1−1)÷x2−xx2−2x+1,再从不等式−1≤x≤1的整数解中选择一个适当的数代入求值.
    18. (本小题6.0分)
    如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,E为AC上一点,且DE//BC.
    (1)求证:DE=CE;
    (2)若∠A=90°,AD=4,BC=12,求△BCD的面积.

    19. (本小题8.0分)
    如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(−1,4),B(−4,2),C(−3,5),(每个方格的边长均为1个单位长度).
    (1)若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称,请画出△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
    (3)将△ABC进行平移得到△A3B3C3,若A3的坐标为(4,2),则B3坐标为______ ;
    (4)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点,则点D的坐标是______ .

    20. (本小题8.0分)
    某超市用1200元购进一批甲玩具,用500元购进一批乙玩具,所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍,已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元.
    (1)求甲、乙玩具的进货单价各是多少元?
    (2)玩具售完后,超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变),购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件,求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件?
    21. (本小题10.0分)
    数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后,尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题.他们确定以函数y=|x+1|为研究对象,通过作图,观察图象,归纳性质等探究过程,进一步理解一元一次不等式与函数的关系.
    请根据以下探究过程,回答问题.
    (1)作出函数y=|x+1|的图象.
    ①列表:
    x

    −4
    −3
    −2
    −1
    0
    1
    2

    y

    3
    a
    1
    0
    1
    2
    3

    其中,表格中a的值为______ ;
    ②描点,连线:
    根据表格的数据,请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
    (2)观察函数y=|x+1|的图象,回答下列问题:
    ①当x= ______ 时,函数y=|x+1|有最小值,最小值为______ ;
    ②当______ 时(填自变量x的取值范围),y随x的增大而增大;
    (3)已知直线y=−13x+1,请结合图象,直接写出不等式−13x+1>|x+1|的解集是______ ;
    (4)若直线y=kx+12与y=|x+1|有2个交点,则k的取值范围是______ .

    22. (本小题10.0分)
    数学活动课上,老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动.他们准备若干个的特殊直角三角形卡片,其中在三角形卡片ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=30°,AD=2.
    (1)如图1,将一个与△ABD全等的△CDB沿较长的直角边重合,拼成一个四边形ABCD.
    ①求证:四边形ABCD是平行四边形;
    ②连接AC交BD于点O,求△AOD的面积;
    (2)在(1)的条件下,将一条直角边与AC重合的等腰直角三角形卡片ACE(∠ACE=90°)与四边形ABCD拼成如图2所示的平面图形,请求出点E到AB的距离;
    (3)一个斜边长度与AD相等的30°三角板ADE(∠E=90°,∠ADE=30°)如图3摆放,将△ADE绕点A顺时针旋转,旋转角α(0°<α<180°)△ADE旋转后的三角形记为△AD′E′.在旋转过程中,直线D′E′所在的直线与直线BD,AB交于P,Q两点,当△BPQ为等腰三角形时,请直接写出E′Q的长.


    答案和解析

    1.【答案】A 
    【解析】解:A、原图既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;
    B、原图既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    C、原图是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
    D、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    故选:A.
    根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
    本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.

    2.【答案】B 
    【解析】解:由分式的值为零的条件得x−1=0,x+1≠0,解得,x=1.
    故选:B.
    根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
    此题考查分式的值为零的问题,若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.

    3.【答案】A 
    【解析】解:A.x2+x−2=(x+2)(x−1),从左边到右边的变形属于因式分解,故本选项符合题意;
    B.2(x−3y)=2x−6y,从左边到右边的变形是整式乘法计算,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    C.(x+2)2=x2+4x+4,从左边到右边的变形是整式乘法计算,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    D.ax+bx+c=x(a+b)+c,等式的右边不是几个整式的积的形式,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    故选:A.
    根据因式分解的定义判断即可.
    本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.

    4.【答案】C 
    【解析】解:∵黑皮是正五边形,
    ∴一块黑色皮块的内角和=(5−2)×180°=540°.
    故选:C.
    根据多边形的内角和公式可解答.
    本题考查了多边形的内角和公式,确定黑色皮块是正五边形是解本题的关键.

    5.【答案】C 
    【解析】解:连接AB,
    ∵OA=OB,∠AOB=60°,
    ∴△AOB是等边三角形,
    ∴AB=OA=OB=18cm,
    故选:C.
    根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
    此题考查等边三角形的应用,掌握有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形是解决问题的关键.

    6.【答案】D 
    【解析】解:A、∵a ∴−a>−b,
    故A不符合题意;
    B、∵a ∴a+3 故B不符合题意;
    C、∵a ∴a2 故C不符合题意;
    D、∵a ∴a−c 故D符合题意;
    故选:D.
    根据不等式的性质进行计算,逐一判断即可解答.
    本题考查了不等式的性质,数轴,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

    7.【答案】B 
    【解析】解:A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;
    B、一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是平行四边形,也可能是等腰梯形,故原命题错误,符合题意;
    C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;
    D、对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,不符合题意,
    故选:B.
    利用平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.
    本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解平行四边形的判定定理,难度不大.

    8.【答案】A 
    【解析】解:∵原计划每天绿化的面积为x万平方米,且实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,
    ∴实际工作时每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米.
    根据题意得:90x−90(1+25%)x=30.
    故选:A.
    根据原计划与实际工作工作效率间的关系,可得出实际工作时每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合实际比原计划提前30天完成了任务,即可得出关于x的分式方程,此题得解.
    本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

    9.【答案】C 
    【解析】解:由作图得:DF垂直平分AB,AE平分∠DAC,
    ∴AD=BD,∠DAE=12∠DAC,
    ∴∠BAD=∠B=30°,
    ∵∠B=30°,∠C=50°,
    ∴∠BAC=100°,
    ∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=70°,
    ∴∠DAE=12∠DAC=35°,
    故选:C.
    由作图得:DF垂直平分AB,AE平分∠DAC,再根据线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和求解.
    本题考查了复杂作图,掌握线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键.

    10.【答案】D 
    【解析】解:如图,设AE,BD交于点O,
    ∵四边形ABED为平行四边形,
    ∴OA=OE,OB=OD,AB=DE=1,
    设OA=OE=x,OB=OD=y,
    ∵∠ABO=90°,AB=1,
    ∴AO2+OB2=AB2,
    ∴x2+y2=1,
    由翻折可知:DC=DE=1,AC=AE=2OA=2x,
    ∴BC=BD+DC=2OB+DC=2y+1,
    ∵∠ABC=90°,
    ∴AB2+BC2=AC2,
    ∴12+(2y+1)2=(2x)2,
    整理得x2−y2=y+12,
    ∴y+12=1,
    ∴y=12,
    ∴x= 52(负值已经舍去),
    ∴AE=2x= 5.
    故选:D.
    设AE,BD交于点O,设OA=OE=x,OB=OD=y,根据勾股定理列出方程求解即可.
    本题考查了翻折变换,平行四边形的性质,勾股定理,解决本题的关键是掌握翻折的性质.

    11.【答案】a(a+3)(a−3) 
    【解析】
    【分析】
    本题考查提公因式法与公式法的综合运用,一个多项式有公因式首先提取公因式,再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,要分解到不能分解为止.先提出公因式a,再运用平方差公式分解因式即可.
    【解答】
    解:a3−9a=a(a2−32)=a(a+3)(a−3).  
    12.【答案】13 
    【解析】解:∵中点C竖直向上拉升5cm至D点,
    ∴CD是AB的垂直平分线,
    ∴∠ACD=90°,AC=BC=12AB=12cm,AD=BD,
    在Rt△ACD中,由勾股定理得:
    AD= AC2+CD2= 122+52=13(cm),
    故答案为:13.
    根据题意可得CD是AB的垂直平分线,然后利用勾股定理求出AD长.
    此题主要考查了勾股定理的应用,解题的关键是从实际问题抽象出直角三角形,并熟练掌握勾股定理.

    13.【答案】2 
    【解析】解:方程两边都乘(x−1),得
    m−1−x=0,
    ∵方程有增根,
    ∴最简公分母x−1=0,即增根是x=1,
    把x=1代入整式方程,得m=2.
    故答案为:2.
    增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x−1=0,得到x=1,然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值.
    增根问题可按如下步骤进行:
    ①让最简公分母为0确定增根;
    ②化分式方程为整式方程;
    ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

    14.【答案】80° 
    【解析】解:∵AB=AC,
    ∴∠C=∠ABC=25°,
    ∴∠BAD=50°,
    ∵将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE,
    ∴AB=BD,∠ABC=∠DBE=25°,∠CBE=∠DBE,
    ∴∠BDA=∠BAD=50°,
    ∴∠DBA=80°,
    ∴∠CBE=∠DBE=80°,
    故答案为:80°.
    由等腰三角形的性质可求∠C=∠ABC=25°,由旋转的性质可得AB=BD,∠ABC=∠DBE=25°,∠CBE=∠DBE,由等腰三角形的性质可求∠BDA=∠BAD=50°,即可求解.
    本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.

    15.【答案】35 
    【解析】解:取CD中点G,则EG是△ACD中位线,

    ∴EG=12AD,EG//AD,
    ∵AD=2BD,
    ∴BD=12AD=EG,
    ∵∠DFB=∠EFG,∠BDF=∠EGF
    ∴△BDF≌△EGF(AAS),
    ∴DF=FG=12CG,BF=EF,
    ∴CF=3DF,
    设S△BDF=1,
    则S△BCF=S△CEF=S△AEF=3,S△ADF=2,
    ∴S△BCF S四边形ADFE=35,
    故答案为:35.
    取CD中点G可证得△BDF≌△EGF,进一步推出CF=3DF,即可得出结论.
    本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点,结合条件进行几何推导是解题关键.

    16.【答案】解:x−2≤2x①x−1<1+x3②,
    解不等式①得:x≥−2,
    解不等式②得:x<2,
    ∴原不等式组的解集为:−2≤x<2,
    该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:
     
    【解析】按照解一元一次不等式组的步骤,进行计算即可解答.
    本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

    17.【答案】解:原式=(xx−1−x−1x−1)⋅(x−1)2x(x−1)
    =1x−1⋅x−1x
    =1x,
    在−1≤x≤1的整数解中,x为−1、0、1,
    由题意得:x≠0和1,
    当x=−1时,原式=1−1=−1. 
    【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简,根据分式有意义的条件确定x的值,代入计算即可.
    本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件,掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

    18.【答案】(1)证明:∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠BCD,
    ∵DE//BC,
    ∴∠EDC=∠BCD,
    ∴∠ACD=∠EDC,
    ∴ED=EC.
    (2)解:作DF⊥BC于F,
    ∵CD平分∠ACB,DA⊥AC,
    ∴DF=DA=4,
    ∵BC=12,
    ∴△DBC的面积=12BC⋅DF=12×12×4=24. 
    【解析】(1)由角平分线定义,得到∠ACD=∠BCD,由平行线的性质,得到∠EDC=∠BCD,因此∠ACD=∠EDC,即可证明ED=EC.
    (2)作DF⊥BC于F,由角平分线的性质得到DF=DA=4,由三角形面积公式即可求出△BCD的面积.
    本题考查角平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,关键是由平行线的性质,角平分线定义的定义推出∠ACD=∠EDC;由角平分线的性质得到DF=DA.

    19.【答案】(1,0)  (0,7) 
    【解析】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
    (2)如图,△A2B2C2即为所求;
    (3)将△ABC进行平移得到△A3B3C3,若A3的坐标为(4,2),则B3坐标为(1,0).
    故答案为:(1,0);
    (4)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点,则点D的坐标是(0,7).
    故答案为:(0,7).

    (1)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可;
    (2)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可;
    (3)利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点A3,B3,C3即可;
    (4)根据平行四边形的判定和题目要求画出图形即可.
    本题考查作图−旋转变换,平移变换,平行四边形的判定等知识,解题的关键是掌握旋转变换,平移变换的性质,属于中考常考题型.

    20.【答案】解:(1)设甲种玩具的进货单价为x元,则乙种玩具的进价为(x−1)元,
    根据题意得:1200x=500x−1×2,
    解得:x=6,经检验,x=6是原方程的解,
    ∴x−1=5.
    答:甲种玩具的进货单价6元,则乙种玩具的进价为5元.
    (2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(2y+40)件,
    根据题意得:6y+5(2y+40)≤1400,
    解得:y≤75,
    ∵y为整数,
    ∴y最大值=75,
    答:该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具75件. 
    【解析】(1)设甲种玩具的进货单价为x元,则乙种玩具的进价为(x−1)元,根据数量=总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具,用500元购进一批乙玩具,所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
    (2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(2y+40)件,根据进货的总资金不超过1400元,即可得出关于y的一元一次不等式,解答取其中的整数,即可得出结论.
    本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式.

    21.【答案】2  −1  0  x>−1  −3 【解析】解:(1)当x=−3时,y=|−3+1|=2,
    ∴a=2.
    函数图象如图所示.

    故答案为:2;
    (2)观察函数y=|x+1|的图象,
    ①当x=−1时,函数y=|x+1|有最小值,最小值为0;
    ②当x>−1时,y随x的增大而增大;
    故答案为:−1,x>−1;
    (3)观察图象,不等式−13x+1>|x+1|的解集是−3 故答案为:−3 (4)若直线y=kx+12与y=|x+1|有2个交点,则k的取值范围是−1 故答案为:−1 (1)把x=−3代入解析式即可求得a=2,描出表中以各对对应值为坐标的点,然后连线.
    (2)根据图象即可求得;
    (3)观察图象即可得到答案;
    (4)根据图象即可求得.
    本题是两条直线相交或平行问题,考查了一次函数的图象和性质,一次函数与一元一次不等式,数形结合是解决本题关键.

    22.【答案】(1)①证明:∵△ABD≌△CDB,
    ∴AB=CD,AD=CB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形;
    ②解:∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,AD=2,
    ∴AB=2AD=4,
    ∴BD= AB2−AD2= 42−22=2 3,
    由(1)可知,四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OB=OD=12BD= 3,
    ∴S△AOD=12AD⋅OD=12×2× 3= 3;
    (2)解:如图2,过点E作EF⊥AB于点F,交CD于点G,交AC于点O,过点C作CM⊥AB于点M,

    则EF//CM,
    由(1)可知,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,
    ∴AB//CD,AD//BC,BC=AD=2,
    ∵EF⊥AB,
    ∴EF⊥CD,
    ∴四边形GFMC是矩形,
    ∴GF=CM,
    ∴S平行四边形ABCD=2S△ADB=2×12AD⋅BD=2×12×2×2 3=4 3,
    ∵S平行四边形ABCD=CM⋅AB,
    ∴GF=CM=4 3AB=4 34= 3,
    ∵∠DAB=90°−∠ABD=90°−30°=60°,AD//BC,
    ∴∠CBM=60°,
    ∴∠BCM=30°,
    ∴BM=12BC=1,
    ∵△ACE是等腰直角三角形,∠ACE=90°,
    ∴CE=AC,
    ∵∠CAM+∠AOF=90°,∠CEG+∠COE=90°,∠AOF=∠COE,
    ∴∠CEG=∠CAM,
    又∵∠EGC=∠AMC=90°,CE=CA,
    ∴△EGC≌△AMC(AAS),
    ∴EG=AM=AB+BM=4+1=5,
    ∴EF=EG+GF=5+ 3,
    ∴点E到AB的距离为:5+ 3;
    (3)解:∵∠E=90°,∠ADE=30°,
    ∴AE=12AD=12×2=1,
    由旋转的性质得:AE′=AE=1,∠AE′Q=∠E=90°,
    ∵△BPQ为等腰三角形,
    ∴∠QBP=∠BPQ=30°,
    ∴∠E′QA=∠QBP+∠BPQ=30°+30°=60°,
    ∴∠E′AQ=90°−60°=30°,
    ∴AQ=2E′Q,
    ∵AQ2=E′Q2+AE′2,
    ∴(2E′Q)2=E′Q2+12,
    解得:E′Q= 33(负值已舍去),
    即E′Q的长为 33. 
    【解析】(1)①由全等三角形的性质得AB=CD,AD=CB,再由平行四边形的判定即可得出结论;
    ②由含30°角的直角三角形的性质得AB=2AD=4,再由勾股定理得BD=2 3,然后由平行四边形的性质得OB=OD=12BD= 3,即可解决问题;
    (2)过点E作EF⊥AB于点F,交CD于点G,交AC于点O,过点C作CM⊥AB于点M,由平行四边形的面积得GF=CM= 3,再证△EGC≌△AMC(AAS),得EG=AM=AB+BM=5,得EF=EG+GF=5+ 3,即可得出结论;
    (3)由含30°角的直角三角形的性质得AE=1,再由旋转的性质得AE′=AE=1,∠AE′Q=∠E=90°,然后证AQ=2E′Q,进而由勾股定理得出方程,即可解决问题.
    本题是四边形综合题目,考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,本题综合性强,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键,属于中考常考题型.

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