2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  四个三角形的边长分别是，，；，，；，，；，，其中直角三角形是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知点在第四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若不等式组的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是(    )

 

A. ≌ B.
C.  D.

9.  如图，是正内的一点，若将绕点旋转到，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：；的值不变；的长不变；四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如果等腰三角形的两边长分别是、，那么三角形的周长是______．

12.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于______ ．

13.  如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集是______ ．

14.  如图，将线段平移到线段的位置，则的值为______．

15.  如图，的两直角边，长分别为，，其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则：：______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，已知，，，为上一点，且到、两点的距离相等．
用直尺和圆规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
连结，若，求的度数．

19.  本小题分
如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
求的度数；
若，求的长．

20.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，小正方形的边长为个单位．
作关于点成中心对称的．
将向右平移个单位，作出平移后的．
在轴上求作一点，使的值最小，求经过点和点的一次函数关系式，并求出点的坐标．

21.  本小题分
某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．
求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元；
该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．
求关于的函数关系式；
该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

22.  本小题分
已知和都是等腰直角三角形，．
如图：连，，求证：≌；
若将绕点顺时针旋转，当点，，恰好在同一条直线上时，如图所示，线段，与交点为，若，，求出线段的长；
若将绕点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，如图所示，与交点为，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，不妨设，，
则，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质、不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：在数轴上表示为如图所示的是，
故选：．
根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，不能构成直角三角形；
，能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
，能构成直角三角形．
综上所述：能构成直角三角形是．
故选：．
已知三角形三边的长判断这个三角形是否为直角三角形，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的边的平方是否等于另外两个边的平方和即可．
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解得：．
故选：．
根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于的不等式组，求解即可．
此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．
 

6.【答案】 

【解析】解：、的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
．
，
，
故选：．
由、的平分线相交于点，得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得，，然后得到边之间的关系，即可求得结论．
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明和是等腰三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、向右平移得到，则≌成立，故正确；
B、为直角三角形，则成立，故正确；
C、≌，则成立，故正确；
D、不一定成立，故错误．
故选D．
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选B．
根据旋转的性质可得：≌，故，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，故正确，
，
定值，故正确，
，是定值，故正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故错误，
故选：．
如图作于，于只要证明≌，≌，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：当等腰三角形的另一边为时，，符合三角形的三边关系，此三角形的周长；
当等腰三角形的另一边为时，，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在；
故答案为：．
先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
 

12.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点


的周长等于，
．
故填．
由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得，再利用给出的周长即可求出的长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图知：当直线的图象在直线的上方时，不等式成立；
由于两直线的交点横坐标为：，
观察图象可知，当时，，即不等式的解集为．
故答案为：．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到线段，
，，
，
故答案为：．
利用坐标平移的变化规律解决问题即可．
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
 

15.【答案】：： 

【解析】解：过点作于，于，于，如图，
的两直角边，长分别为，，
，
点为三内角的平分线的交点，，，，
，
：：：：：：：：：：．
故答案为：：：．
过点作于，于，于，如图，先利用勾股定理计算出，再根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式得到：：：：．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

16.【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
不等式组的解集为． 

【解析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤，能求出不等式的公共解集．
 

18.【答案】解：如图所示：点即为所求；

，，，
，
，
，
． 

【解析】作线段的垂直平分线，交于一点，这点就是点位置；
根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，进而可得答案．
此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的做法，关键是掌握直角三角形两锐角互余，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
 

19.【答案】解：是等边三角形，
．
，
，
，
，
；
，
，
为等边三角形．
．
，
． 

【解析】证明中的三个角均为，然后再求得，则可得出答案；
先求得，然后由进行求解即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点、、关于点的对称点坐标分别为、、，依次连结、、．
就是所求的图形．
点、、向右平移个单位得到的对应点分别为、、，依次连结、、．
就是所求的图形．
作点关于轴的对称点，连结，交轴于点，连结
由“两点之间，线段最短”可知，此时的值最小，
点就是所求的点．
设直线的一次函数关系式为，
由作图可得，点在直线上，
把、代入，
得，解得，
．
当时，由，得，
．
综上所述，经过点、的一次函数关系式为，点的坐标为． 

【解析】由中心对称的定义，作出点、关于点的对称点，点的对称点与点重合，再依次连结得到的各点即可求得．
根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点、、的对应点、、，连结、、，求得．
作点关于轴的对称点，连结交轴于点，则点就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点、的坐标，再用待定系数法求出直线的一次函数关系式及点的坐标．
此题重点中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路线问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数关系式等知识和方法，图形结合，动手动脑，难度适中，是一道很好的练习题．
 

21.【答案】解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑销售利润为元，
根据题意，得，
解得，
答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑销售利润为元．
设购进型电脑台，则购进型电脑台，
依题意得：，即，
，
解得，
关于的函数关系式为且为正整数，
，，
随的增大而减小，
且为正整数，
当时，取得最大值，则购进型电脑台，
答：商店购进型电脑台和购进型电脑台的销售总利润最大． 

【解析】设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元列出方程组，然后求解即可；
根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
根据型电脑的进货量不超过型电脑的倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
 

22.【答案】证明：如图中，

，
，
，，
≌．

如图中，设交于，过点作于．

≌，
，，
，
，
，，，
，，
，
．

如图中，同法可证．

综上所述，的长为或．

证明：如图中，在上取一点，使得，连接，．

，
，
，，
≌，
，，
，
，

是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可．
分两种情形分别画出图形求解即可．
如图中，在上取一点，使得，连接，证明，可得，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．