2023~2024学年山东省济南市天桥区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市天桥区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了 已知，则下列比例式成立的是， 下列命题正确是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，

故选：C．
2. 已知，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，，，
则A、C、D选项均不正确，B正确，
故选：B
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 9
【答案】A
【解析】∵，
∴，即，
∴，
故选A．
4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，把代入
得：
解得：
故选C
5. 若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵反比例函数图象经过点
∴
故选：C．
6. 下列命题正确是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意；
B、对角线相等平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项错误，不符合题意；
故选C
7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限
B. 图象关于原点对称
C. 图象经过点（1，）
D. 若点，都在该函数图象上，且，则
【答案】D
【解析】∵，
∴图象在第二、四象限，关于原点对称，
故A，B正确，不符合题意；
将代入解析式得
∴图象经过点
故C正确，不符合题意；
根据反比例函数在或上，随着的增大而增大，
∴当时，的大小无法确定
故D错误，符合题意；
故选D．
8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴A，，
∴，
∴，
故选：C．
9. 电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设增长率记作，依题意，
故选：D．
10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N,垂足为H.以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】由矩形的性质得：，，，
由折叠的性质得，，，
在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
解得，即，故③错误；
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
作，
则四边形 是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故正确的有①④，共两个．
故选B．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程的根是______．
【答案】，
【解析】，
,∴，．
故答案为：，
12. 若，则_________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条．
【答案】2000
【解析】50÷2.5%=2000.
故答案为：2000.
14. 如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为的黄金分割点（)，若的长度为，则的长度为____________．（结果保留根号）

【答案】
【解析】由题意得：，
∴，故答案为：．
15. 如图，反比例函数在第一象限内的图象，直线AB//x轴，并分别交两条曲线A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值为________．
【答案】4
【解析】设A（a，b），B（c，d），
代入得：=ab，=cd，
∵，
∴cd-ab=2，
∴cd-ab=4，
∴-=4，
故答案为4．
16. 如图，正方形边长为，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为__________．

【答案】
【解析】由题知：
和中，
，
，
，，
,
点、点在以为直径的圆上，
四边形是内接四边形，
，
，
，
如图，过点作于点，
,
，
，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
在中，
，
由射影定理，得，
，
，
，
在等腰直角中，．
故答案为
三．解答题（本大题10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：.
解：
，．
18. 如图,四边形是菱形，于点E，于点F．求证：．

证明：四边形是菱形，∴，
∵，∴，
在和中，,∴．
19. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为多少米．

解：如图，点O作镜面的法线，则，

∵，
∴，
∵，
∴，∴，
∵米，米，米，
∴，∴米，答：树高为4米．
20. 如图，在中，，，D是边上一点，且．

（1）求证：．
（2）求的长．
解：（1）∵，，∴；
（2）∵，∴，
∵，，∴，∴，∴（舍去负值）．
21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
（3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
解：（1）如图，点P为所作；
故答案为：；
（2）如图，为所作；
（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
22. 在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
解：（1）列表如下：
共有9种等可能的结果数；
（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个,即（2,﹣1），（ 1,0 ），
所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
23. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽．

解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为．
由题意，得，
解得，．
当时，， ，不合题意舍去，
当时，．
答：长为、宽为．
24. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题：
（1） ， （用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，．
（3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）依题意得：
在中，，，，
，
，，
故答案为：；．
（2），∴当，，
即，
∴．
（3）过点作于，如图：

，，则，
，
，
，，
，
，即：，
解得：．
25. 如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
解：（1）∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上
∴a=1，即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，∴k=2，∴反比例函数为y=；
（2）∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，解得或，∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），
∴OD=1，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD•yA+OD•yB=×1×1+×1×2=，
即△AOB的面积为；
（3）分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
26. 已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
解：（1）①AE＝FC，AE⊥FC；
理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：AE＝FC，AE⊥FC．
②AE＝2CF，AE⊥CF，
理由如下：∵，，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠A＝∠BCF，
∴AE＝2CF，
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACB＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，
由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∴DT∥AB，∴，∴AT＝4m，
∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴，解得m＝2或﹣（舍去），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；
②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，
同法可证：，
∵，
∴，
∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化，
当时，MN的值最小，
由题意：AB=10，BC=5，，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
MN的最小值为．
x
y
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）