河南省南阳市第十三中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

南阳市十三中2023年秋期九年级第一次数学限时督学

（满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）（下列各小题只有一个答案是正确的．）

1．要使式子有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．下列二次根式与不是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算错误的是（    ）

A． B． C． D．

4．若两个最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）

A． B．或3 C．5或 D．3

5．一元二次方程的解是（    ）

A． B． C．或 D．

6．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）

A． B．或 C．且 D．为任意实数

7．将一元二次方程化为的形式，正确的是（    ）

A． B． C． D．以上都不对

8．若．则方程的根的情况为（    ）

A．有两个不相等的实数根  B．有两个相等的实数根

C．无实数根  D．不能确定

9．若是方程的一个根，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知，则式子的值是（    ）

A．1 B． C．2 D．0

二、填空题（每小题3分，共21分）

11．计算：______．

12．若两个连续正奇数的积是63，则它们的和等于______．

13．若，则______．

14．小王设计了一个魔术盒，当任意实数对放入盒内，会得到一个新实数，若将实数对放入其中，得到，则______．

15．对于实数，定义运算“”，．若是一元二次方程的两个根，则______．

三．解答题（本大题共8个题，满分75分）

16．（每小题4分，共8分）计算：

（1） （2）．

17．（每小题5分，共10分）解方程：

（1）（用配方法） （2）．

18．（9分）已知关于的一元二次方程．

（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）在（1）的结论下，若取最小整数，求此时方程的两个根．

19．（9分）为了解方程，

我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得

当时，．

当时，．

故原方程的解为．

请借鉴上面的方法解方程．

20．（9分）某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．

21．（10分）已知关于的一元二次方程，

（1）求证：对于任意实数，方程有两个不相等的实数根；

（2）若等腰的两边长的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求的周长．

22．（10分）某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每瓶降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该批发店决定每瓶降价元．

（1）当为多少元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？

（2）试说明该批发店每天卖出该款饮料的利润能否达到600元？

23．（10分）我们知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．

（1）【问题】方程的解是______，______；

（2）【拓展】用“转化”思想解方程：；

（3）【应用】如图，已知矩形草坪的宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿走到点处，且，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长．

南阳市十三中2023年秋期九年级第一次数学限时督学

数学答案

一、选择题

二、填空题

11、； 12、16； 13、3； 14、；

15、3或4．

三、解答题

16、（1）解：原式

（2）解：原式

17、（1）解：

（2）解：，

方法不唯一

18、（1）；

（2）由（1）得：原方程化为．

19、解：设，则，

原方程可变为

当时，

即

当时，，

即

此方程无解

故原方程的解为

20、解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为，根据题意，得

整理得

解得：（舍去）

经检验，符合题意

答：这两年中获奖人次的平均年增长率为

21、解：（1）

方程有两个不相等的实根；

（2）①当5为底时，为腰，则方程有两个相等的实数根．

不成立

②当5为腰时，中必有一个为腰，则5是方程的解．

，即：

解得：

（Ⅰ）当时，，即，

解得：．能构成三角形．

（Ⅱ）当时，，即，

解得：．能构成三角形．

综上所述，的周长为16或14

（2）的第二种方法

方程有两个不相等的实根，不能作底边，只能作为腰．

为方程的根．

（Ⅰ）当时，，

能构成三角形．

（Ⅱ）当时，，

能构成三角形．．

综上所述，的周长为16或14．

22、解：（1）根据题意，得

整理得解得：．

经检验，符合题意．

答：当为0.2或0.5元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元

（2）根据题意，得

整理得

该方程没有实数根

该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元

（2）的第二种方法

设饮料的利润为

该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元．

23、（1）1，

（2）方程两边平方，得

解得：

当时，

不是原方程的解．

的解是

（3）四边形是矩形，

设，则

两边平方化简，得

解得：（舍去）的长为10