河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
展开一、单选题
1.下列二次根式中,与是同类二次根式的是( )
A.B.C.D.
2.下列四个方程,哪个是一元二次方程( )
A.B.C.D.
3.下列说法正确的是( )
A.“将油滴入水中,油会浮在水面上”是不可能事件
B.某奖券的中奖率为,则买5张奖券一定会有一张中奖
C.“明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨
D.“任意画一个三角形,其内角和是”是必然事件
4.在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的解析式为( )
A.B.
C.D.
5.用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为( )
A.B.C.D.
6.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市大力开展植树造林活动.如图,若在坡比为的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)为,那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为( )
A.B.C.D.
7.对于实数、、、给出一种新的运算,定义.例如:,则方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
8.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A.B.C.D.
9.如图,为等边三角形内一点,,将线段以点为旋转中心逆时针旋转,得到线段,连接,则的值为( )
A.B.C.D.
10.如图,点、是直线与坐标轴的交点,将线段平移得到线段,若,,则点的坐标是( )
A.B.C.D.
二、填空题
11.方程的根是 .
12.若是最简二次根式,则的值可以是 .(写出一个即可)
13.如图,电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡,任意闭合电路上其中的两个开关,小灯泡发光的概率为 .
14.图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图②是它的侧面示意图,和相交于点O,点A、B之间的距离为米,,根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米.
15.如图,中,,,点是射线上一动点,连接,作点关于直线的对称点,当四边形是菱形时,线段的长为 .
三、解答题
16.计算或解方程:
(1);
(2).
17.为落实“双减”政策,丰富课余生活,某校七年级根据学生需求,组建了四个社团供选择:(合唱社团)、(硬笔书法社团)、(街舞社团)、(面点社团).学生从中任意选择两个社团参加活动.
(1)小宇和小江在选择过程中,首先都选了社团(街舞社团),第二个社团他俩决定随机选择,请用列表或画树状图法,求他俩选到相同社团的概率;
(2)学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示,请用列表或画树状图法求出学校同时选中(合唱社团)和(街舞社团)的概率.
18.建于清咸丰四年的龙角塔,位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内,是武侯祠的一个重要人文景观.小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度,如图,小豫站在龙角塔旁的水平地面上处,小宛在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动,当平面镜移动到点时,小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端,此时测得米,小豫眼睛距地面高度米;然后小宛沿前进至点处用测角仪测得龙角塔顶端处的仰角,已知测角仪高度为米,小宛行走的距离米,点在同一水平线上,都垂直.请你根据以上信息.求龙角塔的高(的长)(结果精确到1米,参考数据:).
19.【操作与探究】已知点在抛物线上移动.
(1)在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象;
(2)认真观察图象,结合所学函数知识解答下列问题:
函数时,的取值范围是______;
方程的根是______;
若时,随的增大而减小,则的取值范围是______;
若当时,函数的最小值是,最大值是,直接写出的取值范围.
20.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.某商店以每件8元的价格购进亚运会吉祥物挂坠,以每件14元的价格出售.据统计,10月份的销售量为256件,12月份的销售量为400件.
(1)求该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率;
(2)从2024年元月份起,商场决定降价促销回馈顾客,经调查发现,该吉祥物挂坠每降价0.5元,月销售量就会增加20件.则该吉祥物售价为多少元时,月销售利润达1560元?
21.如图,已知在中,,是边上的中线,,.
(1)求的长;
(2)求的正切值.
22.【综合与实践】小东在复习二次函数时,遇到这样一个问题:
图1 图2 图3
如图2,小东以点为原点,地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系,
请你帮小东解决问题:
(1)求出这条抛物线的函数解析式,并注明自变量的取值范围;
(2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少?
(3)老师说:隧道检修过程中,计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”,使两点在抛物线上,两点在地面上,如图3所示.为了筹备材料,需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少,请你帮忙计算一下.
23.综合与探究:
(1)【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题,请完成证明:
如图,在四边形中,,是对角线的中点,是的中点,是的中点.求证:;
(2)【拓展延伸】
如图,在四边形中,是的中点,是的中点.连接并延长分别与的延长线交于点.求证:;
(3)【问题解决】
如图,在中,,点在上,,是的中点,是的中点,连接并延长,与的延长线交于点,连接.若,当是直角三角形时,直接写出的长.
如图1,一个横截面为抛物线形的公路隧道,其底部宽,最大高度.车辆双向通行,规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙.你能否根据这些要求,建立适当的平面直角坐标系,应用已有的函数知识,确定通过隧道车辆的高度限制?
参考答案:
1.C
【分析】根据把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可得出答案.
【详解】A、与被开方数不同,不是同类项,不符合题意;
B、与被开方数不同,不是同类项,不符合题意;
C、与是同类项,符合题意;
D、与被开方数不同,不是同类项,不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查同类二次根式,解题的关键是正确理解同类二次根式的概念,本题属于基础题型.
2.A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念,根据一元二次方程的定义逐项判断即可,解题的关键是熟记一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为的整式方程,叫做一元二次方程,一般形式为:.
【详解】、是一元二次方程,此选项符合题意;
、不是整式方程,此选项不符合题意;
、是一元一次方程,此选项不符合题意;
、中,有个未知数,此选项不符合题意;
故选:.
3.D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念,必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件;由此逐项判断即可得出答案,熟练掌握概念是解此题的关键.
【详解】解:A、“将油滴入水中,油会浮在水面上”是必然事件,故本选项说法错误,不符合题意;
B、某奖券的中奖率为,则买5张奖券不一定会有一张中奖,故本选项说法错误,不符合题意;
C、“明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大,但不一定明天将有的地区降雨,故本选项说法错误,不符合题意;
D、“任意画一个三角形,其内角和是”是必然事件,故本选项说法正确,符合题意;
故选:D.
4.D
【分析】根据抛物线的平移规律:上加下减,左加右减解答即可.
【详解】解:将二次函数的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的解析式为
故选D.
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律.关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标,寻找平移规律.
5.B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法,将转化为的形式即可,灵活掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键.
【详解】解:,
,
,
,
∴,
故选:.
6.B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,由坡比为,株距(相邻两树间的水平距离)为,则上升的高度为米,根据勾股定理即可求解,掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键.
【详解】∵坡比为,株距(相邻两树间的水平距离)为,
∴铅直高度为米,
由勾股定理得,斜坡上相邻两树间的坡面距离为,
故选:.
7.A
【分析】根据新定义下的运算法则可得出关于x的一元二次方程,再根据根的判别式,即可得出答案.
【详解】根据题干所给定义下的新运算,得,
整理得:.
∵
∴方程的根的情况为有两个相等的实数根.
故选A.
【点睛】本题考查新定义下的运算,利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.理解题意,掌握新定义下的运算法则是解题关键.
8.A
【分析】首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球,第二次摸到绿球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】解:画树状图得:
∵共有4种等可能的结果,第一次摸到红球,第二次摸到绿球有1种情况,
∴第一次摸到红球,第二次摸到绿球的概率为,
故选:A.
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率,列出所有等可能的结果是解决本题的关键.
9.B
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、正切的定义,先证明把逆时针旋转后,与重合,与重合,再根据勾股定理逆定理得出为直角三角形,最后根据正切的定义即可得出答案,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】解:线段以点为旋转中心逆时针旋转,得到线段,
,,
为等边三角形,
,
为等边三角形,
,,
把逆时针旋转后,与重合,与重合,
,
,
,
为直角三角形,
,
,
故选:B.
10.D
【分析】先过点C做出轴垂线段,根据相似三角形找出点C的坐标,再根据平移的性质计算出对应D点的坐标.
【详解】解:∵点、是直线与坐标轴的交点,
∴点,
如图,过点C作轴垂线,垂足为点E,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
∴ ,
则,,
∵点C是由点B向右平移6个单位,向上平移2个单位得到,
∴点D同样是由点A向右平移6个单位,向上平移2个单位得到,
∵点A坐标为,
∴点D坐标为,选项C符合题意,
故选:D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键.
11.0和-4.
【分析】根据因式分解即可求解.
【详解】解
∴x1=0,x2=-4,
故填:0和-4.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解,解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
12.3(答案不唯一)
【分析】本题考查最简二次根式,解题的关键是正确理解最简二次根式的定义.最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
【详解】解:当时,是最简二次根式,
故答案为:3(答案不唯一).
13.
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况,从中找出能够“点亮灯泡”的情况数,进而求出概率.
【详解】解:列表如下:
∴一共有12种情况,能使小灯泡发光的有4种情况,
∴小灯泡发光的的概率为:.
故答案为:.
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率,使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的,即为等可能事件.
14.
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比,即可求解.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,解得:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比.
15.或/或
【分析】此题考查了菱形的性质,角所对直角边是斜边的一半和勾股定理,分当点在上时和当点在延长线上时两种情况即可,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
【详解】当点在上时,如图,
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴;
当点在延长线上时,如图,连接,
∵四边形是菱形,
∴,,,,,
∴,,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴,
故答案为:或.
16.(1);
(2),.
【分析】()根据二次根式的除法运算和利用平方差公式运算,然后分母有理化,再合并同类二次根式即可;
()利用公式法求解即可;
本题考查了二次根式的混合运算, 解一元二次方程,解题的关键熟练掌握运算法则和灵活选取适当的方法解方程.
【详解】(1)原式,
,
,
;
(2)
,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴,
∴,.
17.(1);
(2).
【分析】()画树状图,再由概率公式求解即可;
()画树状图,再由概率公式求解即可;
本题考查用概率公式求概率,列表法或画状图法求概率,熟练掌握用列表法或画状图法求概率是解题的关键.
【详解】(1)小宇和小江在选择过程中,首先都选了社团(街舞社团),列树状图如下:
可能的结果共有种,他俩选到相同社团的情况共有种,
∴他俩选到相同社团的概率为;
(2)列树状图如下:
可能的结果共有种,学校同时选中(合唱社团)和(街舞社团)的的情况共有种,
∴学校同时选中(合唱社团)和(街舞社团)的概率为.
18.龙角塔的高约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题,相似三角形的应用,过点作于,则四边形是矩形,设米,证明,由相似三角形的性质即可得出答案,熟练掌握相似三角形的判定与性质、添加适当的辅助线是解此题的关键.
【详解】解:如图,过点作于,
,
,,,
四边形是矩形,
米,,
设米,
由题意得:,,
,
,即,
,
米,
,米,
,
解得:,
龙角塔的高约为米.
19.(1)画图见解析;
(2);,;;.
【分析】()利用画函数图象的步骤即可求解;
()根据二次函数的图象及性质逐一解答即可;
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】(1)列表:
描点,连线,如图,
(2)根据图象可知,时,的取值范围是,
故答案为:;
由得,,通过图象可知,,
故答案为:,;
根据图象可知,当时,随的增大而减小,
若时,随的增大而减小,
则的取值范围是,
故答案为:;
根据图象可知,
则的取值范围是.
20.(1)该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为
(2)该吉祥物售价为元时,月销售利润达1560元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,理解题意,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解此题的关键.
(1)设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为,根据题意,列出一元二次方程求解即可得出答案;
(2)设该吉祥物降价元,则每件的销售利润为元,销售量为件,根据题意列出一元二次方程,解方程即可得出答案.
【详解】(1)解:设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为,
由题意得:,
解得:,(不符合题意,舍去),
该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为;
(2)解:设该吉祥物降价元,则每件的销售利润为元,销售量为件,
由题意得:,
整理得:,
解得:(不符合题意,舍去),,
(元),
该吉祥物售价为元时,月销售利润达1560元.
21.(1);
(2).
【分析】()过作于点,得出,由可以得出,最后由勾股定理与线段和差即可求解;
()过作于点,结合则 ,所以,根据性质可知,又由为中点,求出,即可;
本题主要考查了锐角三角函数的应用,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,相似三角形的性质与判定,作出辅助线,熟练掌握锐角三角函数的定义,是解题的关键.
【详解】(1)解:过作于点,
∴,
∴,
∴,
在中,,
∵,
∴,
由勾股定理得,
∴;
(2)解:如图,过作于点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵为中点,
∴,,
∴,
在中,.
22.(1)
(2)3米
(3)这个支架总长的最大值为15米
【分析】本题主要考查二次函数解析式,二次函数图象与性质以及二次函数的应用:
(1)先根据所建坐标系求出顶点P的坐标,再设解析式为顶点式,把原点O的坐标代入解析式,运用待定系数法即可求出函数解析式;
(2)把代入解析式,求出的值,再减去即可;
(3)设点,则 ,,然后根据列出函数解析式,由二次函数的性质求最大值.
【详解】(1)解:∵某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度为12米,
∴,
设抛物线的解析式为,
∵抛物线经过点,
∴,
解得,,
∴抛物线的解析式为;
(2)解:当时,,
∵(米)
∴通过隧道车辆的高度限制应为3米;
(3)解:设点,则 ,,
∴
,
∵,
∴当时,有最大值,最大值是15,
∴这个支架总长的最大值为15米.
23.(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)的长为或.
【分析】()证是的中位线,是的中位线,则,,再证,即可得出结论;
()连接,取中点,连接,,由()得,再证明,即可求证;
()连接,取中点,连接,,由()得,证明,,由,是的中点,则,,最后分当,当两种情况即可求解;
此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形中位线定理及正确添加辅助线是解题的关键.
【详解】(1)∵是对角线的中点,是的中点,是的中点,
∴,,
∵,
∴,
∴;
(2)如图,连接,取中点,连接,,由()得,
∵是的中点,是的中点,
∴,,
∴,,
∴;
(3)如图,连接,取中点,连接,,由()得,
同()可知,,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,是的中点,
∴,
∴,
∵是直角三角形,,
∴当,
由勾股定理得,,
当,
由勾股定理得,,
综上可知的长为或.
①
②
③
④
①
②
③
④
49,河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题: 这是一份49,河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题,共22页。试卷主要包含了考试结束,将答题卡交回等内容,欢迎下载使用。
河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(): 这是一份河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(),共6页。试卷主要包含了考试结束,将答题卡交回等内容,欢迎下载使用。
河南省南阳市镇平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案): 这是一份河南省南阳市镇平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案),共25页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。