2023-2024学年湖南省常德市安乡县九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德市安乡县九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年湖南省常德市安乡县九年级第一学期第一次质检数学试卷
一、选择题（共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．下列等式是一元二次方程的为（　　）
①x2﹣2x+1＝0；
②2t2＝t﹣4；
③px2﹣5x＝6+x（px+1）；
④．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
3．方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（　　）
A．2x2和8 B．2x2和﹣8 C．2和﹣8 D．2和8
4．如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝85°，则∠3等于（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
5．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝
6．下列命题正确的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．直角三角形是中心对称图形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
7．安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约63.1km，则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+2x+m+1＝0为“友好方程”，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．﹣1或﹣9
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．计算：×＝　 　．
10．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为　 　．
11．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 　 　．
12．国家统计局发布的2022年，中国国内国民生产总值约为121万亿，用科学记数法表示为 　 　．
13．已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 　 　．
14．若k的取值范围如图所示，则在反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而 　 　．

15．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：a#b＝a2﹣b，若关于x的方程（x﹣1）#（3k）＝0的一个实数根为4，则k＝　 　．
16．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 　 　．

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．计算：．
18．解不等式组：．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
20．解方程：（x+3）2＝4（x﹣2）2．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．随着平板电脑的普及，有关部门在全国范围对12～35岁的人群使用过平板电脑的情况进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．

请根据图中的信息，解决下列问题．
（1）求条形统计图中a的值；
（2）据报道，目前我国12﹣35岁使用过平板电脑的人数约为4亿，请估计其中12～23岁的人数．
22．如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围．

24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2﹣x1•x2＝5，求k的值．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
26．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）若坐标轴上有一点P，满足△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．下列等式是一元二次方程的为（　　）
①x2﹣2x+1＝0；
②2t2＝t﹣4；
③px2﹣5x＝6+x（px+1）；
④．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】根据一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）的方程是一元二次方程，逐一判断即可解答．
解：①x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程；
②2t2＝t﹣4，是一元二次方程；
③px2﹣5x＝6+x（px+1），是一元一次方程；
④，不是一元二次方程；
所以，上列等式是一元二次方程的为①②，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（　　）
A．2x2和8 B．2x2和﹣8 C．2和﹣8 D．2和8
【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
解：2x2﹣5x＝8，
整理得：2x2﹣5x﹣8＝0，
∴方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为2和﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4．如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝85°，则∠3等于（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和，可以求得∠3的度数．
解：∵l1∥l2，∠1＝30°，
∴∠1＝∠4＝30°，
∵∠2＝85°，∠2＝∠5，
∴∠5＝85°，
∵∠3+∠4+∠5＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣30°﹣85°＝65°，
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】直接利用一次函数与反比例函数的定义分析得出答案．
解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝，y是x+1的反比例函数，故此选项错误；
C、y＝，是反比例函数，故此选项正确；
D、y＝，是正比例函数，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的定义，正确掌握定义是解题关键．
6．下列命题正确的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．直角三角形是中心对称图形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的概念，平行四边形，菱形的判定逐项判断．
解：等腰三角形是轴对称图形，故A正确，符合题意；
直角三角形不一定是中心对称图形，故B不正确，不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，故C不正确，不符合题意；
一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的概念及平行四边形，菱形的判定．
7．安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约63.1km，则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由y＝且x＞0，得双曲线为第一象限的一支即可．
解：由y＝且x＞0，
得双曲线为第一象限的一支；
故选：B．
【点评】本题主要考查列函数关系式以及反比例函数的图象，解题关键是注意函数自变量的范围．
8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+2x+m+1＝0为“友好方程”，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．﹣1或﹣9
【分析】先利用因式分解法求出x2﹣2x＝0的根，然后分别代入x2+2x+m+1＝0，求出m的值即可．
解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x1＝0，x2＝2，
把x1＝0代入x2+2x+m+1＝0得：m＝﹣1，
把x2＝2代入x2+2x+m+1＝0得：m＝﹣9，
∴m的值为﹣1或﹣9，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．计算：×＝　6　．
【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
解：×＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
10．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为　（x﹣3）2＝8　．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故答案为：（x﹣3）2＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 　x＞4　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣4＞0，
解得：x＞4，
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12．国家统计局发布的2022年，中国国内国民生产总值约为121万亿，用科学记数法表示为 　1.21×1014　．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
解：121万亿＝121000000000000＝1.21×1014，
故答案为：1.21×1014．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 　2023　．
【分析】先根据已知条件，求出代数式a2﹣3a的值，然后再把所求的代数式的前两项提取公因数2，再整体代入计算即可．
解：∵a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣1011＝0，
a2﹣3a＝1011，
∴2a2﹣6a+1
＝2（a2﹣3a）+1
＝2×1011+1
＝2022+1
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
14．若k的取值范围如图所示，则在反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而 　增大　．

【分析】由图得k＜2，即k＜5，得k﹣5＜0，故反比例函数的图象在二四象限，故反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而增大．
解：由图得k＜2，即k＜5，
得k﹣5＜0，
故反比例函数的图象在二四象限，
故反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象双曲线的增减性，解题关键是注意每一个分支上．
15．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：a#b＝a2﹣b，若关于x的方程（x﹣1）#（3k）＝0的一个实数根为4，则k＝　3　．
【分析】先关键新的运算法则列出方程，然后根据方程的解的定义代入即可求出k的值．
解：由题意得，（x﹣1）2﹣3k＝0，
∵其一个实数根为4，
∴（4﹣1）2﹣3k＝0，
解得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，一元一次方程的解的定义，根据题意列出方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
16．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 　（x＞0）　．

【分析】首先设点B的坐标为（a，b），依题意得a＞0，b＞0，OA＝a，OC＝b，然后根据矩形OABC的周长是16得a+b＝8，根据正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56得a2+b2＝56，据此可求出ab＝4，进而可得反比例函数的解析式．
解：设点B的坐标为（a，b），
∵点B是反比例函数上一点，
∴a＞0，b＞0，
∴OA＝a，OC＝b，
∵矩形OABC的周长是16，
∴2（a+b）＝16，
即：a+b＝8，
又∵正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，
∴a2+b2＝56，
由a+b＝8，得：（a+b）2＝64，
即：a2+b2+2ab＝64，
将a2+b2＝56代入上式，得：ab＝4，
∴k＝ab＝4，
∴反比例函数的解析式为：（x＞0）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解题意，设出点B的坐标，并用点B的坐标分别表示出矩形OABC的周长以及正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和是解答此题的关键．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．计算：．
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
解：原式＝﹣4+1+
＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的定义、有理数的乘方、算术平方根的定义是解题的关键．
18．解不等式组：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
解：，
解不等式①得：x＞4，
解不等式②得：x＜7，
∴原不等式组的解集为：4＜x＜7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将x＝﹣2代入计算即可．
解：原式＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20．解方程：（x+3）2＝4（x﹣2）2．
【分析】利用直接开平方得两个关于x的一元一次方程，求解一元一次方程即可．
解：（x+3）2＝4（x﹣2）2，
两边开平方，得x+3＝±2（x﹣2），
∴x+3＝2（x﹣2）或x+3＝﹣2（x﹣2）．
∴x+3＝2x﹣4或x+3＝﹣2x+4．
∴x＝7或x＝．
所以原方程的解为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解决本题的关键．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．随着平板电脑的普及，有关部门在全国范围对12～35岁的人群使用过平板电脑的情况进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．

请根据图中的信息，解决下列问题．
（1）求条形统计图中a的值；
（2）据报道，目前我国12﹣35岁使用过平板电脑的人数约为4亿，请估计其中12～23岁的人数．
【分析】（1）由30﹣35岁人数及其所占百分比求出总人数，继而可得a的值；
（2）先求出12﹣23岁人数所占百分比，再乘以总人数即可得出答案．
解：（1）∵被调查的总人数为330÷22%＝1500 （人），
∴a＝1500﹣450﹣420﹣330＝300 （人）；
（2）×100%＝50%，
4亿×50%＝2亿．
答：估计其中12～23岁的人数为2亿．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．

【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围．

【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n＞的解集．
解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝﹣8或k＝8（正值不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝﹣＝4，b＝﹣＝8；
∴a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜8．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积、待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2﹣x1•x2＝5，求k的值．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1•x2的值，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（2k）2﹣4×1（k2+k﹣1）＞0，
解得k＜1；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k﹣1，
由题意可得（2k）2﹣（k2+k﹣1）＝5，
解得k＝﹣1或，
∵k＜1，
∴k＝﹣1．
【点评】本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
【分析】（1）由每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件，即可求解；
（2）由利润＝每件商品利润×数量，列出方程可求解．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝200﹣20（x﹣10）＝﹣20x+400，
∴y与x之间的函数表达式为 y＝﹣20x+400；
（2）由题意可得：（400﹣20x）（x﹣8）＝640，
整理，得 x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格，
所以 x＝12，
答：将每件小商品的售价定为12元时，才能使每天的利润为640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
26．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）若坐标轴上有一点P，满足△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2.5．
（2）求出点C的坐标，即可求得▱OABC的面积，然后根据三角形面积公式求得OP的长即可解决问题．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5），
∴k＝3×5＝15，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2.5，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2.5）．
（2）∵AM＝MC，A（3，5），M（6，2.5），
∴C（9，0），
∴S▱OABC＝9×5＝45，
∵△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，
∴S△OCP＝OC•OP＝90，即9•OP＝90，
∴OP＝20，
∴P（0，20）或（0，﹣20）．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质以及三角形面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．